Zmn-1320 薛问天: 这五个观点错在哪里，评杨六省《1317》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对杨六省先生的《Zmn-1317》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

这五个观点错在哪里

评杨六省《1317》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

杨六省观点的错误，我们己指出多次，但他始终不改，也不辩解，不回答。你应知道，在你回答不出道理来时，就应承认错误。不要在没有道理的情况下还坚持错误。你要是想不通 ，就把你的道理讲出来。

一，杨先生说【由√2=p/q（p，q 都是整数）推不出√2=p/q（p，q 互质） 】

要知道杨先生的一个最大的问题，就是他不懂量词。他不懂带参数的命题A(p，q)，不说清楚参数p和q的意义是判断不出真假的。这个不带量词的命题【推不出来】，是说这两命题中的参数p和q分别相等时【推不出来】，並不说明有任何问题。因为【有理数】的定义中是有存在量词的，不是杨六省把【√2是有理数】说成是【√2=p/q（p，q 都是整数）】 。确切地说，应是【√2是有理数】是【存在着整数p，q，使√2=p/q。】′′要知道有了存在量词、【存在着整数p，q，使√2=p/q。】就不是【推不出】，而是【当且仅当】【存在着整数p，q互质，使√2=p/q。】也就是说，这两个命题是等价的。因为存在着的整数p和q并不要求分别相等。因而在√2不是有理数的证明中，把反论论【√2是有理数】写成【存在着整数p，q 互质，使√2=p/q。】一点错误都没有。

二，扬先生说【请问：如果有人把“你已经停止打父亲”或“你仍在继续打父亲”作为“你从未打过父亲”的反论题，想想看，无论你否定哪一个，都表明另一个成立，都说明“你打过父亲”，对此，你情何以堪？】

这当然说的很对，令A=【你已经停止打父亲】，乛A=【你仍在继续打父亲】，由于令B=【你打过父亲】，是【语句A预设语句 B】。即有A→B和乛A→B都成立。此时不能把A或乛A作为B的反论题【你从未打过父亲】。这显然是对的。

杨先生错在少用了存在量词。实际上是C=【存在着整数p，q，使√2=p/q。】可推出E=【其中p，q是整数，√2是有理数】，同时D=【存在着整数p，q，互质，使√2=p/q。】也可推出E。显然C和D都可作为【√2不是有理数】的反论题。因为这不是【语句A预设语句 B】的类型，因为没有A和乛A互相相反的命题，这里的D和C不是互相相反而是等价的命题D≠乛C，而是D≡C。即乛C是【所有的整数p和q，都不能使√2=p/q】它不是D。这里不涉及杨先生所说语义预设概念的任创问题。杨先生错在少用了存在量词。他未弄懂有理数a是存在p和q使a=p/q、既存在最筒分数，又存在很多非最简分数。都可作为有理数的表示。

三，扬先生说【由 p^2是偶数推不出p也是偶数】当然说得不对。当假定p是整数时由 p^2是偶数当然可以推出p也是偶数。任何整数要么是奇数，要么是偶数。任何奇数的平方都不是偶数，因而对任何整数p，当然可以由 p^2是偶数推出p也是偶数。

传统证法假定【存在着整数p，q互质，使√2=p/q。】当然在推理中是假定p和q是整数。在此反证法的假定下推出了p和q都是偶数，同p和q互质相矛盾。从而推翻了反证法的假定，使定理得证，一点问题都没有。扬先生认为在推理中不能使用【p和q是整数】的这个反证假定的推论，完全是毫无道理的一派胡言和奇谈怪论。

扬先生说【传统证明方法首先应用了 q 是整数这个假设，否则就无法得出 p^2是偶数之结论，接下来我们看到的便是“由于 p^2是偶数，p 必然也是偶数”这一推理。如果引号中的推理是合理的，再加上此前的 q 是整数这个假设，那就是说， 对于√2=p/q，假设 q 是整数，则 p 是偶数。由于偶数也是整数，从而说明√2 可表成两个整数之比，但这与我们已知√2 不是有理数相矛盾，因此，引号中的推理是不成立的。 】

杨先生竟然不知道反证法的假定就是我们要证明推翻的错误假定，说什么【这与我们已知√2 不是有理数相矛盾，因此，引号中的推理是不成立的。】要知道我们正在证明【√2 不是有理数】，还没有达到【我们已知√2 不是有理数】。我们正在用推导出来的矛盾来推翻反证法的假定。我们的【推理】是正确的，证明反证法的假定是【不成立的】。

杨先生说【对此，有人反驳说，为了否定错误的假设，反证 法要求假设必须参与后续推理以推出矛盾，那么，应用“p 是整数”这个假设由 p^2是偶数推出 p 是偶数,这难道不合理吗？笔者认为，此说法并不成立，理由是，当推出了 p 是偶数的 结论后，依据反证法，理应揭示会有矛盾发生，从而才有可能否定“p 是整数”这个错误的 假设，但教科书并没有这样做。因此，理由虚假，反驳无效。 】

杨先生还说【不借助于已知√2 不是有理数，该如何解释“由于 p^2是偶数，p 必然也是偶数”这一推理错误呢？】

㸔来杨先生就没有弄懂反证法是怎么证明的。我们是在证明【√2不是有理数】，怎么能在证明中【借助于已知√2 不是有理数】呢？在假定p是整数的条件下“由于 p^2是偶数，p 必然也是偶数”这一推论没有错，是正确的推论，正是在这一正确的推论下推出了p是偶数，才推出p和q都是偶数同p和q互质产生矛盾。正是推出了存在矛盾，才推翻了反证法的假定，使定理得证。

杨先生没有弄懂，反证法只要推出一个矛盾，定理即可得证。证法中推出p和q都是偶数同p和q互质的矛盾，当然可使证明得证，並不一定要推出p不是整数同p是整数这个矛盾才能使定理得证 ，所以【教料书並没有这样做】，不能作为否定教科书证法的正当【理由】。只要推出矛盾，定理即可得证。反证法可以推出很多矛盾，只要推出一个矛盾就可使定理得证。当然扬先生提出的推出【p不是整数】同【P是整数】发生矛盾。这样理解，是产生了矛盾才可使定理得证，也是正确的。但不能由此否定教科书的证明。

四，杨先生说【在推出矛盾的过程中， 并没有用到反论题中的“p，q 互质”这一条件，否则，前面推出了 p 是偶数（姑且不论这种推理是否有效），后面就不可能再推出 q 也是偶数。据此我们说，推矛盾不使用反论题是教科书证明√2 不是有理数所犯的一个论证形式方面的错误，这样的证明是无效的。】

这是楊在认识上的严重逻辑错误，在推论p和q都是偶数上只用到p和q是整数且v2=p/q，确实没有用到【p，q互质】这部分条件，但是说【在推出矛盾的过程中， 并没有用到反论题中的“p，q 互质”这一条件，】则是严重错误。【p和q都是偶数】並没有推出矛盾。正是由于反论题中的“p，q 互质”才产生了【p，q都是偶数】同【p，q不能都是偶数】的矛盾。因而【在推出矛盾的过程中】是确确实实【用到反论题中的“p，q 互质”这一条件】。

反论题由两部分构成，一是【存在整数p，q，使√2=p/q】，一是【p，q互质】。由前者推出【p，q都是偶数】，由后者推出【p，q不能都是偶数】。可见矛盾完全是由反论题所推出。这一切完全符合《简明逻辑学导论》（第 10 版）中译本第 310 页所提出的【反证法内容包括“使用这个假设（笔者注：指反论题）得到一个矛盾”。】的要求。

五，杨先生说【由“p 和 q 都是偶数”与“假设 p 与 q 互质”相矛盾推不出√2 不是有理数 。上述矛盾只能说明“p 与 q 互质”的假设不成立，但不能说明“p，q 都是整数”的假设不成立。因此，由上述矛盾不能推出√2 不是有理数。这里的道理也再一次说明，教科书把 √2=p/q（p，q 互质）作为“√2 不是有理数”的反论题是错误的。】

这个说法显然不对。因为教科书上的反论题写得很清楚不是杨先生说的不带存在量词的【√2=p/q（p，q 互质）】，而是【存在整数p，q互质，使√2=p/q。】是【√2是有理数】。既然反论题是【√2是有理数】，当然反证法证明的论题就是【√2不是有理数】。

杨先生文后给出的附件，人教版（2024）数学七年级下册关于“√2 不是有理数”的证明，说得非常清楚。它的反证法的反论题是【假设√2 是有理数，那么存在两个互质的正整数 p，q，使得 p/q=√2，】存在二字这么明显，历历在目，杨先生的论述有意把存在量词故意删掉是严重错误。

所附的杨先生给出的证明，基本上是正确的。只不过他的反证法的反论题是【假设存在整数 p 和 q 满足 (p/q)^2=2。】另外，最后应指明推出的矛盾是【p是整数】和【p不是整数】的矛盾。

这里要请杨先生注意，说【您的证明是正确的。】只是指您所给出的这个证明，是正确的证明之一，不是说教科书的证明是错误的。教科书的证明也是对的，正确的证明可以有多个。重要的是您所说的上述五个观点是完全错误的。

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項，来查找本《专栏》的其它文章。】