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对于《关于机械能守恒定律是否满足相对性原理的探讨》一文的商榷

摘要：论文《关于机械能守恒定律是否满足相对性原理的探讨》错误．

关键词：机械能；机械能守恒定律；相对性原理

中图分类号：O 313.1   文献标识码：A

昆明市第一中学教师杨习志和原昆明市五华区基础教育科学研究中心职工、物理特级教师、《物理教学》编委、《物理通报》杂志副主编赵坚先生，于公元第2020年5月，在《物理教师》第41卷第5期上发表了文章《关于机械能守恒定律是否满足相对性原理的探讨》，并在该文的最后说：“本文曾得到北京大学赵凯华先生的悉心指导”，下面简称文献[1]。

笔者认为文献[1]的观点错误，分析如下：

 1.文献[1]文章开始根据分析力学提出广义能量H守恒的充要条件是H不显含时间，没有任何问题，但是下面对于实例的分析是完全错误的。文献[2]给出了弹性势能的概念，轻质弹簧的不具有势能的问题。文献[3]认为是轻质弹簧只具有势能，而没有动能是完全错误的。

文献[1]中                                               =m+k(-

=m(-v+k(x-vt-=

m+ mv-m+k(x--k=…

从式中可以看出经过坐标变换后的哈密顿量是显含时间的，即

=- kt≠0．

故变换后系统的机械能不守恒．】

杨习志先生、赵坚先生得出的上述结论是错误的，原因有两条：第1条杨习志先生、赵坚先生上述计算中有省略号“…”的那一行算错了：第1，2，4个加减号错了，丢了第5项，正确的为：

m-mv+m+k(x--k(x-)vt+k=…

 设弹簧振子处于平衡位置时振子的位置为坐标原点o，沿横轴x方向以v运动的惯性参考系中的动能为，势能为，则x=Acos (ωt)，k=mω²，

==-ωAsin (ωt)，a==-ω²Acos (ωt)，

= x-vt=Acos (ωt)-vt，

==-ωAsin (ωt)-v，==-ω²Acos (ωt)=a，

=m=ma=-mω²Acos (ωt)=-kx．

(t)=-=kxd(x-vt)=kxdx-kvAcos (ωt)dt．

(t) -(0) ==xdx -ω²vAcos (ωt)dt=

kx²-k×0²-[mωvAsin (ωt)-mωvAsin (ω×0)]．

(t)=k A²cos² (ωt)-mωvAsin (ωt)，(0)=0．

(t)=m=m[-ωAsin (ωt)-v]²=

m[ω²A²sin² (ωt)+2vωAsin (ωt)+]=

kA²sin² (ωt)+mvωAsin (ωt)+m．

=(t) +(t)=kA²sin² (ωt)+mvωAsin(ωt)+m

+k A²cos² (ωt)-mωvAsin (ωt)=kA²+m=常数．

所以变换后系统的机械能守恒，守恒值为kA²+m．

因为==0．^[4]所以杨习志先生、赵坚先生算出【=- kt≠0】就错了，得出【变换后系统的机械能不守恒】的结论也就错了．

从上述关于(t)的推导知（下述≠右边两式坐标原点不同）：

(t) =kx²-mωvAsin (ωt) ≠k(x-vt-=k(-；

(t) =kx²-mωvAsin (ωt) ≠k(x-vt=k．

这说明杨习志先生、赵坚先生凭空想像出来的势能

k(-=k(x-vt-；k=k(x-vt

是错误的．(kx²也是用“势能的减少等于保守力的功”计算出来的，但是不适用于所有参照系，对于弹簧振子而言仅仅适用于静止系^[48])

一个一维弹簧振子的哈密顿量，正则方程为:

，，其中即动量的定义，而是一维简谐振子的牛顿方程；一般情况下，哈密顿正则方程组的第一个方程是牛顿方程，第二个方程是动量的定义。

其次文献[1]认为系统的机械能显含时间是错误的，从分析力学角度来看，只要所研究系统的拉格朗日函数和哈密顿函数不显含时间，系统的机械能一定守恒，与矢量力学的结论完全一致，

显含时间力场的定义：对于力F=F（r，t），如果时间t不能通过恒等变换消去，只能表示为位置和时间的二元函数，或者说力F对于时间的偏导数不恒等于0，那么力F就是一个显含时间的力场或者说是一个不稳定场。^[4]

文献[4]证明了力的保守性具有伽利略变换的不变性，保守力经过伽利略变换不可能变成显含时间的力，势能、机械能也不可能显含时间，因为根据dEp=（-f）dr可知只有力场显含时间，势能、机械能才能显含时间。杨习志先生、赵坚先生未学会消除t的方法，杨习志先生作为一位中学物理教师不会消元尚有情可原，中学阶段不讲授显含时间，可是作为参与这篇文章讨论的中国物理教育界的泰斗、北京大学物理系原主任赵凯华教授为何没有发现呢？实在令人不可思议．杨习志先生、赵坚先生也不想一想，如果真是得出【变换后系统的机械能不守恒】的结论，那么相对性原理就被推翻，再探讨机械能守恒定律是否满足相对性原理岂不成了笑话！能量守恒系统是封闭系统，否则是开放系统，对于一个惯性系是封闭系统，另一个惯性系是开放系统，说明各个惯性系是不等价的，怎能说依然满足相对性原理呢？

2.文献[1]给出的机械能守恒的条件是错误的，现行的很多力学教科书的功能原理，W_外力+W_{非保守内力}=(E_k+E_p)-(E_k0+E_p0)    (1)

由于式(1)没有引入外势能，将机械能守恒定律成立的条件W_非保守力≡0（系统不受任何非保守力的作用），搞错为W_外力+W_{非保守内力}≡0（外力和非保守内力都不做功）．正确的功能原理应为

W_非保守力=(E_k+E_p)-(E_k0+E_p0)（非保守力的功等于机械能的改变量）                                                (2)

式（1）和式（2）的区别只在于引入外势能，即把所有保守力的功都移到等号右边，等号左边只剩下非保守力的功^[5]。式（2）给出的机械能守恒定律成立的条件为W_非保守力≡0。因此建议把式（1）从力学教科书中删除，用式（2）代替它的位置（值得一提的是漆安慎的力学从2005年以后的版本就已经这样做了），并改称式（2）为机械能定理，因式（2）确实是定理而非原理。注意非保守力包括耗散力和显含时间的力，文献[6]列举的实例也可以消去时间t，不是显含时间的力场。从对称性角度看，保守力具有时间反演的不变性，非保守力不具有时间反演的不变性，能量守恒定律的普遍性在于它与时间的均匀性相关联。

机械能守恒的条件为系统里只有保守力，而力是伽利略变换的不变量，保守力变换后还是保守力，因此机械能守恒的条件具有协变性。文献[1]开始选作地面系为惯性系，此时默认地球质量为无穷大，忽略其能量的变化，地球不再是研究对象。文献[1]认为在动惯性系机械能不守恒，能量来自于哪里？难道能量守恒定律在动惯性系也不成立？现在各个版本的力学教材对于机械能守恒定律的条件叙述不尽相同，例如程守洙、江之永主编的《普通物理学》（第五版）对于系统机械能守恒定律描述为：“如果一个系统内只有保守力做功，其他一切内力和外力不做功，或者它们的总功为0，则系统内各物体的动能和势能可以相互转化，但机械能的总值不变。”漆安慎、杜婵英主编的《普通物理学教程。力学》的描述为：“在一过程中若外非保守力不做功，又每一对内非保守力不做功，则质点系的机械能守恒”和周衍柏的《理论力学》（第二版）的描述为：“如果作用在质点组上的所有外力及内力都是保守力（或其中只有保守力做功）时，才有：T+V=E，即机械能守恒。”赵凯华、罗蔚茵主编的《新概念力学》描述为：“一个保守系总机械能的增加等于（未计入外场部分的）外力对它所做的功；如果从某个参考系看来，这部分做功为0，则该系统的机械能不变。”仅当不存在非保守力或非保守力所作之功可以忽略时，系统的动能（包括转动动能）与势能之和为常数，即当时。

关于内势能的机械能守恒定律满足力学相对性原理的问题《大学物理》的多篇文献已经证明，取得了共识，本文不再分析。文献[7～18]都证明了关于外势能的机械能守恒定律满足力学相对性原理；文献[19～24]都说明了相对性原理和协变性是一回事；文献[25～31]和文献[3]是完全错误的，必须彻底纠正这些错误，不要再误导广大的青年学子了。

力学相对性原理对于描述力学规律来说，所有惯性系都是等价的，亦称伽利略性相对性原理。它包括:①在任何两个惯性系中做同一个力学实验都会得到相同的实验结果。②用任何力学实验都无法将两个惯性系区分开。③对于描述力学现象，所有的惯性系都是平权的。 文献[1]错误认为机械能守恒定律满足力学相对性原理，但是不具有单独的协变性，那干脆放弃相对性原理算啦，还要它什么用？从具有单独协变性的牛顿运动定律可以推导出不具有单独协变性的机械能守恒定律，说明经典力学具有不一致性，应该彻底放弃！！文献[1]的观点等于推翻了整个的经典力学，进而推翻了整个现代科技，因为经典力学是现代科技的基础。伽利略相对性原理的内容是：〖一切力学规律在所有的惯性系中都有相同的表达形式．〗狭义相对性原理的内容是：〖一切物理学规律在所有的惯性系中都有相同的表达形式．〗所以，只要相对性原理正确或成立，那么机械能守恒定律在所有的惯性系中一定都有相同的表达形式．假如机械能守恒定律在所有的惯性系中不都有相同的表达形式，那么就立即推翻了相对性原理．我们的大物理学家们，在相对性原理被推翻的情况下，还在进行着“机械能守恒定律是否满足相对性原理”的探讨，天大的笑话！

对力学相对性原理不能这样理解，所谓各个惯性系等效，应是指某一确定物理过程，如满足守恒条件，运用伽利略变换，则应在所有惯性系中守恒，而不能只对某一特定惯性系守恒。物系的动量守恒，质量守恒皆是如此，普遍的能量转化与守恒定律不仅在惯性系之间相互转换时保持不变，而且在变换到非惯性系时也保持不变。作为这一规律特例的机械能守恒定律却允许一个物理过程在一特定的惯性系中机械能守恒，在另一惯性系中可能不守恒，实质上是对一个物理过程的究竟守恒与否得不出肯定的结论，这样的定律当然不能我们解决问题的依据。^[47]

由麦克斯韦方程组导出的自由电磁波波动方程曾经引起物理学界的极大困惑，原因之一是当时人们普遍认为：在相对于以太介质静止的惯性系（有时简称为以太惯性系中），麦克斯韦方程（及其导出的电磁波波动方程等）是成立的，电磁波在真空中沿各个方向的传播速度都等于恒量C，那么在相对于以太运动的惯性系中情况会怎样呢？伽利略变换不能解决这个问题，于是人们认为存在对于经典电磁学的最优惯性系，最后爱因斯坦提出狭义相对论的两条基本原理——相对性原理和光速不变原理，证明经典电磁学“在这个惯性系中满足条件，必在其他惯性系中也满足条件”，才解决了这一危机。 ^[47]若按杨习志、赵坚老师的观点，这一切岂非大可不必，只要说明由麦克斯韦方程组导出的自由电磁波波动方程不具有单独协变性即可。

在现代物理学中，人们往往是把“对称性”、“不变性”、“相对性”和“协变性”看成同一个意思的。如果一个理论在某种变换群下具有不变性方程的形式不变，我们就说该理论 具有某种“协变性”，这里的变换可能是坐标变换，也可能是函数变换，比如洛仑兹协变性是坐标变换下的协变性，而规范协变性则是函数变换下的协变性。“协变性”总是和“对称性”紧密联系在一起的，虽然“协变性”是指方程的对称性，而不是几何的对称性，然而物理的对称性也许总是有一个几何的对称性与之对应的，比如齐次洛仑兹变换就相当于四维时空坐标系在闵可夫斯基空间中的一个不含时的转动方程的洛仑兹协变性。这种思想在后来的规范场论中得到了进一步的发展。按照通常的观点，相对性原理是指作为实验结果而总结出的物理定律，对于一类参考系是相同的。数学上物理定律大都以微分方程表示。在物理定律以微分方程表 示的情况下相对性原理在数学上的表示，就是这些方程在一类参 考系中的形式相同，或者说，对于一类参考系这些方程是协变的。因此按照通常的观点，人们之所以能断定表述物理定律的方程是协变的，这是以相对性原理为根据的，离开相对性原理而谈表述物 理 定律的方程的协变性，那是无稽之谈。相对性原理是指表述物理定律的方程(而不是其他的方程) 对于一类坐标系是协变的。对 于表述物理定律的方程，如果没有什么根据，那末即使引进一个辅助函数也是不允许的，而所谓对方程协变性的纯粹逻辑的自然要求决不能是什么根据。

爱因斯坦在回忆他建立相对论的经过时说，他“对于依靠已知事实通过创造性的努力来发现真实定律的可能性越来越感到绝望。”“空间和时间并没有绝对的意义，它们不过是相对的关系罢了。”“越发相信只有发现一个普遍的形式上的原理”才能得到“精确有效”的结果。他“直觉地感到”，“光速不变原理”和“相对性原理”正是这样的原理。

表述A 自然界规律对于洛伦兹变换是协变的^[32]

表述B 如果S是惯性系，则相对于S作匀速运动而无转动的其它参考系也是惯性系，自然界规律对于所有惯性系都是相同的^[33]

表述C  自然规律同参照系的运动状态无关，至少在参照系没有加速运动时是这样^[34]

笔者认为麦克斯韦方程组满足洛伦兹变换，弹性介质中振动波传递方程满足类洛伦兹变换，只要把光速换成波速即可。“只有爱因斯坦真正认识到相对性原理的本质意义，并从根本上改变了矢量力学及其时空观”，相对性原理最初是力学的基本原理。 在广义相对论中基本物理规律在任何坐标系形式下都不变——广义协变原理。依照古典力学，物体在竖直引力场中的竖直加速度，同该物体的速度的水平分量无关。因此在这样的引力场里，一个力学体系或者它重心的竖直加速度的产生，同它内在的动能无关。这就是等效原理的内容：惯性质量同引力质量相等，在引力场中一切物体都具有同一加速度。这就意味着爱因斯坦在狭义相对论框架中构造引力场论的尝试被等效原理否决了。从等效原理中，可以得到这样的结论：在均匀的引力场中，一切运动都像在不存在引力场时对于一个均匀加速的坐标系所发生的一样。爱因斯坦在等效原理的启发下，认为如果我们要得到一种关于引力场的自然的理论，就需要把相对性原理推广到彼此相互作非匀速运动的坐标系上去，引力场方程将在非线性变换的情况下保持不变，这就是新的广义协变性原理。文献[35～37]和[45～46]对此进行了详细的分析。

爱因斯坦说自然界规律对于洛伦兹变换是协变的，由爱因斯坦作了序言的文献[38]中说过：“力学定律在所有的惯性系(即对任一惯性系进行任意的伽利略变换而得到的所有坐标系)中采取相同的形式”。由此如文献[38]说：“伽利略相对论原理在数学上表现为矢量力学的基本方程在伽利略变换下是不变的或协变的。所谓协变性是指物理定律的表示形式不因坐标系的不同选择而有所改变。”文献[39]说:“经典力学对伽利略变换来说是协变的”。文献[40]说：力学运动方程具有伽利略变换的不变性，文献[41]说明满足力学相对性原理就是对于伽利略变换是协变的。文献[42]认为机械能守恒定律不是一条基本的物理规律是完全错误的，文献[29]认为机械能守恒定律不是一条普遍的物理规律是相同的错误。爱因斯坦认为：“必须承认经典力学在相当大的程度上是‘真理’……因此，在力学的领域中应用相对性原理必然达到很高的准确度。一个具有如此广泛的普遍性的原理，在物理现象的一个领域中的有效性具有这样高的准确度，而在另一个领域中居然会无效，这从先验的观点来看是不大可能的。”[43]

能量守恒定律相是普遍规律，比牛顿定律更基本，相对性原理和能量守恒定律是物理学中的“宪法”，其他“法律”（理论）必须表述为满足它的形式。对于同一个物理过程，能量守恒定律具有伽利略变换的不变性，如果在一个惯性系里是守恒，那么在另一个惯性系里一定是守恒^[20]，因此在弹簧+质点的系统中如果考虑弹簧的质量，忽略弹簧形变过程中产生的内能，在各个惯性系中测量的机械能也是守恒的。在经典力学中如果只有保守力，机械能也具有伽利略变换的不变性。机械能守恒定律应该表述为满足力学相对性原理的形式^[21]，这样矢量力学体系内部才能保证统一和和谐。杨习志先生、赵坚先生的这篇文章论述的是关于机械能守恒定律的问题，但是却大谈能量守恒定律，而能量包括核能、化学能、热能、声能、光能、电能、磁能、机械能等等等等，机械能只是众多能量中的一种．因此，杨习志先生、赵坚先生大谈能量守恒定律就离题太远了，也可以说就成了废话！文献[40]之指出“能量守恒定律不仅对于封闭系统成立，对位于定常外场(即不显含时间) 中的系统也成立。能量守恒的力学系统也称为保守系统。”笔者认为对于定常外场，如果只研究粒子的话，即按照外场计算也是封闭系统，能量一定守恒，封闭系统对于所有的坐标系能量都守恒。文献[1]的作者在自己的另一篇文章^[44]中已经明确指出功是力与质点位移的数量积，弹簧不具有质量，不是质点，能量不守恒的原因显然不是墙壁的影响，根源在哪里呢？

在经典力学中守恒定律与体系对称性之间有密切联系。在一个体系中有的力学量是不随时间改变的，这种力学量称为守恒量。对于用Lagrange函数描述的体系，如果在空间坐标平移具有不变性，则体系的动量守恒，若具有空间旋转不变性，则角动量守恒。Lagrange函数时间平移的不变性，将导致体系的能量守恒。力学相对性原理是对称性原理在力学中的重要体现，对称原理是一个普遍的原理。

自从文献[12]发表以后，指出公元2009年第26届全国中学生物理竞赛复赛三、1题的标准答案错误后，再次引起了物理学界对机械能守恒定律是否满足相对性原理的讨论．在多种物理学教育期刊上连续发布错误文章，误导物理学教师和学生，给物理学教育带来重大损失，这真是中国物理学教育的不幸！

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