图1 圆球绕流尾迹里转捩过程的湍流产生机制。SCS: 类孤立波结构。红色箭头：Burst 【7】。

      本篇文章是为了回答读者/网友的下面问题而写的：为什么要研究随机的Navier-Stokes方程? 随机的Navier-Stokes方程就是确定性的方程加上一个随机扰动，真的有这样做的必要吗，这样做有什么好处，这样做为Navier-Stokes方程的研究提供了什么帮助？

   现在回答题主所提出的上述问题：

   首先，题主提出的问题是有道理的。提出问题，怀疑问题本身就是对科学进步的不可缺少的促进，而不是跟随专家人云亦云。

（一）NS方程里不需要添加随机项而产生湍流

   对Navier-Stokes（NS）方程进行研究，为什么要加上一个随机扰动？归根到底，就是近200年来，没有人真正理解湍流发生的物理机制到底是什么。如果明白了湍流产生的最根本的物理机制，就不会有各种各样的方程的。我们给出的控制方程的目的是什么，是描述和预测流动的运行过程。一切的物理机制，一切的力，都应该包括在方程里面。

   近50年来，我们用NS方程的DNS计算湍流，绝大多数人的计算结果基本上都和实验测量的数据是一致的，这说明NS方程能够描述湍流，我们没有必要对NS方程进行修改，不需要添加另外的力。对于多物理过程控制的流动，添加“力”的项是另外一个问题了，如粘弹性流动，分层流动，磁流体流动等。我们这里说的是，教科书上讲的最基础的流动：牛顿流体，不可压缩流动。

   现在，之所以有的人对NS方程添加随机项来研究湍流，一是对NS方程和湍流理解不深，或者，二是在实现NS方程对湍流的计算中，遇到了困难，因缺乏理解，还不能达到根据流动物理本身的内在机理去解决问题。

   本人也曾遇到过类似的情况。比如，在30多年前，我们在进行LES、DNS计算过程中，在32个处理器的Cluster的并行机上，对某一湍流转捩问题，算了几个月，也没有算出来湍流，反复修改，仍不能解决问题。问题就是NS方程里面没有湍流的启动机制，必须添加外来激励来刺激湍流的产生（实际上实验结果也是这样的，在静音风洞里实现不了湍流转捩）。这时加入随机项或者别的扰动激励，就会加速湍流的出现。可是NS方程是一个精确的方程，你添加了随机项或激励项就改变了NS方程的性质，这是错误的，在计算过程中，湍流启动后，就应该关闭随机项（比如程序中设定计算100步之后跳出来），然后让流动自然而然地达到完全发展的湍流。这才是正确的做法。

   实践证明上述做法是正确的，与实验测量结果是一致的。

   实际上，当计算完成后，当你画出图来之后，一看你就明白了。对NS方程添加随机力，从计算结果发现，就是这些随机力随着时间迭代，变成了扰动波，对湍流转捩起的作用与TS波是类似的，可以说是一样的。

   需要指出，对有的问题，不需要加入扰动就能很快发生湍流转捩，这是因为其流动的发展能够演化出扰动。对有的问题，必须加入外部扰动，才能刺激流动发生湍流转捩，特别是当你给定的初始流场完全满足连续性方程的时候。

   湍流的启动过程和水泵抽水过程是类似的。50年前，我们在农村用抽水机浇地，就是一台柴油机带动一台水泵。你把机器安装在河边，开动机器，机器空转，是抽不上来水的。事先必须提一桶水，从出水口倒入水泵，然后开动机器，水就抽上来了。然后机器正常运转，就不需要向水泵里面加水了。如果没有启动机制，机器的连续运转就实现不了。

   另外，我们做实验时，对同一个流动，前面是层流，后面就变成湍流了，这两种流动，都可以用同一个NS方程来描述。当你对NS方程加上随机项，来描述湍流，那么，这个修改后的方程是否还可以用来描述层流？如果不能，那修改的方程是正确的吗？

   湍流里面看似随机的运动，实质上是不规则，但不是随机的运动。如果是随机的运动，我们做的NS方程的DNS（没有加随机力）计算，为什么能与实验一致呢？

（二）对比两个例子：激波与湍流

   湍流里面的不规则运动，是NS方程里面本身就固有的，不是通过添加随机力后而产生的。为什么是NS方程本身就固有的？在哪里呢？根据窦华书的能量梯度理论，对NS方程的分析，就是NS方程本身在一定条件下，局部流动发生畸变，流体内部会无中生有地自动产生出来奇点，这些奇点产生了大涡，导致了湍流【1-4】。关于奇点导致湍流的结论已经被实验结果和计算结果所证实，没有发现任何反例。下面对比两个例子：

  （1）一架飞机，以马赫数M=0.5飞行，然后进行加速，当速度达到M=0.8左右，飞机前沿附近就达到了超音速M>1了，在前缘附近，就出现了激波，激波是流动速度的间断，是NS方程的奇点。此处没有NS方程的连续的光滑解。

  （2）一台潜艇，以低速在水下航行，周围水流是层流流动，然后加速，随着雷诺数增加，当速度达到足够大，潜艇周围流动，就变成了湍流。湍流是怎么生成的，就是周围流体里面出现了奇点，奇点诱发了湍流。根据能量梯度理论，奇点引起流动速度的间断，间断是NS方程的奇点。此处没有NS方程的连续的光滑解。

   湍流的奇点与激波的奇点是类似的，是属于同一性质的奇点（不是速度无穷大，是速度不可导），都是在一定条件下，由局部流动的特性突变引起的。激波出现是由于飞机前缘可压缩流动的局部压缩，导致流动参数发生阶梯跳跃。湍流产生是由于流动的局部畸变，引发奇点，凭空产生了大涡。它们都蕴含在NS方程里面，当条件达到时，就会出现。对比下列过程：

   超音速流动--局部压缩--速度间断--奇点--阶梯突变-->激波。

   高雷诺数流动--局部畸变--速度间断--奇点--大涡产生-->湍流。

   湍流的奇点与激波的奇点都是NS方程的解（是理论解，不是数值解，数值上只能得到逼近的解）。而且是那个条件下的唯一解。由于奇点处的导数不存在，奇点处不能积分，此处速度就没有数值解，这样在整个计算域上，就没有整体(数值上的)的光滑解。

   因此，在这里，对激波和湍流，NS方程的解都是存在的，是唯一的，但不是光滑的。这些都是独特的例子。在普遍情况下，对任何流动情况，这些结论，也是成立的。

   湍流的奇点与激波的奇点，所不同的是，激波的奇点，当飞机飞行速度不变时，一直附着在那里不动，是一个连续的间断面。湍流的奇点是忽闪忽闪的，准周期的不连续地出现的，一个位置上，在扰动的一个周期内只闪一下。

（三）总结：

   对NS方程，要有正确的理解。控制方程要与自然界的流体运行规律一致。自然界的湍流里面，没有随机因素控制湍流，因此控制方程里也不需要随机力。

  （1）关于是否需要修改NS方程的问题。本人的答案是：不需要。NS方程是一个确定性的精确的描述湍流的方程。

  （2）对NS方程进行数值模拟，预测湍流，进行实现的问题。湍流模拟实现过程可以是多种多样的，但是最后要与自然界的过程一致。也即完全发展的湍流是唯一的，不是随机的，不需要添加随机项。但是，在有些情况下，在湍流的启动阶段（转捩阶段）需要加入扰动或其他激励因素（随机力也是可选项），来实现湍流转捩。

  （3）湍流的启动机制是NS方程的奇点，奇点产生是唯一准则 【1-7】。不管你用任何方法，只要产生了奇点，湍流就产生了（如TS波、bypass）。反之，不管你用任何方法，只要不能产生奇点，湍流就不会产生。

  （4）根据奇点的数学定义，奇点分为两类：a 函数无穷大；b 函数不可微分。第一类是解不存在。第二类是解存在，而不光滑。激波和湍流的奇点都属于第二类。

参考文献

1. Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer.    https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-19-0087-7      (全书下载地址). 

2. Dou, H.-S., Singularity of Navier-Stokes equations leading to turbulence, Adv. Appl. Math. Mech., 13(3), 2021, 527-553 . https://doi.org/10.4208/aamm.OA-2020-0063       (AAMM); https://arxiv.org/abs/1805.12053v10      (Arxiv） (通过物理学推导出奇点)  

3. Dou, H.-S., No existence and smoothness of solution of the Navier-Stokes equation,  Entropy, 2022, 24, 339.  https://doi.org/10.3390/e24030339       (通过数学推导出奇点)

4. Dou, H.-S., Structure of solutions of the Navier-Stokes equation at existence of singularity, Preprint, submitted to a Journal, October 2024. （证明了NS方程的解是唯一的，但不是光滑的。即湍流是NS方程的奇异解）

5. Niu, L., Dou, H.-S., Zhou, C., Xu, W.,  Turbulence generation in the transitional wake flow behind a sphere, Physics of Fluids, 36, 2024, 034127. https://doi.org/10.1063/5.0199349   

6. Zhou, C., Dou, H.-S., Niu, L., Xu, W., Inverse energy cascade in turbulent Taylor–Couette flows,  Physics of Fluids 37, 2025, 014110. https://doi.org/10.1063/5.0250908  

7. Niu, L., Dou, H.-S., Zhou, C., Xu, W. 2025. Solitary wave structure of transitional flow in the wake of a sphere, Phys. Fluids, 37, 014111. https://doi.org/10.1063/5.0251193