量子化的目标

早期量子理论的发展（1900-1925）充满了各种特定问题的临时解决方案。普朗克的能量量子化只适用于黑体辐射，玻尔模型（1913）虽成功解释氢原子光谱，但其轨道量子化规则无法推广到复杂原子或分子。这些模型都是"定制的"，缺乏处理一般问题的能力。

因此量子力学需要一种描述和求解普遍物理问题的方法，或者数学框架。上文讲了，量子化就是要把物理客体——无论是粒子、场还是复杂系统——变成随时间演化的波、函数或泛函。只有完成这种转化，才能建立求解一般物理问题的系统方法。

薛定谔方程

薛定谔（1926）提出的波动方程是第一个能够处理一般量子体系的方程： 

$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=\hat{H}\psi$

这个方程的革命性在于：

• 适用于任意势场中的粒子

• 可以推广到多粒子系统

• 能自然得出能级、跃迁概率等可观测量

然而，薛定谔从未说明他如何得到该方程。他的原始论文提到了：

• 德布罗意物质波的启发

• 与经典光学的类比

• 对氢原子已知能级的验证

• 某种"数学直觉"

这种推导的模糊性困扰了同时代物理学家。薛定谔"猜"出了正确的方程，而不是从基本原理推导出来。

正则量子化方法

薛定谔方程出现仅仅几个月之后，狄拉克（1926年9月）就在《量子力学的普遍理论》中提出了系统的量子化方法，并首次使用了"canonical quantization"（正则量子化）这一术语。

“正则”： "Canonical"源自拉丁语"canon"，在西方传统及日常中都指"标准的、权威的"意思。狄拉克使用该词，意在强调从经典到量子的标准转换。然而，"正则"在汉语中是物理学翻译引入的新造词，日常语言中并不存在，听起来生疏。英语读者能从"canonical"联想到"标准、正规"，而中文"正则"有点晦涩，直接翻译成“标准”也是可以的。

狄拉克注意到到海森堡的矩阵力学和薛定谔的波动力学虽然形式不同，却隐含着相同的数学结构。关键在于找到连接经典与量子的桥梁。狄拉克发现：

• 海森堡的矩阵对易子$[A,B]=AB-BA$

• 经典力学的泊松括号$\{A,B{\}}_{\text{P.B.}}$

• 两者通过关系$[A,B]=i\hslash \{A,B{\}}_{\text{P.B.}}$联系

正则量子化程序：

1. 识别经典系统的正则变量$(q,p)$

2. 将其提升为满足$[q,p]=i\hslash$的算符

3. 任何经典物理量$f(q,p)$对应量子算符$\hat{f}(\hat{q},\hat{p})$

4. 经典泊松括号对应量子对易子

正则量子化方法，将量子理论从"灵感式发现"转变为"系统性方法"。

经典力学的正则形式

经典力学的正则形式并非一开始就存在。牛顿力学（1687）直接处理力和加速度，拉格朗日（1788）引入广义坐标和最小作用原理，哈密顿（1834）才建立了正则形式。这一演进历时近150年。

哈密顿正则形式用广义坐标$q_i$和共轭动量$p_i$描述系统，引入哈密顿量$H(q,p)$作为总能量，动力学由哈密顿方程决定： ${\dot{q}}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},{\dot{p}}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$

物理量之间通过泊松括号联系： $\{f,g{\}}_{\text{P.B.}}={\sum }_i\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right)$

对物理实在理解的影响：

• 牛顿力学：物理实在是具体的力和轨道

• 拉格朗日力学：物理实在是能量和作用量

• 哈密顿力学：物理实在是相空间中的演化流

正则形式揭示了经典力学的抽象结构——不再关注具体力的形式，而是系统在抽象相空间中的几何演化。这种抽象化为量子力学铺平了道路：当相空间点变为希尔伯特空间中的态矢量，泊松括号变为对易子，经典正则形式可以自然过渡到量子理论。

正则形式的出现表明，即使在经典物理中，"实在"的含义也在不断演化——从直观的力学图像到抽象的数学结构。

哈密顿首先将 $(q_i,p_i)$ 称为“正则变量”（canonical coordinates 或 canonical variables），强调它们是描述系统状态的“最自然、最对称的变量对”。这一术语的选择源于数学中对“正则变换”（canonical transformations）的研究——这类变换保持相空间的几何结构（如辛形式），而哈密顿方程正是通过正则变换从拉格朗日方程导出的。这是狄拉克使用“正则”一词的出处。

全新的数学框架

正则量子化之后，我们得到了：

1. 波函数（态函数）：$\psi (x,t)$或态矢量$|\psi (t)⟩$，描述系统状态随时间的演化。这些函数包含系统的全部信息。

2. 算符体系：

• 位置算符：$\hat{x}=x$（在坐标表象中）

• 动量算符：$\hat{p}=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}$

• 哈密顿算符：$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+V(\hat{x})$

3. 对易关系：$[\hat{x},\hat{p}]=i\hslash$，决定了量子测量的不确定性和算符代数结构。

4. 动力学方程：

• 薛定谔方程：$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=\hat{H}\psi$

• 海森堡方程：$\frac{d\hat{A}}{dt}=\frac{i}{\hslash }[\hat{H},\hat{A}]$

这套数学结构的求解能力：

• 能级问题：通过求解定态薛定谔方程$\hat{H}{\psi }_n=E_n{\psi }_n$，得到系统能级和本征态。

• 时间演化：给定初态$\psi (0)$，通过时间演化算符$U(t)=e^{-i\hat{H}t/\hslash }$求得任意时刻状态。

• 跃迁概率：计算不同态之间的跃迁矩阵元$⟨f|\hat{O}|i⟩$，预言实验观测结果。

• 期望值演化：物理量期望值$⟨\hat{A}⟩=⟨\psi |\hat{A}|\psi ⟩$随时间的变化。

具体应用实例：

• 氢原子：精确求解能级，解释光谱线

• 谐振子：描述分子振动、晶格振动

• 隧道效应：计算势垒穿透概率

• 散射问题：预言粒子碰撞截面

正则量子化方法将"不可解"的量子问题转化为"可计算"的数学问题，使微观物理从定性描述走向定量科学。

正则量子化的深刻含义：经典物理的延续

正则量子化的成功揭示了一个深刻事实：微观世界虽然表现出量子特性，但其底层仍由经典的力和相互作用支配。正则量子化依赖经典哈密顿体系——包括势能、动能、相互作用等经典概念。这表明，量子世界并非完全陌生的领域，而是经典物理物理概念和规律在微观领域的体现。

等价的拉格朗日形式： 量子力学同样可用拉格朗日形式表述。费曼路径积分正是基于经典作用量： $\int \mathcal{L}(q,\dot{q})dt$

量子演化通过对所有可能路径的相位$e^{iS/\hslash }$求和得到。这证明最小作用原理在量子领域依然有效，只是从"选择唯一路径"变为"对所有路径加权求和"。

全局关联的物理体系： 最小作用原理和变分法的有效性说明了量子系统是全局关联的：

• 经典粒子：沿作用量极小的路径运动

• 量子粒子：同时"感知"所有可能路径，通过相位干涉选择概率分布

这种全局关联性解释了量子的全局性(非定域性)：粒子的行为不仅由局部力决定，而是由整个时空中所有可能演化的总体贡献决定。双缝实验中，电子"知道"两条缝的存在，正是这种全局关联的体现。

正则量子化的成功不是偶然的。它表明量子力学并非推翻经典物理，而是将经典的局部、确定性描述推广为全局、概率性描述。力、能量、作用量等经典概念仍是理解自然的基础，只是在微观尺度上必须考虑所有可能性的相干叠加。

抽象的代价：正则量子化中的信息完整性问题

从抽象到具体的必要性： 正则形式虽然优雅，但正则坐标$(q,p)$必须对应具体物理量才有意义。例如：

• 粒子运动：$q$是位置，$p$是线动量

• 转动系统：$q$是角度，$p$是角动量

• 场论：$q$是场构型，$p$是场的共轭动量

抽象带来的根本问题： "抽象"意味着脱离本体。当我们将复杂物理系统简化为$(q,p)$时，不可避免地丢失了某些信息，比如：

1. 内部结构信息：将复合粒子当作质点，忽略了内部自由度

2. 环境相互作用：孤立系统假设忽略了与环境的纠缠

3. 约束条件：某些物理约束在正则形式中可能不明显

4. 拓扑性质：相空间的整体结构在局部坐标中可能丢失

具体例子：

• 自旋：经典正则变量无法描述，必须额外引入

• 全同粒子：正则量子化不能自动给出费米/玻色统计

• 规范场：存在非物理自由度，需要额外约束

信息完整性的判据： 抽象模型是否保留了全部必要信息，需要通过以下方式验证：

• 实验预言是否完备

• 是否出现非物理结果

• 对称性是否得到正确体现

• 极限情况是否合理

所以，正则量子化的成功应用需要谨慎。每次抽象都可能丢失信息，从抽象模型外推时必须时刻警惕：我们的数学框架是否真正捕捉了物理系统的本质？这种批判性思考是避免理论误导的关键。