121. 霍奇闭链可以写成代数闭链的和吗？

Can a Hodge cycle be written as a sum of algebraic cycles?

题记：两种有用的数学结构在几何学(霍奇闭链)和抽象代数(代数闭链)中独立出现。霍奇猜想提出了它们之间一个令人惊讶的联系，但它们之间的这个桥梁到现在依然尚未完全建立。

0. 引言 (Introduction)

霍奇猜想(Hodge conjecture)是七个千禧年数学问题中最为抽象和复杂的问题，它涉及到非常庞杂的数学概念，不仅仅是只懂代数几何(algebraic geometry) 和群论(group theory)就能完全理解的，首先我们先看一看美国著名克雷数学研究所网页上对该问题的简单介绍：“这个猜想的答案决定了一个代数方程组解集的拓扑结构有多大程度可以用进一步更基本的代数方程来定义。霍奇猜想在某些特殊情况下是已知的，例如当解集的维度小于4时，但在4维的情况下它还是未知的”。很明显低于4维的霍奇猜想已经被证明是正确的，然而4维及其以上的情况目前并不清楚。为了进一步理解这个看起来抽象的简单介绍，克雷研究所还给出了一个更详情的论述：“在20世纪，数学家们发现了强有力的方法来研究复杂物体的几何形状。它的基本思想是研究在多大程度上可以通过将逐渐增加维度的简单几何体(不同维度的几何单体)粘合在一起来逼近给定物体的形状。这种方法被证明非常有用，以至于这种方法以许多不同的方式得到了有效推广，并最终导致了用来分类复杂几何形状的强大数学工具。然而不幸的是，在这种推广中，该方法所带来的几何图像却变得越来越模糊，从某种意义上说，这种组合方法必须添加或引入一些根本没有任何几何意义(物理解释)的抽象部件 (pieces)。然而霍奇猜想断言，对于射影代数簇这类好的空间类型，这些被称为霍奇闭链(Hodge cycles)的抽象部件实际上就是代数闭链(algebraic cycles)的一个有理线性组合”。

显然上面的进一步解释涉及到了更多的数学概念和更庞杂的数学内容，为了能够通俗地解读这个让人充满好奇和美感的科学问题：霍奇猜想，鉴于内容过多，我们不得已将这个科学问题划分为几个部分来逐一阐述：霍奇猜想之一：代数闭链；之二：霍奇闭链；之三：霍奇猜想。下面我们先从第一部分代数闭链出发：

1. 代数簇 (algebraic variety)

代数闭链是抽象代数中的概念，它是定义于代数簇上的，所以要说清楚代数闭链必须说清楚代数簇，而解析代数簇要先从代数曲线和代数集说起，我们从最简单的平面曲线开始。曲线由点构成，如果这些点在一个二维平面上可以记为 (x, y)，那么一条二维曲线上的坐标x和y必须满足一定函数关系才能构成一条曲线，一般可写为：f (x, y) = 0。如果函数 f (x, y) 是关于x和y的二元多项式(binary polynomial)，那么该曲线就称为代数曲线 (algebraic curve)，所以代数曲线就是一个满足多项式函数方程的曲线。严格一点代数曲线就是：在一定的数域K上定义的满足多项式函数f (x, y)零点约束 f (x, y) = 0的一条曲线，而所谓定义在数域K上表示多项式的系数都在数域K中取值。定义代数曲线的多项式函数 f (x, y) 中其最高次项的次数称为多项式的阶，其所对应的代数曲线就称为几次曲线。如上一个科学问题中的椭圆曲线：f (x, y) = y² - x³ - a x - b = 0，多项式项中最高次为 3，那么椭圆曲线就是三次曲线。代数曲线上不光滑的点称为奇点(singular point)，就是曲线上的尖点或节点(自交点)，用数学语言就是：让曲线函数 f (x, y) 的偏导数都为零的点

显然，以上的二维代数曲线可以非常自然地推广到m维：f (x₁, x₂, ...., x_m) = 0。所以这个多项式方程所决定的图像已经不是什么曲线了，它其实决定了m维空间中一个超曲面(hypersurface)。现在我们将定义在数域K上的所有多项式函数 f (x₁, x₂, ...., x_m)所组成的集合记为：K[x₁, x₂, ...., x_m]。可以证明多项式集合K[x₁, x₂, ...., x_m]在多项式元素的加法和乘法下是封闭的，它组成了一个具有特殊结构的多项式集合(加法下是阿贝尔群，乘法下是半群)，我们称其为数域K上的m元多项式环(polynomial ring)。环的概念可以大体认为是在加法和乘法下保持封闭的集合，现在集合里的元素是m元多项式，那么取多项式环中的任一个多项式元素所给出的方程f (x₁, x₂, ...., x_m) = 0显然就是多项式的零点问题，其解的结构一直以来是代数方程中最为关心的问题，因为它的解集在几何上代表了m维空间中的一个超曲面。所以在多项式环K[x₁, x₂, ...., x_m]中取多个(如 n 个)不同的多项式函数组成一个集合 S，然后考察它们共同零点解的集合：

此时我们就称一组多项式函数集合 S 的共同零点集Z^(m)(S)为数域K上的代数集(algebraic set)。从几何的角度上看，代数集Z^(m)(S)应该是n个多项式所决定的超曲面的交集，所以它可能是空集，也可能是一条曲线、曲面或超曲面，这决定于多项式集合 S 中多项式的个数、具体形式和定义的数域。首先在复数域C上所有单个多项式的代数集都不会是空集，而且复数域上的代数集也都是闭集(闭集指包含所有的极限点)。其次，一般在同一个多项式环K[x₁, x₂, ...., x_m]上定义的代数集，它们的并集、交集和差集(一个代数集减去另一个代数集)也都是代数集。这种性质就自然产生一个非常自然的想法：有没有组成代数集的最基本的单元？这就是不可约代数集的概念：如果代数集不能表示为两个非空、不相交的代数集的并集，则该代数集就是不可约代数集。这里有一个定理：任何代数集都可以唯一地表示为有限个最简的不可约代数集的并，称为代数集的不可约分解。根据这个结论，代数集的研究就可转化为不可约代数集的研究。

一般的，在无穷数域K上定义的不可约的代数集又称为代数簇(algebraic variety)，如实代数簇或复代数簇。显然代数簇是多项式集合共同零点的集合，几何上它表示由这些多项式所定义的超曲面的交点所对应的集合，如果定义代数簇的多项式没有公式(1)所示的奇点，那么这样的代数族就被称为非奇异或光滑的代数簇。如果我们进一步对定义代数簇的数域进行紧致化(封闭化)，如在复射影空间上定义代数簇，那么复射影代数簇就具有了更好的几何拓扑性质。这里不做一般抽象的论述，只给一个例子说明更好：两个最简单二元一次代数多项式函数所定义的零解集 (代数簇)

显然 Z⁽²⁾ 的几何图像在实空间是两条平面直线的交点，但在实数域 R上定义的如上的代数簇存在三种情况：(1) 如果多项式 f₁ ，f₂ 线性相关(重合)：f₁ (x,y) = k f₂ (x,y)，其中k为不为零的实常数，那代数簇 Z⁽²⁾ 有无穷多个解，图像对应一条直线；(2) 如果两条直线平行：f₁ (x,y) = k f₂ (x,y) + c，那代数簇 Z⁽²⁾ 是空集；(3) 除此以外有一个交点，图像对应一个点。显然在实数域R上代数簇情况复杂其对应的几何图像并不唯一。然而如果我们引入二维射影面RP²，式(3)所对应的几何图形就非常清楚，即两条直线相交于一个点，也就是在射影面RP²中任意两条直线都会相交于1个点！显然这表明在是空间中的两条平行线在射影面中是相交的，可见射影面是一个封闭的非欧空间。为了实现这样的空间，我们引入三元一次(齐次)多项式 a x + b y + c z = 0 来定义直线，引入齐次多项式的优点就是可以用[x, y, z]把上面所说Z⁽²⁾ 的三种情况统一起来，如[x, y, 1]代表实空间所有直线，[x, y, 0]代表无穷远点，不同的x和y代表了不同方向的无穷远点，比如[x, 0, 0]代表x轴方向的无穷远点(各个方向的无穷远点组成一个无穷远的线)。然而这样定义的空间中有一个点非常特殊就是[0, 0, 0]，它连接了原点和无穷远点，所以它是所有直线都必须经过的点，所以射影面RP²还可以定义为所有过原点的直线组成的二维平面，它显然是嵌入三维R³空间(有x y z 三个坐标)封闭的抽象面，由实数面 R²和无穷远的线R¹和无穷远点R⁰构成：RP² = R² U R¹ U R⁰。显然代数簇 Z⁽²⁾ 的几何性质在射影面中更好，具有更为具体的几何图像：点。

更进一步如果将代数簇定义在复数域C上的射影空间中，代数簇 X 就具有更好的几何图像，也就是复射影空间 CP^m 上的不可约射影代数簇 X 具有良好的几何、拓扑和解析性质，比如 X 是由复数域上的齐次多项式产生的，根据齐次多项式环的性质有：任何复射影代数簇 X 都可以唯一地被表示为有限个最简的不可约代数簇的并，这些不可约复代数簇在闭集的意义上能构成一个拓扑空间，称为复射影空间上的扎里斯基拓扑(Zariski topology)。复射影代数簇 X 不仅具有如上所说的拓扑性质，还具有更好的复解析性质(复流形)、更为丰富的群结构(实数和复数构成偶数维辛结构)，这些良好的性质都集中体现在定义于射影代数簇 X 上的代数闭链的概念里。总之在射影空间上的射影代数簇(projective algebraic varieties)必然具有一定的拓扑结构，而它们的拓扑结构能否通过某种拓扑变换 (拓扑上的某种连续变换) 后分解为更为简单的代数簇(子簇 subvariety)的组合，这应该是一个基本的数学问题。

2. 代数簇上的代数闭链

代数闭链(algebraic cycle)是定义于代数簇 X 上的一个关于其不可约子代数簇群结构的概念。假设代数簇 X 是定义于某代数闭域上的 m 维代数簇，那么 X 上的 k 维代数闭链 C_k(X) 就定义为X 中所有独立的(没有交集)不可约代数子簇 Z_j^(k) (X)的整系数线性组合:

显然所有由代数闭子簇 Z_j^(k) (X)“连接”而成的代数闭链 C_k 组成了一个 k 维的加法阿贝尔群，记为 C_(k) (X)，而其相应的余维代数闭链，即余数维为 m − k 维的代数子簇 Z_j^(m-k) (X) 连接而成的闭链 C_m−k 也能构成一个代数闭链群，记为 C_(m-k) (X)。显然这两个代数闭链的维数不同，它们是不同维的代数闭链(除了代数簇为偶数维并且k = m/2)。例如代数簇 X 是三维的体m = 3，那么 1 维代数闭链是线连接成的，而3 − 1 = 2维代数闭链则是由面连接而成的，显然不同。这里还需要注意的是 k 维代数闭链群C_(k) (X)还可以用其余维来标记，即C^(m-k) (X)=C_(k) (X)，注意它们只是标记不同(用余维标记时采用上标括号)，这里千万不要和余数维的代数闭链相混淆。

为了更为具体地认识代数闭链的意义，我们举一个非常简单的实例，即一维代数簇X，即一维代数曲线簇。那么X上的代数子簇就是一些0维的点，这些点的整线性组合就是代数曲线上的 0 维闭链，此时被称为除子 (divisor)，所以除子是指形如 C₀ = k₁ x₁ + ··· + k_n x_n 的有限线性组合，其中 x₁, ··· , x_n ∈X是 X 上互不相同的点，系数 k₁ , ··· , k_n ∈Z为整数(n为自然数)。显然，除子是 X 上不同点的有限的线性组合，系数可以看成是除子的整数坐标C₀ = (k₁ , k₂ , ··· , k_n )，那么全体除子C₀在系数相加的运算下构成一个阿贝尔群，这个群此时记作Div(X)。如果除子C₀的所有坐标分量 k_i ≥ 0, i = 1, ··· , n，那么称C₀为有效除子(effective divisors)，记为 C₀ ≥  0。定义除子的阶(degree of a divisor)：deg(C₀) = k₁ + k₂ + ··· + k_n ∈ Z，即除子的阶定义为除子整数坐标的和。那么除子群Div(X)的阶定义了群到整数的一个同态映射：deg : Div(X) → Z。在代数曲线簇的零维代数闭链中有一类闭链具有特殊的性质，我们称它们维主链或主除子(principle divisors)。曲线簇X上的主除子是由定义于曲线上的有理函数 f (x), x ∈ X 来定义的。有理函数所定义的除子div(f)是用f (x)在x_n点的阶数做为系数定义的代数闭链：div( f ) = d₁ x₁ + ··· + d_n x_n，其中d_n 代表 f (x) 在x_n点的阶数。有理函数f (x)在x_n点的阶数代表了函数f (x)在逼近x_n点时函数值消失或发散的程度。比如在复数代数簇上的亚纯函数f (x)在x_n点的阶数，如果是零点时其渐近行为：f (x) = g(x)(x − x_n ) ^m ，其中g(x_n)不为零，则函数f (x)在x_n点的阶数就为m。对于极值点同理，阶数为负值，而其他点上阶数都是零。显然有理函数生成的代数闭链div( f ) ∈ Div(X)，所有函数定义的闭链也组成一个群这个群称为主除子群，记为Pdiv(X)，显然它是除子群Div(X)的阿贝尔子群。利用主除子群Pdiv(X)可以将代数闭链群中的闭链(除子)进行分类，即商群：Cl(X) = Div(X)/Pdiv(X)，其中商群Cl(X) 中每一个集合都是由除子的共轭类组成的，这个分类称为有理数分类。因为对于商群的元素即陪集来说，陪集里的两个代数闭链A和B的差A - B如果等于有理函数的主除子 div(f) ∈ Pdiv(X)，那么这两个闭链A和B有理等价，它们属于同一个共轭类。

3. 代数闭链的等价关系

现在我们从具体的代数曲线簇回到一般的由公式(4)定义的代数闭链来讨论它们的等价性问题，或者对代数闭链进行分类。根据 k-维代数闭链C_(k) (X)的定义以及不同维代数闭链上的同态映射关系，代数闭链上存在不同类型的等价关系。对于代数闭链主要有以下一些等价关系：(a)有理等价(rational equivalence)；(b)代数等价(algebraic equivalence)；(c) Smash幂零等价(smash-nilpotent equivalence)；(d)同调等价(homological equivalence)；(e)数值等价(Numerical Equivalence)。这些代数闭链群C_(k) (X)上的不同等价类组成的商群都是代数闭链群C_(k) (X)不同性质下的不同子群，这里我们主要介绍代数闭链的有理等价和同调等价关系及其对应的群结构。

(1) 有理等价和Chow群

首先介绍代数闭链的有理等价(rational equivalence)，有理等价是对除子线性等价的推广。根据前面对一维代数簇曲线上的闭链除子的讨论(如果两个除子的差等于某个有理函数的除子那它们互相等价，比如代数曲线上的两点等价，如果存在曲线能够连接它们)，如果两个代数闭链的差等于定义于X上某个有理函数 f 上的闭链 div( f )，那么是不是这两个代数闭链就有理等价？所以我们就先给出定义在子代数簇上的有理函数 f 的除子div( f )。显然对于定义于 k+1维的子代数簇Z_j^(k+1) (X)上的有理函数 f _j 的除子 div( f _j ) 应该是k 维的，所以它一定是 k 维代数闭链群 C_(k) (X) 的元素：div( f _j ) ∈ C_(k) (X)。如果 k 维代数闭链 A_k 和 B_k 的差能够写为如下有理函数除子的组合：

其中 f_j 是定义于子代数簇 Z_j^(k+1) ( X ), j = 1, 2, ··· 上的有理函数，那么我们就称k 维代数闭链A_k和B_k有理等价。虽然两个 k 维代数闭链的差依然是 k 维闭链，但这个闭链是特殊的闭链，它属于有理函数 f _j 所定义的闭链群，即在一维曲线代数簇时对应主除子闭链群。定义于子代数簇 Z_j^(k+1) ( X )上的函数 f _j 所定义的主除子闭链div( f _j ) 构成主闭链群，其元素定义为：

其中 Z_j^(k+1)⊂ X 是 m 维代数簇 X 中所有维数为 k + 1的不可约子代数簇，而函数 f _j 在 Z_j^(k+1)上的阶 ord_Zj^(k+1)( f _j ) 的计算将涉及到不可约子代数簇的局域代数环上的长度(length) 问题，此处为了避免引入更多的概念从略。在同一代数簇局域环上定义的不同有理函数 f , g，它们的ord具有如下的性质：ord(f/g) = ord(f) − ord(g)。总之，所有有理函数 f 所决定的 div(f) 组成一个群，它是闭链群C_(k) (X) 的子群，可以记为PC_(k) (X) 。显然如果两个 k 维闭链的差是PC_(k) (X)的元素，那么我们就称两个闭链有理等价。有理等价其实是指两个同维的代数闭链可以通过一个定义在 k + 1 维代数簇上的有理函数连接起来，或者两个代数闭链可以通过更高维空间的变形互相变。显然利用 k 维链群C_(k) (X) 和PC_(k) (X) 的商群，可以将 k 维闭链按照有理等价分为不同的类，这些类做为元素构成的商群就称为 Chow 群(翻译为周群，和华人数学家周炜良的贡献有关)：

其中 CH_(k) (X) 称为 k-th Chow 群。对应于代数闭链的余数维表示，就有CH_(k) (X)=CH^(m-k) (X)。代数闭链在模掉有理等价后，闭链群构成 Chow群，其每个元素为一个分类(例如Chow群中和单位元即0元同类的元素)，这些元素分类了不同闭链在相交理论中的行为，而相交理论研究代数闭链间的相交数，如著名的贝祖定理 (Bézout’s Theorem)，给出了两条曲线的交点数等于曲线次数的乘积。对于整个 m 维的代数簇 X 上整个 Chow 群 CH(X)必然为所有k-th周群的直和。

(2) 同调等价和Chow群上的同调态射

代数几何中不同的代数系统上存在不同的同调理论(homology theory)，而不同的同调理论则针对代数系统的不同几何问题、拓扑性质和拓扑计算而产生，所以同调理论的多样性是代数几何在处理不同空间(紧或非紧)、不同局域条件和不同应用场景时的自然结果。在复数域上定义于代数闭链上的Chow群可以和其上的某种同调群联系起来，和有理等价类似，代数闭链群就可以用同调等价来进行分类，如果两个代数闭链属于某个同调类，则这两个代数闭链就称为同调等价。如果 m 维代数簇 X 是光滑的复代数簇，那么定义于其上的代数闭链所给出的 Chow 群 CH^(p) (X) 的总体能构成一个周环(Chow ring)：CH^(p) (X)。而且CH⁽⁰⁾ (X) = Z(整数)，当 p > m = dim(X) 有CH^(p) (X) = 0，此时周环在代数上和拓扑中的上同调环H^(2p)(X, Z) 相类似，它们的元素之间存在如下的同态映射：CH^(p) (X) → H^(2p)(X, Z)，其中CH^(p) (X)是余维是 p 的代数闭链有理等价后所构成的 Chow 群，而 H^(2p)(X, Z) 是定义在 X 上由其拓扑结构决定的整数域Z上的上同调群(cohomology group)。对于不同数域代数闭链上的同调(homology)及上同调(cohomology)理论以及代数闭链的同调等价我们将在第二部分霍奇闭链中再详细介绍，因为这里面将牵扯到更多的数学概念，比如同态映射，同态映射的核和像以及复形及复形链(complex chain)，甚至纤维丛及其交叉积等等概念。