1 引言

历史上，力学被称为自然哲学，是人类对自然知识的第一次科学的理论概括，在很长时间内为自然科学理论建立了标杆和范式。时至今日，力学不仅是物理科学的基础和重要组成部分，也是机械、土木、航空、航天等工程科学不可或缺的基础。因此，力学知识的传播有助于帮助不同专业的学生培养科学精神和工程素质。许多高校开设了力学通识课程。上海大学从2018年起开设40学时的核心通识课“无处不在的力学” [1]。目前已经讲过8轮，选课学生近千人。

随着混沌现象研究的深入和普及，以混沌理论为核心的非线性动力学成为力学中的一个蓬勃发展的分支学科。不仅对力学、物理、系统科学和数学的相关分支有重大促进，而且也为化学、生物学、生态学、经济学等学科提供一种分析问题的全新思路。随着非线性动力学研究的深入，其工程应用也日益受到重视。混沌理论甚至对人类认识自然界的一些基本概念如因果性、决定论、随机性等也有深刻启示。上海大学开设了20学时的通识课“混沌与非线性思维”[2]。为扩大普及面，在核心通识课“无处不在的力学”中也安排一次2学时混沌的内容，“周而复始与杂乱无章—浅说周期运动与混沌”。

本文总结“无处不在的力学”周期运动与混沌的教学内容组织和处理，向同行请教、汇报和交流。

2 课程设计

按照对核心通识课的要求，周期运动与混沌的教学为“零起点”，即不需要任何大学的先修课。以单摆、双摆的自由振动为主线，呈现周期和混沌运动。分别在温故和知新两个主要部分，从学生在中学就熟悉的单摆等时性开始，介绍周期运动。从单摆过渡到复摆再过渡到双摆，说明混沌运动并讨论其最本质特性。在传播知识的同时，注重展示知识的发现过程。追求历史与逻辑的统一。培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。

课堂以教师教授为主，回答或讨论学生提出与内容密切相关的问题。鼓励学生课下进一步学习和探索。

3 教学内容

2学时的教学内容分为开篇、周期运动、混沌、文娱总结4个部分。前两部分和后两部分各用1学时。

开篇部分非常简短，就是看一个双摆运动的视频。在不同初始条件下，双摆呈现周期运动或混沌运动。然后提出一些相关概念的问题。

周期运动从单摆说起。先说明单摆的概念、古代的应用、汉语的翻译。着重介绍Galileo对单摆开创性的贡献，等时性的发现，也包括用分析自由落体导出不完全正确的单摆周期公式，并展示他观察到的单摆波。接着介绍Huygens用分析圆周运动导出单摆正确的周期公式，以及所观察到单摆大幅运动对等时性的背离和等时摆，也说明他首先研究了复摆并提出转动惯量的概念。简要介绍Newton的对单摆的贡献，基于运动定律研究在阻尼介质中的运动和大幅运动等时性不成立的原因，限于时间和学生准备知识而没有具体推导。此外还简介了南怀仁把单摆的知识传入清朝。

周期运动还包括天体的运动。在各种文明中，对天体运动的观察都是人类认识周期性的肇始。华夏古籍中形容周期性的词语，如“终而复始(《管子·形势解》)”、“周行不殆(《老子·二十五》)”和“周而复始(《汉书·艺文志》)”，都是说天体运动。在天体运动部分引入了准周期的概念。介绍证明地球自转的Foucault摆实验，与前面的单摆呼应，也说明单摆的应用。为引入混沌运动，还说明天体可能出现非周期运动，如土卫七的姿态运动。

混沌运动的解释开始于对双摆运动的观察。为此先引入了复摆的概念。天平和杆秤所谓衡器都是复摆。双摆就是复摆首尾相连。双摆的形式多样，如古钟和钟舌，以及太空球玩具。进而说明力学模型的概念，并用《列子·说符》解释，“得其精而忘其粗，在其内而忘其外，见其所见，不见其所不见，视其所视，而遗其所不视。”最后观看两种双摆混沌运动的视频。用形状若玩具人的磁耦合双摆说明翻滚运动的不可预测性，用普通双摆的自由振动说明初态敏感性。

混沌部分还较为详细地阐述了初态敏感性。先通过呈现混沌的logistic映射说明误差在迭代中迅速放大，原来10^-8量级的误差在50次迭代后变成10^-1量级。给出初态敏感性的定义，并说明初态敏感性导致长期预测的不可能。介绍了现代非线性动力学之父Poincaré对初态敏感性数学机理的分析，以及他所论述初态敏感性导致确实性描述中出现偶然性。还简要介绍了Lorenz论述初态敏感性与不可预测性的经典论文，播放了动力学方程为Lorenz方程的Lorenz水轮的混沌转动。

文娱总结部分先介绍西方和华夏古籍中有关混沌的词语，以及关于初态敏感性的描述。然后播放电影《侏罗纪公园》和电视剧《生活大爆炸》的两个片段，分别是剧中的应用数学家和理论物理学家解释什么是混沌。最后的结束语中给学生建议，在充满不确定性的世界里，选择荣誉和正义，坚持走正道。

4 主要特色

课程内容处理的突出特色是由点到面、深入浅出。周期运动聚焦于单摆的等时性及其周期，也简要介绍星体的周期性运动。混沌侧重初态敏感性的阐述。使得学生从中学掌握的知识起步，最后对混沌概念有了一定的理解。

课程内容处理的另一个特色是史论融通，聚知成识。结合科学知识的历史发展过程阐述。认识到知识增长的艰辛。如中学就学过的单摆周期公式，最初Galileo也有错误。通过学习周期运动和混沌的具体知识，提升对复杂性和不确定性的认知，增长见识。

形象生动，寓教于乐。教学中为直观易懂，用的大量的视频。如单摆的等时性实验、单摆波、三种双摆的周期和混沌运动、Lorenz水轮的混沌转动等。最后的混沌概念总结是用播放影视作品片段，由剧中人物说出。

5 总结

上海大学核心通识课“无处不在的力学”中包括两学时的“周而复始与杂乱无章—浅说周期运动与混沌”，已经讲过8轮，有近千名学生听课。基本的教学设计是温故知新，从单摆的周期运动到双摆的混沌运动，追求历史和逻辑的统一、知识传授和能力培养兼顾。主要教学内容包括单摆和星体的周期运动、双摆的混沌运动与初态敏感性以及中外典籍和影视作品中与混沌和敏感性相关内容的采撷。主要特色是深入浅出、聚知成识和寓教于乐。

参考文献

[1] 楚海建, 陈立群, 张田忠. 核心通识课“无处不在的力学”的教学实践[J]. 力学与实践, 2022, 44(2): 443-446

[2] 陈立群. 通识课“混沌与非线性思维”建设[J]. 力学与实践, 2020, 42(1): 75-79

[3] 陈立群. 中国古籍中的初态敏感性和混沌[J]. 力学与实践, 2014, 36(5): 680-681

摘  要：本文总结上海大学核心通识课“无处不在的力学”中两学时周期运动与混沌的教学内容处理。说明了课程设计的基本考虑，概述了课程中单摆和星体周期运动以及双摆混沌运动和初态敏感性等主要内容，分析了教学处理的特色为深入浅出、聚知成识和寓教于乐。

关键词：力学，通识教育，课程，周期运动，混沌

收入《2022新时代高校力学教学改革与创新研讨会论文集》(高等教育出版社，2023电子出版)