实数的可数性证明

李鸿仪

任何一个熟悉数学史的人，如果能够看懂下文并承认其结果，都知道数学将会变天。

很容易证明:[0，1)内的实数可与自然数一一对应。

证明: 先构造随机 数r=0.a1a2a3…,其中各位小数a1,,a2,a3,…等概率地取0~9内的整数，且上述取整数的时间可以忽略不计，不妨设为零秒，则时间t >0时，r为区间[0，1]内的随机数，且该随机数的分布是均匀的。

现取区间内的一个随机数，将其与自然数1对应，再取另一个随机数，将其与自然数2对应.....。容易证明，由此建立的实数序列可与自然数形成双射。这是因为，由于每次取出的实数不同，且对应于不同的自然数，所以是自然数到实数的单射；又，由于随机数是均匀分布的，故任意一个实数都早晚会被取出，并与某一自然数对应，即不存在因永远取不出而不能与自然数对应的实数，所以是自然数到实数的满射，证毕。

当然，这个过程永远不会结束。这个很自然:自然数也是永远列不完的，何况实数？