在凝聚态物理中，受对称性约束的输运、光学及电磁效应的响应张量具有重要地位，因为它们能指导实验测量以及能够验证数值计算结果。这些张量涵盖多种形式，包括极张量、轴张量、i型（时间反演偶）和c型（时间反演奇）张量。

然而传统磁群方法无法描述磁性材料无自旋轨道耦合效应的现象，也不能建立磁性材料中磁序与响应张量间的解析关系。最近我们编写了一个响应张量对称性（TensorSymmetry）程序，它可以综合运用磁群、自旋群和外禀参数法研究对称性约束的响应张量。通过该软件，我们可获得自旋轨道耦合解耦的响应张量，并建立其与磁序的解析关系，明确独立分量及物理起源。这可以为磁性材料的理论和实验研究提供有效指导。

图 1  张量对称性(TensorSymmetry)程序可以计算的性质及其表达式。各部分之间的双向箭头线表示，响应效应中的张量具有相同的对称特性。

这里编写了一个基于 Wolfram Mathematica 语言开发的张量分析软件TensorSymmetry。如图1所示，本软件可以研究常见的响应张量，例如线性和非线性光学、电输运性质和自旋以及磁学性质。同时，本程序综合利用磁群、自旋群、外参数法，可以研究自旋轨道耦合和磁序参量变化对响应张量的影响，如图 2所示。

图 2  软件功能示意图。该程序结合了磁群（magnetic group）、自旋群（spin group）以及“外参”（extrinsic parameter）方法，能为对称性约束的响应张量提供更全面的信息，有助于揭示自旋轨道耦合（SOC）效应的作用，并建立响应张量与磁序之间的解析关系。在磁群中，由于自旋轨道耦合效应，自旋与晶格自由度相互耦合，这类似于固定了把手的方向盘。在自旋群中，自旋空间与实空间表现出部分解耦的特性，这一特点类似于摩天轮——在旋转过程中，座舱的朝向保持不变。

软件和例子下载地址：GitHub - Ruichun/TensorSymmetryPackage

理论部分：TensorSymmetry: a package to get symmetry-adapted tensors disentangling spin-orbit coupling effect and establishing analytical relationship with magnetic order - ScienceDirect

基于程序制作的常见的光学、电学和自旋性质的响应张量网站：Symmetry-adapted tensors constrained by magnetic and nonmagnetic groups

理论框架

1. 磁群方法（Magnetic Group Method）

一般来说，诺埃曼原理（Neumann's principle）和磁群被用于研究对称性约束的响应张量（symmetry-adapted response tensors）。根据空间和时间操作下的奇偶性，响应张量可分为以下四种类型：

1)        真张量（极 & 时间反演偶）：

${{T}_{ijk}}={{R}_{ia}}{{R}_{jb}}{{R}_{kc}}{{T}_{abc}}$

2)        空间赝张量（轴 & 时间反演偶数）：

 ${{T}_{ijk}}=\det (R){{R}_{ia}}{{R}_{jb}}{{R}_{kc}}{{T}_{abc}}$

3)        时间赝张量（极 & 时间反演奇数）：

${{T}_{ijk}}=|R|{{R}_{ia}}{{R}_{jb}}{{R}_{kc}}{{T}_{abc}}$

4)        空间和时间赝张量（轴 & 时间反演奇数）：

${{T}_{ijk}}=\det (R)|R|{{R}_{ia}}{{R}_{jb}}{{R}_{kc}}{{T}_{abc}}$

以上公式中，det(R) 表示的是操作矩阵D (R)的行列式。|R|表示操作R的幺正性，如果R为幺正操作，|R|=1；如果R为反幺正算符，|R|=-1。

2. 自旋群方法（Spin Group Method）

     磁群方法可以研究在自旋和轨道耦合情况下磁性材料中响应张量的非零独立分量。不受自旋轨道耦合效应约束的响应张量，需要借助自旋群（spin groups）进行研究。此外，将自旋群方法与磁群方法相结合，能够厘清自旋轨道耦合效应的影响。

在自旋群中，自旋空间与实空间的自由度解耦，我们需要采用两组相对独立的对称操作，分别作用于自旋和晶格空间。若用R表示实空间中的点对称操作，U表示自旋空间中的对称操作，那么自旋点群操作可表示为{U ||R }。

例如，自旋霍尔效应张量的时间反演偶函数部分（e）在自旋群下的对称性约束为：

$\sigma _{ij}^{\alpha (\text{e})}\xrightarrow{\{U\|R\}}\det (U)\cdot {{U}_{\alpha \beta }}{{R}_{ik}}{{R}_{jl}}\sigma _{kl}^{\beta (\text{e})}$

因为该自旋霍尔电导率张量σ_ij^(α(e))的上标α为自旋指标，而下标ij为电场和电流指标，所以分别需要用自旋空间和实空间的操作进行约束。同时，该张量为时间反演的偶函数，则需要取det⁡( U)。

类似地，时间反演偶函数奇部分（o）的对称性约束为：

$\sigma _{ij}^{\alpha (\text{o})}\xrightarrow{\{U\|R\}}{{U}_{\alpha \beta }}{{R}_{ik}}{{R}_{jl}}\sigma _{kl}^{\beta (\text{o})}$

最终根据这些对称性变换性质，即可得到自旋群约束的响应张量的形式。对比磁群与自旋群的张量变化，即可区分响应张量中自旋轨道耦合依赖与独立的部分。

本程序可以分析自旋群对反常霍尔效应、自旋霍尔效应、二次谐波效应、自旋光伏效应等几种常见的光电输运性质张量的约束情况。

3 外禀参量方法（Extrinsic Parameter Method）

磁群和自旋群方法无法给出磁矩连续变化时，响应张量与磁矩之间的解析关系。为此，我们提出一种“外禀参量”对称性分析方法，这种新方法将磁序（如磁矩、Néel 矢量方向）视为外在参数，并不把磁矩当作材料一成不固有属性，而是将其看作一个可以被调整和控制的外部因素，从而通过对称性分析构建响应张量与磁序之间的连续函数关系。

例如，反常霍尔效应电导率可以通过泰勒展开表示为磁序（例如Neel矢量）的多项式函数：

${{\mathbf{\sigma }}_{H}}={{\mathbf{T}}^{(2)}}\cdot \mathbf{n}+{{\mathbf{T}}^{(4)}}:\mathbf{nnn}+\cdots $

在空间群对称性操作{R|t}下，反常霍尔效应${{\mathbf{\sigma }}_{H}}$和Neel矢量n分别满足如下对称性变换：

$\{R|\mathbf{t}\}:{{\mathbf{\sigma }}_{H}}\to \det (R)D(R){{\mathbf{\sigma }}_{H}}.$

$\{R|\text{t}\}:\mathbf{n}\to \pm \det |R|D(R)\mathbf{n}.$

综合考虑Neel矢量的一阶和三阶泰勒展开，反常霍尔效应系数最终可以表示为：

${{\sigma }_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{3}{T_{ij}^{(2)}{{n}_{j}}}+\sum\limits_{j,k,l=1}^{3}{T_{ijkl}^{(4)}{{n}_{j}}{{n}_{k}}{{n}_{l}}}$

该方法可以建立磁序参量空间中响应张量的解析表达式，这意味着可以用数学公式精确地描述响应张量在磁序空间中的变化规律。

软件结构与工作流程

张量对称性(TensorSymmetry) 软件基于 Wolfram Mathematica 语言开发。该软件的核心架构由五个关键模块（Wolfram language package，.wl）构成：

1)        MPGData.wl：该模块存储磁点群的对称操作

2)        SGop.wl：该模块存储空间群的对称操作

3)        TensorSymmetryMG.wl：用于计算磁群约束的响应张量

4)        TensorSymmetrySG.wl：该模块可以计算自旋群约束的响应张量

5)        TensorSymmetryEP.wl：利用外禀参量方法分析磁矩依赖的张量响应

图 3  张量对称性(TensorSymmetry)程序的流程图

       本软件的计算流程如图 3所示，它的具体步骤如下：

1)        开始（Start）：流程启动，导入所需的计算模块。

2)        获取对称操作（Obtain the symmetry operations）：通过调用软件中的对称操作数据库模块，获取目标材料对称操作及基矢。

3)        输入响应张量名称（Input the response tensor name）：用户指定需计算的目标张量类型，如电导率张量、二次谐波张量、自旋霍尔张量等，软件根据名称调用对应的计算模块。

4)        构建响应张量（Construct the response tensor）：根据输入的张量名称，程序构建相应的张量矩阵。

5)        对称性约束（Symmetry constrain）：依据磁点群、自旋点群的对称操作，对构建的响应张量施加约束条件。

6)        张量性质判断：根据张量在时间反演和空间反演操作下的奇偶性，判断张量属性。

7)        获取非零张量元素（Obtain the nonzero tensor elements）：经过对称性约束和张量类型判断，得到满足条件的非零张量元素。

8)        循环判断（Cyclic symmetry）：程序会依次根据对称群中每个对称操作进行处理，循环计算最终得到该对称群中非零的张量元。

9)        输出响应张量（Output response tensor）：将计算得到的响应张量及其非零元素输出。

10)     End（结束）：流程终止，完成一次张量计算。