——科学史札记之一

纵观科学史，某些科学思想随着时间的推移不断回响，以不同的名义出现在不同的学科中。最持久的观点之一是勾股定理（毕达哥拉斯定理）所表达的观点。

勾股定理原本的核心是揭示直角三角形三边的数量关系，其诞生与多个古代文明的实践需求紧密相关。不同文明在独立发展中，基于测量、建筑等需求，先后发现并记录了这一规律，形成了各具特色的表述与应用。

对于任意直角三角形，设两条直角边的长度分别为a、b，斜边长度为c，则三边满足固定关系：a²+b²=c²，即，“直角边的平方和等于斜边的平方”。勾股定理是被誉为“几何学的基石”，推动了无理数、解析几何与三角学的发展，成为连接代数与几何的桥梁，其深远影响贯穿整个数学史。

在数千年传承和发展历程中，勾股定理背后的“正交性”和“间距度量”思想影响了几乎所有学科。例如，在现代物理学中，“正交性”（如空间维度的垂直、时空的分离、场的垂直振动等）是描述物理规律的基本框架，而勾股定理及其推广形式正是这种正交性的数学表达。从经典力学的矢量运算到相对论的时空观，从电磁学的场叠加到量子力学的角动量，勾股定理始终是连接几何与物理的核心桥梁，支撑着现代物理理论的逻辑自洽与定量计算。

1 古埃及

早在公元前2000年左右，古埃及就已掌握利用直角三角形边长关系解决实际问题的方法，其证据主要来自建筑实践与出土文献。

图1 古埃及人用等距绳结的绳索自然形成直角三角形

古埃及人最典型的实践是用“3-4-5”边长的绳索围成直角三角形，以确定土地边界或建筑地基的直角，这一方法直接体现了勾股定理的本质（3²+4²=5²），具体场景包括：土地划分——尼罗河每年泛滥后，土地边界被冲毁，官方“土地测量者”（古埃及最早的“几何学家”）需用绳索快速重建直角，确保公平分配土地。建筑奠基——建造金字塔、神庙（如卡尔纳克神庙）等大型建筑时，直角是核心结构要求。工匠会将一根打有12个等距绳结的绳索（总长度可分为3、4、5段），由三人分别拉住绳结的第1、4、12个点，自然形成直角三角形，其直角对应第4个绳结的位置。

1858年，在埃及古都底比斯（Thebes）的废墟中，发现了数学文献《莱因德纸草书》——英国学者亚历山大・亨利・莱因德在埃及卢克索购买了这份文献，因此得名。现主要部分保存在大英博物馆，另一部分收藏于纽约布鲁克林博物馆。纸草书约成文于公元前1650年，由抄写者阿莫斯编写，他在纸草书中提到这份作品是基于更早期的文献。该纸草书长度约为5.25米，宽度为32厘米。内容涵盖算术、代数、几何和测量等领域，包含87个具体的数学问题及其解答。其中虽未直接提及“勾股定理”，但部分问题隐含了对直角三角形边长关系的认知——文献中记录了直角三角形、矩形的面积计算，以及如何通过已知边长求未知边长（如已知矩形的一边和对角线，求另一边）。但是，文献中未发现系统的勾股数列表，仅聚焦于单一勾股数（3,4,5）的应用技巧。

综上，古埃及人是勾股定理的早期实践者，其基于绳索的直角构建方法，是该定理在古代文明中最直观的应用案例之一，但未形成抽象的数学理论，与毕达哥拉斯的理论证明工作分属不同范畴。

2 古巴比伦

古巴比伦探索并应用勾股定理的核心证据来自出土的古巴比伦泥板——普林顿322号泥板（Plimpton 322）。这是公元前1800年左右（古巴比伦第一王朝时期）的泥板，它出土于古城拉萨尔，原为美国商人E.J.班克斯所有，1923年转归纽约文献收藏家G.A.普林顿。1936年普林顿去世后，将其遗赠给哥伦比亚大学。泥板上记有4列15行六十进制的数字，其内容记录了15组“勾股数”（即满足a²+b²=c²的正整数组，如3,4,5），而且并非简单的小数值，而是包含复杂的大数字（如119,120,169）。这些勾股数并非随机罗列，而是按规律排列，由此可推测古巴比伦人已掌握生成勾股数的系统性方法（类似后来的“勾股数公式”），而非仅靠经验枚举。

图2 普林顿322号泥板（图片来源：网络）

古巴比伦人探索这一规律，也是服务于实际需求：土地测量——古巴比伦位于两河流域，频繁的洪水会冲毁土地边界，需重新划分。利用勾股定理可快速构建直角（如用3、4、5长度的绳索围成直角三角形），确保土地划分的准确性。建筑与天文——在建造神庙、城墙等建筑时，直角是核心结构需求；天文观测中，也需利用直角三角形的边长关系计算天体位置或距离。

综上，虽未发现古巴比伦人对定理进行严格的数学证明，但他们是最早发现并系统性应用勾股定理规律的文明，为后来的数学发展提供了重要实践基础。

3 古代中国

中国古代对勾股定理的记载最早见于《周髀算经》，这是一部成书于西汉时期（约公元前1世纪）的数学和天文学著作，但其中的内容可能源自更早的先秦时期。在《周髀算经》中，记载了西周初年（约公元前11世纪）数学家商高与周公的对话，商高提到：“故折矩，勾广三，股修四，径隅五。”意思是说，直角三角形的短直角边（勾）为3、长直角边（股）为4时，斜边（弦，书中称“径隅”）为5，这是勾股定理最经典的整数特例。

在《周髀算经》中，还通过荣方与陈子的对话，记载了陈子明确表述过勾股定理的一般形式：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”即，。“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，意为“勾的平方加股的平方，开平方后即为弦的长度”，完整涵盖了勾股定理的核心内涵，比西方同类系统记载早数百年。

图3 陈子测日（左）和赵爽的“弦图”示意图（右）

三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时创制称为“弦图”几何图形，基于“出入相补”原理，通过平移、旋转实现面积等效变换，用于证明勾股定理。赵爽指出：勾、股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦。案弦图：又可以勾、股相乘为朱实二，倍之，为朱实四。以勾、股之差自乘，为中黄实。加差实，亦成弦实。译成现代汉语就是：勾、股分别自乘，加在一起，等于弦方的面积；将其开方，即得弦长。按照弦图，又可以勾和股相乘为两个朱色三角形面积，加倍得弦方四角的四个朱色三角形面积。同时勾股差的平方，等于弦方中间黄色方块的面积。所以四个朱色三角形面积加上勾股差平方的面积，也得成弦方的面积（图3右）。

弦图是中国数学史的重要标志，2002年国际数学家大会采用弦图作为会标，彰显了其在中国数学史中的代表性地位。赵爽注文是数学史上极有价值的文献。

刘徽于魏陈留王景元四年，即公元263年撰写了《九章算术注》，采用“割补术”，通过构造“青朱出入图”证明了勾股定理。依据其描述“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也”，刘徽认为：要证明 a²+b²=c²（a为勾、b为股、c为弦），只需将“勾方”（以a为边长的正方形）和“股方”（以b为边长的正方形）分割成若干小图形，再把这些小图形完整拼合成“弦方”（以c为边长的正方形），即可通过面积相等验证定理。

有一个更简单的证明（图4），被认为符合刘徽的描述（参考资料[1]）。据说，是印第安纳州南本德中学的一名高中生莫里斯·莱斯内兹的功劳。但，尼尔森（Nelsen，1993）在一本书中重现了这一点，将其归因于中国数学经典《周髀算经》（参考资料[2]）。

图4 勾股定理的证明。通过重新排列三角形（浅灰），

可以看到两个直角边的平方和等于斜边的平方

4 古希腊

尽管如此，在海外这个定理还是被归功于毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前570年-约公元前495年）。西方数学史研究者普遍认为毕达哥拉斯虽然很可能不是第一个发现这个定理的人，但很可能是第一个在古希腊数学传统中给出严格证明的人。普罗克洛（Proclus，公元5世纪）在注释欧几里得《几何原本》时明确写道：“如果我们聆听那些希望追溯历史的人，他们就会把这个定理归于毕达哥拉斯，并说他为此庆祝了一个献祭。”

毕达哥拉斯的数学哲学思想认为数是万物本原。他潜心研究数学，给数赋予了很多特殊的含义，还把数从具体事物中抽象出来。传说毕达哥拉斯到一位朋友家做客，大家都在无聊地等待开饭，而毕达哥拉斯利用这段时间仔细观察朋友家美丽方形的瓷地板砖，他拿出一支笔蹲在地上，以其中一块瓷砖的对角线为边画正方形，发现这个正方形的面积恰好等于两块瓷砖的面积之和。

毕达哥拉斯被西方学者认定是第一个把勾股定理普遍化的人（由适用于特殊的等腰直角三角形到一般的直角三角形），进行量化和抽象，完成较为严格的逻辑证明。传说毕达哥拉斯在完成这个定理证明后，宰杀了100头牛来庆祝。这个传说虽可能夸张，但生动反映了该定理在学派中至高无上的地位。这个最早的证明具体是什么样子已不可考，但普遍认为，它很可能类似欧几里得《几何原本》第一卷命题47的证明思路，将直角三角形斜边上的正方形面积，通过几何变换证明等于两直角边上正方形面积之和。这种演绎证明是古希腊数学革命的核心。

图5 毕达哥拉斯（右）和欧几里得《几何原本》中的毕达哥拉斯定理证明（左）（图片来源：网络）

公元前300年左右，欧几里得《几何原本》将毕达哥拉斯定理作为第一册的第47号命题：“在直角三角形中，直角所对之边（斜边）上的正方形面积等于夹直角两边上的正方形面积之和。”也就是说，欧几里得并未直接使用现代符号公式c²=a²+b²，而是以几何语言描述：以斜边为一边所作的正方形，其面积等于分别以两条直角边为边所作的两个正方形面积之和。

真正将勾股数公式系统化、一般化的是古希腊数学家欧几里得，他在《几何原本》第10卷中，提出了勾股数的“通用构造方法”——若取两个正整数 （m>n），则勾股数可表示为：（m²-n²,2mn,m²+n²）。随着代数思想的发展（如中世纪阿拉伯数学、近代欧洲数学），欧几里得的几何构造法逐渐被转化为更简洁的代数公式，例如， （n²-1,2n,n²+1） 因形式简单、易于计算，成为最经典的“勾股数特殊公式”之一，常被用于快速生成基础勾股数（如n=2得3,4,5；n=4得15,8,17等）。

5 结语

勾股定理的诞生并非偶然，而是古代文明“解决实际问题”的产物：对巴比伦、埃及而言，它是测量与建筑的工具（定直角、算边长）；对希腊、巴比伦而言，它是数学抽象思维的起点（从具体案例到通用定理）。中国古代对勾股定理的发现和证明都作出了巨大贡献。

我们在前面多次引用公式a²+b²=c²。实际上，只有在1557年（毕达哥拉斯之后约2000年）英国数学家和医生罗伯特·雷科德（Robert Recorde，1510-1558）发明了等号以后，才能够将毕达哥拉斯定理写成这样的方程。

这“古代文明的智慧结晶”的定理，至今仍是数学、物理、工程等领域的基础，堪称“跨越千年的智慧桥梁”。

参考资料：

[1] James Overduin, Richard Conn Henry. Physics and the Pythagorean Theorem.9 Jun 2020

https://arxiv.org/abs/2005.10671

[2] Nelsen, Roger B. 1993. Proofs without words: exercises in visual thinking, Vol. 1 (The Mathematical Association of America), p. 3