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对角线证明成立的充分必要条件2
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对角线论证的充分必要条件
李鸿仪
摘要:认为数学的生命在于其绝对的可靠性和严格性。目前的现状是这两方面均严重不足。例如，长期以来被奉为经典、在数学史上有着重大影响，且其影响甚至外溢至逻辑学和数学哲学的对角线论证中隐含着的充分必要条件并不成立，故无法证明实数不可数。给出了能使实数与自然数建立双射的一种方法，还给出了两种独立于基数但比基数理论可靠得多的比较无限集合大小的方法:数学分析和数学归纳法。证明了自然数集合不是唯一的，由此首次真正消除了困惑人类达400年之久的伽利略悖论和其他的反直觉命题。证明了不存在外延固定、包含全体自然数的集合。无限可以完成的实无限假设也存在着反例。
关键词 数学基础；对角线论证；实数理论；双射；基数；伽利略悖论；直觉主义
1引言
数学的生命在于其绝对的可靠性和严格性。不但其公理等原始命题必须绝对可靠，绝无反例，在推导过程中，也要一步一回头，步步为营，反复推敲，不断自我质疑，决不引入任何未必可靠的隐性假设，才有可能达到完全的严格。
任何哪怕一丝丝的粗心大意，都很可能导致失之分毫，差之千里的严重后果。
例如，康托得出了很多反直觉的东西。
以实数不可数的证明为例，在实数轴上，互不相同的实数都是存在的，当然可以把它们有区别地一一列出，并用自然数编号，也就是说实数是可数的。但康托却发现，无论怎么把它们一一列出，总还存在着没有列出来的元素，于是他就认为实数是不可数的[1]。
该结论显然是反直觉的:互不相同的实数怎么可能不能将其一一列出？
当然，实数是列不完的。这个很正常，自然数都列不完，何况实数？能因为自然数是列不完的，就说自然数必定不能与自然数一一对应，是不可数的吗？
除了错觉，人的直觉是事实的反映，而错觉是很容易被分析出来并被排除的。因此，反直觉在大多数情况下就是反事实。任何反事实的理论必然是错的。
直觉主义等哲学流派不接受与事实相反的理论，但具体到对角线论证，并没有真正找到其错误的根源，只是认为反证法是不可靠的[2]。其实无论是反证法还是直接证明，都必须是绝对严格的，不严格的都会出问题，和用不用反证法并没有必然的关系。
事实上，反证法在数学上起到了非常大的作用，如果不承认反证法，数学的很多东西都无法证明，也无法成立。
问题的真正关键并不在于有没有用反证法，而在于至今为止，人类的思维离应有的严格性还差得很远，尤其是往往在推导中不知不觉地引入了并不正确的隐性假设，后人也未必有能力找出这些隐性假设， 从而出现了误以为这些推导是正确的，反而认为直觉是不可靠的这一不正常现象。
这样，实际上不过是思维很不严格的所谓对角线论证，长期以来却被奉为经典、在数学史上产生了重大影响，且其影响甚至外溢至逻辑学和数学哲学，在人类思想史上引起了极大的混乱。
2对角线论证中的隐形假设
所谓对角线论证[1]，就是先假定[0，1)内的小数可数，然后将其一一列出:
r1，r2，r3.... (1)
这些小数可以表示为:
r1=0.a11a12a13...，r2=0.a21a22a23...，r3=0.a31a32a33....
其中各位小数可以表示成一个无限大的矩阵:
[aij] (2)
矩阵的行数是小数的个数，矩阵的列数是小数的位数。矩阵任何一个行向量
(ai1，ai2，ai3，...) ，
其元素都是小数ri的各位小数。
然后构造另外一个小数
b=b1b2b3...， (3)
使得
b1≠a11，b2≠a22 b3≠a33，... (4)
如此构造的小数b必然不等于第1个，第2个，第3个数...：
∵b1≠a11，∴b≠r1，∵b2≠a22，∴b≠r2，∵b3≠a33，∴b≠r3，... (5)
康托于是就认为b不等于列出的任何一个小数，与已将小数一一列出矛盾，从而“证明"了小数不可数。
公式(5)是对角线导致所谓矛盾的关键步骤。然而，不难证明:
命题1:小数个数严格等于小数位数⇔(5)成立。
证明: 小数个数严格等于小数位数⇔矩阵[aij]是行数=列数的无限大正方形矩阵 ⇔矩阵的每个行向量包含对角线元素，即aiiÎ(ai1，ai2，ai3，...) , (i=1,2,3…) ⇔ (5)成立，证毕。
这里要注意，小数个数，小数位数，矩阵的行数，列数等都是成熟的数学概念，并不需要另行定义。
也就是说，对角线论证(5)成立的充分必要条件是小数个数与小数位数严格相等。
然而，该充要条件与下列命题冲突：
命题2:多进制小数的个数大于小数的位数。
以下用二进制小数为例进行证明。
证明1(数学归纳法)，用n表示小数的位数，则n=1时，二进制小数有两个，小数个数大于小数位数。设n=k(﹥1)时，小数个数m大于小数位数k，则n=k+1时，二进制小数个数是原来的两倍2m，∵m﹥k，∴2m﹥2k﹥k+1，小数个数仍然大于小数位数k+1，证毕。
在有限(或无限)的条件下，小数个数和小数位数都只能用有限多(或无限多)的自然数表示，而数学归纳法对任意自然数都成立，因此上述证明可以用于有限(或无限)的情行。
证明2(数学分析)，n位二进制小数有m=2n个，n→∞时，m/n→∞，即小数个数是小数位数的高阶无穷大，证毕。
由数进制原理可知，命题2其实是不证自明的，这里之所以要证明，只是为了保证逻辑的完整性。
这里要特别注意，命题2的两种证明都没有用到可数假定，因此都与可数与否无关，也就是说，不管可数假定是否成立，命题2都成立。
由此可见，对角线论证所隐含着的充分必要条件不成立，对角线论证当然也就不成立了。
如此明显的错误，居然康托本人及后来的主流数学界一直都没有发现，足可见数学界还需要大练内功，大幅提高严格思维能力和批判性思维能力，尤其是要严格防止在推导中引入隐性假设的错误，以避免因不严格思维和盲目崇拜权威导致的严重后果。
事实上，很容易证明:
命题3:[0，1)内的实数可与自然数一一对应。
证明: 先构造随机 数r=0.a1a2a3…,其中各位小数a1,,a2,a3,…等概率地取0~9内的整数，且上述取整数的时间可以忽略不计，不妨设为零秒，则时间t >0时，r为区间[0，1]内的随机数，且该随机数的分布是均匀的。随机取区间内的一个数，将其与自然数1对应，再随机取另一个数，将其与自然数2对应.....。容易证明，由此建立的实数序列是自然数到实数之间的双射:
①每次取出的实数不同，且对应于不同的自然数，所以是自然数到实数的单射；
②由于随机数是均与分布的，故任意一个实数都早晚会被取出，并与某一自然数对应，即不存在因永远取不出而不能与自然数对应的实数，所以是自然数到实数的满射，证毕。
当然，这个过程永远不会结束。如前所述，这个很自然:自然数也是永远列不完的，何况实数？
由此可见，任何试图证明实数不可数的企图，比如康托更早期的试图用闭区间套法证明实数不可数[3]，都必然存在错误。
命题4:自然数集合不是唯一的。
证明:(反证法)由命题3可知，[0，1)内的二进制小数既与某自然数集合（用N′ 表示）一一对应，也与自然数集合N的幂集P(N)一一对应，假定自然数集合是唯一的，即 N′ =N，由此将会导致P(N)与N一一对应，与康托定理[1]矛盾，证毕。
命题4证明了自然数集合不是唯一的，当然偶数和平方数集合也不是唯一的，从而首次真正消除了困惑人类达400年之久的所谓伽利略悖论[5]:没有理由认为与自然数集合N一一对应的平方数集合与N中包含的平方数真子集必定是同一个集合。
同样的问题也存在于有理数和自然数之间:没有理由认为与有理数一一对应的自然数集合必定是有理数集合中包含的自然数真子集。这样，有理数和自然数一样多，又比自然数多这一反直觉的悖论也就消除了。在笔者之前，其实从来没有人能真正解释上述悖论。
所有误以为自然数集合是唯一的而造成的反直觉悖论都将被消除。
命题5:不存在已经完成了的、由全体自然数组成的、外延不变的自然数集合。
证明:(反证法)假定存在这样的集合，这样的集合显然是唯一的，与命题4矛盾，证毕。
因此，基于实无限假设[5]，把无穷公理[6]解读为存在全体自然数集合组成的外延不变的自然数集合是错的。正确的解读是存在外延可以无限扩大并进而可包括任何一个自然数的自然数集合。
3结论和讨论:
发现对角线论证实数不可数的充分必要条件不成立，故对角线论证不能证明实数不可数。
用随机方法可以在实数与自然数之间建立双射。
本文构造的随机数不但能够证明实数可数，而且可以解释很多实数理论中的问题。例如，不难看出，用随机方法形成有理数的概率要远低于形成无理数的概率，这就很好地解释了为什有理数十分稀少，且有理数之间存在大量无理数等现象，为解决源于古希腊时代的第一次数学危机[7]并重建实数理论提供了一种简洁且严格的新途径。
本文还给出了两种独立于基数的比较无限集合大小的方法:数学分析和数学归纳法。
由于数学分析和数学归纳法都是高度可靠的，相对而言，基于一一对应的基数理论[5]就显得十分不严格。例如，根据真子集的定义，任何真子集的元素数目是少于原集合的，因此真子集的大小是小于原集合的。无论是数学分析还是数学归纳法都很容易证明这一点。以集合N1={0}UN为例，N1比其真子集N={1，2，3，...}多了一个元素0，当然比N大，用数学归纳法或数学分析法也很容易证明这一点。但是根据基数理论，两者的大小却是一样的，直接证明了基数理论是不可靠的，由此产生部分等于全体、无限旅馆等一系列荒唐，反直觉，反事实的悖论当然一点都不奇怪。
当推导的结果与事实相悖时，就说明该结果是错误的，这时候就应该虚心地仔细检查推导中的错误，反思推导所依据的原理是否一定可靠？有没有不自觉地引入隐性假设？而不应该像对角线一样，因为没有能力找出证明中的隐性假设而盲目迷信错误的推导，甚至把错误的推导当做真理，当作无限的特点，本末倒置、随意地宣称千真万确的事实(例如，任何集合比其部分元素组成的真子集大)是不可靠的。
本文还证明了自然数集合不是唯一的，不存在由全体自然数组成的外延固定的自然数集合。首次真正消除了困惑人类达400年之久的伽利略悖论和其他的反直觉命题。
其实，对角线虽然无法证明实数不可数，但却可以证明实数是列不完的:假定实数可以列完，则将其全部列完后，就可以构造出一个不同于所有小数的新数，形成矛盾。这就用反证法证明了实数是列不完的。由于命题3已经证明了实数是可数的，所以上述证明并不需要可数假定。
该命题也证明了所谓无限可以完成这一假定是存在反例的。
这里可以再次看到，在数学研究中，绝对严格思维的重要性:随意引入任何没有严格证明的命题，比如实无穷假设，是不严肃的。
科学是用来描述和解释世界的概念体系[8]，因此，该概念体系与所要描述的世界本质上是一致的，不能有根本性的冲突。
不与事实有根本性的冲突，是任何普遍性理论正确的必要条件。也就是说，如果某一个普遍性理论推出的结论恰好和某一事实是一致的，并不能证明这个理论一定正确，但是如果和任一事实不一致，却可以证明它一定是不正确的。
例如，原始命题通常用公理表示，但任何公理都是无法证明的，因此，本质上只是一个假设。为了保证假设的绝对可靠，首先它必须是显然正确并可以广泛验证的，其次是不允许存在任何一个直接或间接的反例。这里间接的反例是指根据公理推导出来的命题与事实相悖或导致自相矛盾。
例如，所谓无穷公理，如果解读不正确，就会存在很多反例。本文的命题5只是其中一个。另一个典型反例是:假定有两个可以无限招生的班级，学生的学号显然都是自然数，但如果规定其中一个班级(其学号用集合A表示)每招一个学生，另一个班级(其学号用集合B表示)必须招二个学生，很容易用数学归纳法证明，在任何一个时刻乃至永远，A≠B，这就与自然数集合是由全体自然数组成的这一命题矛盾:包含全体自然数的集合既然已经包含了全体自然数，当然是不会变，也是唯一的，无法解释A≠B这一事实。
高度尊重事实，不过是任何科学最基本的常识， 但自从非欧几何诞生以后，人们的这一正确想法似乎变了:
数学的原始命题即公理似乎不一定要与客观情况完全契合。
例如，罗巴切夫斯基几何学[9]与描述客观世界的欧几里德几何学[10]的平行公理不同，但其实却与人的主观视觉效应一致:由于近大远小的视觉效应， 离观察者越远，平行线看起来互相越接近，因此完全可以假设，在无限远处，平行线是相交的。因此，即使是非欧几何，其实也并没有脱离它所要描写的世界。
所以，认为数学可以离开它所要描述的世界，这一想法是错的。
康托的实数不可数，部分等于全体等明显反直觉，反事实的东西，完全不应该存在于严格的数学中。
事实上，国内外并不缺少对对角线论证的各种质疑[11-13]，只是这些质疑并没有像本文那样发现对角线论证中隐含着的充分必要条件，也没有像本文那样严格化和系统化，故难以引起重视[14]。
数学中的难题，比方说黎曼猜想，人工智能已有所涉及。由于人工智能进化速度非常快，像康托的这些相对明显且简单的错误大概率将很快被人工智能发现。本文预先证明了人类也可以看出这些错误。
其实，著名数学家庞加莱在《科学与假设》[15]等文献中早就认为认为集合论中的超限数概念超出了经验范畴，甚至是一种精神疾病，但他并没有具体指出错在什么地方及造成错误的根源，本文不但以对角线论证这一关键步骤为例指出了其具体的错误:引入了未加证明的隐含假设，而且给出了其病根:数学界缺乏严格的逻辑思维能力和批判性思维能力， 因此，大幅提高数学家的逻辑思维能力和批判性思维能力，大力提升其专业素养，是当务之急。
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