爱因斯坦相对论的一种新几何

维也纳的一组数学家正开发工具来扩展广义相对论的范围。

Steve Nadis 著

左   芬    译

【译注：原文2025年7月17日刊载于Quanta Magazine，链接见文末。】

2015年10月份，一个名叫Clemens Sämann的年轻数学家在意大利都灵市参与完一场会议飞回奥地利时，有了一次偶遇。他发现邻座是另一位参会者，Michael Kunzinger。Kunzinger是维也纳大学的一名数学家，而Sämann刚开始在那里的博士后研究。他们很快就交谈起来，并且谈起了Sämann从研究生时期就开始思考的一个主题——是否有一种数学方式可以规避爱因斯坦广义相对论的局限性。

爱因斯坦理论将引力定义为由物质和能量的存在引起的时空弯曲。自从1915年提出之后，它相当好地经受住了考验。这一理论由十个相互关联的微分方程组成，描述了物体如何下落，光如何弯曲，以及行星、恒星和星系如何运转。它告诉我们宇宙在膨胀，并且在确切观测到之前一个世纪就预言了黑洞和引力波的存在。

可是在这些成功之外，爱因斯坦理论也有不足的地方。它的方程只能在时空几何光滑——没有尖锐的角或者说尖端，也不会在某些区域突然变得参差不齐——的时候描述物质如何弯曲时空。把时空想成平的橡皮薄片，而物质是放在其上的保龄球，会使其弯曲。如果时空是光滑的，那么这一弯曲会是逐渐的。

可是物理学家知道并非总是如此。例如，黑洞会非常剧烈地扭曲时空，导致薄片尖锐地弯曲，直到在黑洞中心（所谓奇点）处曲率会“爆炸”，变成无穷大。一些物理学家甚至认定时空不仅仅在孤立的奇点处变得不光滑，而是在每个点上。在最小的尺度上，时空可能是“离散的”，或者像素化的——破碎成微小的，不相连的比特，就跟流体看起来是一个单一的整体，但实际上是由不同的原子和分子组成的一样。

在这些情形下，广义相对论陷入了僵局。一旦时空不是足够光滑的，爱因斯坦方程就没法运作了。它们不再能告诉我们物质如何弯曲时空，或者弯曲的时空如何影响物质。

这是因为这些方程依赖于微积分中度量函数变化快慢的一种叫做微分的技术，而微分在远离光滑的情况下没法再使用。于是，在回奥地利的航班上，Kunzinger和Sämann琢磨他们是否能开发出另类的方法——可以在常规微积分工具失效的不友好环境下也仍然能运作。

Clemens Sämann 共同证明出了“可能具有尖角，边缘和折叠”的时空中的重要奇点定理。

两人接下来一年里并没有急着去研究这一问题。不过再之后，他们朝着自己的目标得到了显著的进展。他们找到了新的方法来估计曲率和其它几何性质，而无需依赖光滑性和微分。与其他研究者合作，他们还使用这些方法，无需依赖爱因斯坦方程就重新推导（并且有时候强化）出了关于宇宙的核心定理，从而将这些定理置于更加坚实的数学基础之上。

并且他们现在还加入了一个更加雄心勃勃的新计划——去年启动的，由维也纳大学的另一位数学家Roland Steinbauer领导——旨在提供“爱因斯坦相对论及其推广的一种新几何”。

“标准的广义相对论研究几何对象，也就是时空，但只有在它们的行为足够良好的时候，”Steinbauer说道，“有了这一全新的架构，我们就可以走得更远。我们可以处理非常尖锐、行为非常坏的对象。”

三角剖分法

当Kunzinger和Sämann2016年开始合作时，他们的首个目标是修订爱因斯坦方程中出现的最基本概念之一：曲率。

曲率是时空在一个给定点上弯曲程度的一种度量。数学上有许多种方式刻画它。通常，计算这些不同类型的曲率都需要微积分。可是Kunzinger和Sämann想找到一种方法，不需要光滑性的假定也能估算出时空曲率。特别地，他们想要估算处于爱因斯坦方程中核心地位的一种曲率——所谓Ricci曲率——以便接着使用他们的方法去证明关于黑洞和其它现象的断言。

可是Ricci曲率很复杂，Kunzinger和Sämann还没准备好去处理它——在当时。他们首先着手一种更加直接的曲率概念，所谓截面曲率，它可以告诉你时空不同的二维切片在一个点上如何弯曲。如果他们可以在不光滑的情况下计算出这一曲率，还是能处理他们想要证明的断言的更加受限的版本。

他们想到了从何着手。如果考虑的是常规数学空间——而不是广义相对论里烦人的时空——数学家们几十年前就知道有一种另类的方式可以描述截面曲率。这一方法让他们能用简单的三角形对一个形状的曲率予以界定。

假定你有一张二维曲面，像是球面。为了估计它的曲率，先在曲面上画三个点，然后用最短（因此也最直）的路线把它们连起来。接着在一个平面上画出另一个具有同样边长的三角形。你已经知道平面的曲率——是零——因此这个新三角形会为你提供有用的参照。

现在比较这两个三角形。你会发现近球形的曲面上的三角形比平面三角形的角度更大，并且两条边的中点的连线会更长。这告诉你你的曲面的曲率大于0。

类似地，你可以将原始三角形与画在高度弯曲的曲面（比如半径小的球面，它的曲率很容易计算）上的三角形进行比较，以便得到上界。如果你持续地调整你的参照曲面，你能把关注的曲面的曲率聚焦到非常精确的范围内。

通过这种比较三角形的方法，数学家规避了计算曲率对微积分的需求——因此他们的方法无需研究的曲面是光滑的。

Michael Kunzinger想把爱因斯坦的广义相对论推广到不那么光滑——也就可能更现实——的情况下。

Kunzinger和Sämann想把这种方法改造到对时空也适用。可是在广义相对论的情境下对三角形做比较要复杂得多，因为时空具有一些古怪的，反直觉的特性。比方说，距离不再是绝对的。它们会收缩或膨胀，取决于观测者的速度。此外，涉及时间维度的计算与仅涉及空间维度的计算截然不同。（在时间方向上移动需要从距离计算中减除，而非加和。）

于是Kunzinger和Sämann选择用“时间间隔”来度量距离——从一个点行进到另一个点花费的时间，按照沿该路径移动的时钟来计时。（他们假定永远不可能超光速运动。）

当他们接着画出三角形的每条边时，选择给出最大时间间隔的路径。也就是说，每条边（以时间而论）形成最长路径，而非最短的。这是因为这一路径，就跟常规数学曲面上的一样，仍然是尽可能直的。基于时间的距离定义会违背我们的日常直觉。时空中一条更加迂回的路径实际上花费的时间更少。“这里，绕行更短，”Kunzinger说道，“这是新设定的关键。”

采用这一距离概念，他和Sämann在一个给定时空模型中画出三角形，并将它们与画在已经知晓曲率的一个参照模型中的三角形进行对比。他们进而证明这一方法可以给出很好的曲率估计：例如，他们可以使用它来证实，在黑洞内部     截面曲率变成无穷大。

并且它在他们可能选择的任何不光滑情况下都适用，Sämann说道，只要他们能以同样的方式通过时间来定义距离。“你的时空可以有角落，边缘或是折叠，这都无关紧要，”他说，“这一方法不介意非光滑性。”

于是他们想要用这种方法做点什么。

奇点的存在

1965年，物理学家Roger Penrose证明了一个定理，而正是该定理后来让他收获了诺贝尔奖。使用几何论据，他证明，在某些条件下（例如存在由坍缩恒星的引力牵引形成的“俘获面”），奇点不可避免地形成——也就是这样的点，那里的曲率变得非常之强，因而引力也非常之强，使得离开它的哪怕是光线也无法逃逸。换句话说，黑洞中心处的奇点不仅仅是数学上的抽象化；它们可以在宇宙中实际形成。

第二年，Stephen Hawking把Penrose的想法移植到宇宙学场景下，证明如果同样假定某些条件，那么在过往的某个时刻必然会有一个奇点。Hawking的定理，据Steinbauer说，“一般认为是大爆炸发生的数学证据。”

可是Penrose和Hawking的证明都需要假定时空是光滑的——这一局限性Hawking本人在他1973年与物理学家George Ellis合写的一本书里也承认了。

由Roland Steinbauer（右上）领导的一个数学家小组正发展新的几何技术来回答关于宇宙的问题，Raquel Perales（左上）和Chiara Rigoni是小组的两个首席研究员。

Kunzinger和Sämann想要使用他们估算曲率的新方法来判定这些奇点定理在不假定时空光滑的时候是否仍然成立。奇点在更粗糙，看上去更现实的空间中是否仍然存在？弄清光滑性条件是否可以去除是很重要的，Sämann说道，因为这么做可以让这些定理更加接近物理现实。毕竟，他补充道，“我们相信非光滑性是自然世界不可避免的部分。”

2019年，两人与伊利诺伊大学的Stephanie Alexander（后于2023年逝世）及如今在汉堡大学的Melanie Graf一同证明了Hawking奇点定理的一种特殊情形。对于时空的简化模型——不是光滑的，但具有一种特定结构——他们证明如果你逆着时间去追踪粒子或光线的路径，那么这些路径必定是有限的。

也就是说，奇点必然在过去的某个时刻出现。

“这在概念上说明我们可以用这一方法证明之前仅在更受限的光滑领域成立的奇点定理。” Sämann说。他们的三角形比较方法不仅仅是作秀的；它还可以告诉他们关于宇宙，关于各种时空中奇点存在性的一些有用的东西。

可是这一技术只能够提供截面曲率的估计。而截面曲率提供的关于时空曲率的信息比Penrose和Hawking定理所需求的更加详尽。基于截面曲率上的推导，Kunzinger, Sämann和他们的合作者只在一些更加受限的条件下证明了他们的结果，相比于他们想要证明的情况而言。为了在完全一般的情况下——如同Hawking和Penrose一样——重新证明奇点定理，这些数学家得转而将他们的推导建立在没那么详尽的曲率信息上。他们得使用Ricci曲率，而非截面曲率。

为了实现这一点，他们需要一些新的玩家来贡献力量。

拿破仑时代的概念

2018年，当Kunzinger和Sämann正发展他们截面曲率的技术时，多伦多大学的Robert McCann决定采用一个完全不同的数学领域中的工具来处理这一问题。具体来说，他希望使用一种叫做最优传输的方法。

18世纪晚期，Gaspard Monge想到一种办法来高效地传输泥土，以便为拿破仑军队建造防御工事。数学家继续发展他的“最优传输”技术去解决其它优化问题。

这一想法可以追溯到19世纪晚期，当时拿破仑指派法国几何学家Gaspard Monge去传输大量的泥土，以构建防御工事。Monge利用他的数学技能想出了代价最小的方法，来将原料分配好并送往目的地。

两个多世纪之后，McCann找到了办法来用Monge的技术估算Ricci曲率。截面曲率会精确地告诉你空间的二维切片在不同的方向会如何弯曲，而Ricci曲率只会给出更加平均意义上的弯曲程度。它本质上度量着一个物体在穿过曲率变动的时空区域时的体积变化。而最优传输，McCann意识到，可以向你提供这些体积变化的信息。

为了对这一运作方式有所把握，我们来看一个简单点的例子。假定你在地球北极有一堆沙子，而你想要把它传输到南极去。你可以用最优传输技术来研究沙粒会如何在两极之间移动，以及它们的体积会怎么沿路变化。当它们沿着朝向赤道的最直接路径，在地球表面运动时，它们会散开，包含更大的体积，接着又收缩起来。它们的体积变化方式反映了地球的曲率。

McCann利用最优传输与曲率的这一联系，发展出一种无需微积分就可估计时空Ricci曲率的方法。不过这一方法仅仅在时空光滑的时候可行。

接着，几个月后，两位数学家——牛津大学的Andrea Mondino与德国波鸿鲁尔大学的Stefan Suhr设法（使用Kunzinger与Sämann研究中的见解）把最优传输技术改造到可以在不光滑情形下运作。2020年，Mondino与米兰大学的Fabio Cavalletti证明Hawking的奇点定理在这些情况下仍然成立。事实上，他们可以让它在更一般的时空模型下成立，相比于Kunzinger和Sämann的证明。并且他们估计Ricci曲率的方法还使得他们证明定理时无需像Kunzinger和Sämann那样做出非常受限的假定。

这一证明不仅展示了他们方法的威力，还为大爆炸奇点的想法提供了更加坚实的数学基础。

“它表明奇点定理其实更加基本”，比起数学家和物理学家此前能够证明的，据哥本哈根大学的Eric Ling说。他未参与到这一研究中。Hawking和Penrose的奇点并不需要光滑时空。哪怕在一个粗糙得多的环境——具有尖角，边缘或者其他奇怪的几何性质——它们也不可避免地出现。

“广义相对论中的主要结果实际上都可以推广到一种更加弱化的情况下，其中光滑的内在时空是不必要的，”阿尔伯塔大学数学家Eric Woolgar说道，“这其中蕴含的思想非常惊人。”

一种新的微积分

更多想法还在到来。去年，McCann，Sämann和六位合作者开始发展方法来将微积分中的技术推广到不光滑情况下。“我们还不能做完整的微积分，” Sämann说道，不过“这应该会大幅扩展工具箱。”数学家们已经在使用这些技术来证明其它奇点定理和相关的断言。

就在上个月，Cavalletti和Mondino，连同意大利高等研究院的Davide Manini一道，首次在不光滑时空中重新证明了Penrose关于黑洞的奇点定理。

经济资助也随之来临。去年，Steinbauer，Kunzinger，Sämann和他们的合作者从奥地利科学基金会收到了一笔7百万欧元的拨款，可用来继续他们的工作。他们也招募了更多的研究者加入团队，并且如今启动了多个项目——全都旨在发展新的数学以拓展广义相对论的疆域。

Steinbauer尤为兴奋的是，这一计划将来可能有助于构建一种量子引力理论——长期以来试图统一广义相对论定律与亚微观世界的量子物理定律的一种方式——的数学基础。“许多量子引力的方案都预言，在基础层面上，时空是离散的，”他说道，“你会得到空间中孤立的点，而非时空连续体。而我们的架构在这些离散情形下仍然能给出曲率。”既然它能给出曲率，那么很可能它也能给出引力。

Sämann已经迫不及待想看到这一集体工程下一步的成果了。“人员还在加入，”他说，“这个项目其实才刚刚开始。”

原文链接：

https://www.quantamagazine.org/a-new-geometry-for-einsteins-theory-of-relativity-20250716/