博主按：本文最早发表于善科网，今将此文稍作修饰，移至本博客。

   我们中学和大学里学习解析几何，总是要先建立坐标系，然后在坐标系里研究各种几何对象。这里的坐标系都是实数坐标系，即坐标分量都是实数。在我们学过复数之后，一个很自然的问题出现了：为什么我们不去研究复数坐标系，并研究其中的几何对象？  关于这个问题最常见的回答是：“ 因为复数比较抽象，复数坐标系更是难以直观想象。再者，我们生活的世界是可以用实数坐标衡量的， 为何要劳神去思考虚幻的复数世界呢？讨论它有什么意义？” 事实并非如此。 我们将会发现，复数坐标所建立的世界要远比实数坐标建立的世界广阔得多，包含了更丰富的信息。一些在实数坐标中讨论的困难问题，放到复数坐标中往往会变得清晰明了。

   为了说明这一点。我想先回顾早年在网上看到某学生提的一个问题：

“单位圆方程

x²+y²-1=0

中的变量  x,y 如果换成复数， 那么会得到怎样的图形？”

现在我们把 x,y 写成复数的表示式

x=u+v √-1 ,quad y=s+t√-1.

然后将之代入单位圆方程并整理得

(u^2-v^2+s^2-t^2-1)+(2uv+2st)√-1=0.$$

这意味着上式左边的实部和虚部都必须等于0， 即

u²-v²+s²-t²-1 =0,

uv+st =0.

显然, 这个方程描述了一个四维空间  (u,v,s,t) 中的几何图形， 它由两个方程构成。 因此，其中有两个变量可以由剩余的两个变量求解出来--尽管解的表达式没法清晰写出来。譬如， 我们可以用独立变量 s,t 来表示  u,v :

u =u(s,t),

v =v(s,t).

这样的参数方程描述了四维空间中的一个曲面。

因此原始问题的答案就是：复数坐标下的方程  x²+y²=1  描述了四维空间中的曲面。 稍稍利用一些复变函数的初等技巧，我们还可以更精确地说这个曲面是一个“气球”形状。当然这个气球是在四维空间里的，所以你很难想清楚它是充满气了还是瘪着的等等（专业的说法是，它和球面同胚）。

当你说  x,y  取实数时， 你的意思就是指它们的虚部

v=t=0.

此时   x²+y²=1  描述的图像应该满足方程组

u²-v²+s²-t²-1 =0,

uv+st =0,

v =0,

t =0.

我们知道， 满足  v=t=0  的点的集合其实是四维空间中的一个平面， 因此 上面的方程组描述的图像就是这个平面和“气球”交截出来的曲线---相当于用一把刀把气球切开后的切口边缘。另一方面， 我们已经熟知这个图像就是一个单位圆周。 因此，这就是说单位圆周其实是整个气球上的一条曲线而已！

这个例子会让人想起中国成语“盲人摸象”。 我们中学时代研究的单位圆周原来不过是一个四维空间中“气球”上的一道切痕。当我们把目光集中在这道切痕上时，却忽略掉了气球的其余部分--可以说是绝大部分。  这就好比我们只摸到了大象的鼻子，却以为那就是大象的全部。

现在你应该能明白，我们只考虑实数坐标是多么的狭隘了吧。这就是为什么我们要引进复数坐标。 因为实数坐标里的图形只是大象的鼻子，我们当然想看到整个大象。

这里顺便提一下， 如果我们硬把这个四维空间中的“气球”投影到我们熟知的三维空间中来看，并且投影方式不好的话，那么投影的图像模型可能会很奇葩。比如会出现下图

这就是复变函数中著名的黎曼曲面图像例子。上下两个圆盘相互穿越连接，看似必然有一道交痕方可实现，实则并无这样的交痕。实际上，在三维空间中不可能真正做到这件事---即圆盘相互穿越而无交痕，上述图像只是一个近似模拟而已。

回到原来的话题。你也可以把这个例子弄到更一般的方程上。 比如著名的三次曲线方程

y²=x³+ax+b.

如果你只考虑实数情形， 那么这样的三次曲线所描绘的图形种类多达几十种（牛顿做过分类）。比如

但是如果是放在复数坐标下，这样的图形其实就是一种： 环面。

我们在实坐标下之所以看到很多种类，其实就是这个实平面在四维空间中以不同的角度去切割这个环面造成的效果。