Zmn-1155 一阳生 : 要抓住关键：计数方法，兼评论《Zmn-1150》。

【编者按。下面是一阳生先生的评论文章。是对薛问天先生的《1050》文章的兼评。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

要抓住关键：计数方法，

兼评论《Zmn-1150》。

一阳生

         一、帮薛老师做分析，找出我们的分歧点，并请薛老师进一步阐述自己的理论观点。

1、首先帮薛老师罗列一下有穷步推理、有穷次演算和无穷步推理、无穷次演算的各自使用条件。

【人实施的】、【人推理的】、【数学的证明】、【逻辑推理】、【由人来进行的】。与这些关键词相关的只允许使用有穷次的推理和演算。

【形成自然数集合的无穷过程，是客观形成的无穷次后继运算操作，可以完成无穷次。】、【客观操作的次数，则是完全可以涉及无穷的。】、【在客观上并非由人来执行的无穷次演算和操作的无穷过程是完全可以完成的，只不过要对演算的结果给出明确的定义。】。与这些情况相关的可以执行无穷次的演算。

我尝试在薛老师的罗列之上顺着薛老师的思路进一步分析。薛老师的人实施的、人进行的，这里面我猜测薛老师想谈的是：可设想数学中有个具有能动性的主观思维或理念，该思维或理念投射到小球等对象上面，小球等对象作为思维或理念载体便可产生行为动作，如推理、演算等操作。但这些行为只能进行有穷次（或潜无穷次）。

薛老师的客观的、非人执行的无穷次操作，如果存在，则必然是通过特别定义的方式给出了确定的有意义的结果。无穷次操作被定义之后，他们本身就是一种静态的存在状态。

由此看来我和薛老师的某些观点，有相似之处。我说数学中存在一动一静两种思维方式方法，薛老师似乎也在从人为和非人为的角度看待数学。

2、如果薛老师认可我上面的分析，那么接下来关于有穷和无穷之间是什么关系，我们就产生了分歧。薛老师的观点是能从有穷次达到无穷次，能从有穷过程达到无穷过程，元素能从有穷数量增长到无穷数量。其实只要我们能抓住这里面的关键：次数的计数方法。我们就会得出正确的观点。显然我三番五次提醒薛老师要抓关键，薛老师都视而不见置之不理。所以得出错误的结论，并不意外。

无穷次的演算如无穷个集合的并集和无穷级数的和，是由相关公理和定义保证存在的。有穷个集合的并集无法通过并运算逐渐增加集合数量达到无穷个集合的并集，有穷个项也无法通过加法运算逐渐增加项数达到无穷个项的加法。他们都不是人实施的、人进行的有穷次的动态操作所能达到的。

在物理世界中有时空变量作为自变量“帮忙”，是能够从有穷过程达到无穷过程的。当小球达到1点时，根据设定我们须要得出小球经过无穷个点的结论。但我们无法用自然数计数到无穷次，所以须在主观思维中切换计数方法，切换为达到1点与经过无穷个点进行等价对应的方法，得出小球达到1点时，经过了无穷个点的结论。薛老师的经过每个点都是一步操作，无穷步操作完成无穷过程，是抓不住关键的错误解释。

当我们在数学中用自然数计数某有穷过程时，根据自然数的基本性质，如果中途不停止计数过程，结果只能是【处于有穷次数当中(如n次)却永远无法遍历所有的有穷次数】。致使有穷过程永远达不成无穷过程，成为了潜无穷过程。

3、请薛老师本着对自己的理论观点和广大读者负责任的态度，就下面的问题给出自圆己说的答复。

对于形成全体自然数集合的客观的无穷次后继运算中的【无穷】，如何定义和把握？是指无穷序数ω还是基数阿列夫0？达到无穷次后继运算之后，后继运算在客观上是继续运算下去还是停止了？如果停止了，是谁让他停止的？如果后继运算继续运算下去，能否达到无穷序数2ω或阿列夫1次？毕竟这是所谓客观的不受人控制的后继运算，自然也不受薛老师控制。

不可数集合有没有客观形成的无穷过程？如果有，如何完成这个无穷过程？

二、如果命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】(下面用X表示该命题)成立，那么在同一次演算中，后继运算可运算无穷次，且无穷次后继运算得到的直接结果是无穷序数ω。

1、在本次讨论中为了避免演算与后继运算之间的混淆，我对演算做了特殊的定义。同时为了能够清楚明白的讨论问题，希望薛老师不要故意混淆他们，这算是我们之间的约定。

【演算】的定义：在得到一个或多个自然数后，把后继运算次数清零，重新由0开始持续的后继运算去得到新的一个或多个自然数的过程称为一次演算。

现在回顾薛老师用数学归纳法证明命题X的过程。薛老师说：“…。根据自然数公理2，对任何自然数n，n+1是由n经1次后继运算得到的。因而在假定P(n)为真，知自然数n是由0经有穷次后继运算而得到，n+1则是由0经有穷次加1次后继运算得到的。所以，仍是有穷次后继运算得到的。所以推出了P(n+1)为真。…。”

证明过程中的关键在于：在假设由0开始经有穷次后继运算得到任一n的条件下，要首先得到n的后继数n’。然后再证明P(n’)： n’可由0经有穷次+1次即有穷次后继运算得到。显然薛老师也是这么做的，在一次演算中，由假设，经有穷次后继运算得到了任一n，【在同一次演算中】，且在n的基础上再做1次后继运算得到n’。有穷次+1次仍是有穷次，推出了n’也可由0经有穷次后继运算得到，即P(n’)为真。

所以在薛老师用数学归纳法证明命题X的过程中，根据假设在一次演算中经有穷次后继运算得到任一n，并在同一次演算中且在n的基础上做1次后继运算得到了n’。也就是说任一n和n’都是在同一次演算中由0经有穷次和有穷次+1次即有穷次后继运算得到的。所以薛老师在用数学归纳法证明命题X的过程中，实际上是用数学归纳法证明了【在同一次演算中】，后继运算可得到全部的有穷自然数，和后继运算可遍历全部的有穷次后继运算。

如果薛老师反驳说，n’是在另外的一次或单独的一次演算中，由0经有穷次后继运算得来。那么我们将无法在假设的条件下证明P(n’)为真了。同时也不须要证明P(n’)为真了，因为已经直接给出了P(n’)为真。如此将违反数学归纳法证明的程序，得出无效的结论。

所以经过数学归纳法的证明，我们可自然的得出：【在同一次演算中，后继运算可得到全部的有穷自然数，后继运算可遍历全部的有穷次后继运算。】

2、薛老师说：“一阳生问【在一次演算中，后继运算最多能运算多少次？最终得到的是自然数还是无穷序数？】   不是一次演算。对每个自然数n，需由0经有穷n次后继运算即可得到。但由于所有这样得到的自然数有无穷多个。所以得到全体无穷多个自然数，就需进行无穷多次后继运算。但要注意的是，并不存在0经无穷次后继运算得到的数。而是得到无穷多个，由0经有穷次运算得到的数。”

如果命题X是成立的。在同一次演算中，后继运算就能遍历全部的有穷次后继运算和得到全部的自然数。否则重复无穷次这样的演算，也照样得不到全部自然数。

薛老师肯定承认【进行了无穷次后继运算必然已经遍历了全部的有穷次后继运算】。反过来，薛老师肯定也承认：【没有进行到无穷次后继运算，即进行到有穷次后继运算(如n次)，必然没有遍历全部的有穷次后继运算】。也就是说【进行了无穷次后继运算】⇔【遍历了全部的有穷次后继运算】。薛老师是否认可？

如果薛老师认可。那么其中的道理如同【小球达到1点】⇔【小球经过0.9,0.99,0.999,...这全部无穷个点】。又如同口头数数，【数到无穷序数ω】⇔【数完全部无穷个自然数】。希望薛老师能认识到这三个等价关系都是成立的。薛老师不认为他们是等价的，这是薛老师观点的破绽之一。

3、薛老师说存在无穷次后继运算，但不存在无穷次后继运算得到的数。这是错误的，如果存在无穷次后继运算，则必然存在无穷次后继运算得到的数。下面用替换公理证明。

我们让次数的集合与自然数对应。让{0次}对应{}，{0次,1次}对应{0}，{0次,1次,2次}对应{0,1}，…，让{0次, 1次,2次,3次,…,n次}对应{0,1,2,…,n-1}，…。形成一个对应关系。根据替换公理，元素之间存在对应，但同时全体后继运算次数的集合{0次,1次,2次,3次,…,n次,…}也与全体自然数的集合{0,1,2,…,n-1,…}存在对应。全体自然数的集合就是无穷序数ω，全体次数的集合就是无穷次后继运算。无穷次后继运算分明对应或产生或得到的数就是ω。薛老师说不存在无穷次后继运算得到的数，是错误的。只是不存在最大的有穷次后继运算和不存在最大的有穷次后继运算得到的数。如果存在无穷次后继运算，那么必然存在无穷次后继运算得到的数。

4、讨论运算的定义和存在性。运算是对象或对象之间的行为动作，如果运算被赋予了一个确定的有意义的结果，那么该运算就是有定义的和存在的。反之如果运算没有被赋予确定的有意义的结果，那么这个运算就是无定义的和不存在的。即【运算有定义和存在】⇔【运算被赋予确定的有意义的结果】。

虽然这是我根据我所认知到的运算，做的归纳总结得出的认识。但我相信这也是数学中定义运算的原则和规则。且同样适用无穷次运算，如无穷个集合的并运算也就是无穷个集合的并集，是有定义的，但不是被定义为无穷多个[有穷多个集合的并集]。如无穷级数中无穷个项的和被定义为部分和的极限，而不是被定义为无穷多个[部分的和]。薛老师如果不认可，可说出自己的认识和举出反例。

薛老师承认在同一次演算中后继运算最多可运算无穷次，那就是承认【在同一次演算中无穷次后继运算有定义和存在】。那么必然的无穷次后继运算就会得到一个数，即无穷序数ω，而不是无穷多个[由0经有穷次运算得到的数]，这些数是由有穷次后继运算得到的。

5、在同一次演算中，如果存在无穷次后继运算和无穷次后继运算直接得到的数。那么后继运算对序数数系的影响是，序数中的无穷序数ω甚至2ω等，将不再是极限序数。他们将会是可由后继运算得到的后继序数了。薛老师是否承认这种影响，如不承认请给出理由。

当然我的观点是根据自然数的基本性质，不存在无穷次后继运算和不存在无穷次后继运算直接得到的数。后继运算不能够遍历全部的有穷次后继运算，和后继运算不能够得到全部的自然数。自然数计数得到的次数的集合事实上做不到与全体自然数的对应。这一切都可反推出命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】是不成立的。而且我前面的文章也已说明，与有逻辑顺序的行为动作相关的性质或命题P(n)不适应全体自然数，不适应数学归纳法的证明。

三、对薛老师文章中几处观点的评论。

1、薛老师说：“命题【任何自然数都可由0经有穷次后继运算而得到】。可以看作是自然数的定义。”

薛老师说命题【任何自然数都可由0经有穷次后继运算而得到】或命题【任一自然数n都可由0经n次后继运算得到】可作为自然数的定义。可惜该命题胜任不了。这个命题若作为自然数的定义，则是循环定义。

使用该命题定义自然数的过程中，【有穷次】、【n次】，这些概念在逻辑推理上要先于自然数的存在。而这些概念与概念【自然数】、【n】又是存在对应关系的，并被概念所定义或产生依赖。否则在[不存在自然数概念和具体自然数对象]之前，我们如何理解【有穷次】、【n次】？

【有穷】概念本身虽无确切定义，但却是自然数的一个基本性质。倘若没有自然数的存在，则自然数的性质何以存在！而【n】本身就是自然数。

所以该命题作为自然数的定义是循环定义。而且薛老师企图把该命题作为自然数的定义，必然会导致后继运算概念取代后继数概念。后继运算概念是后继数概念延伸派生出来的，他们并不等同，他们各自反映了一动一静两种不同的思维方式方法，但在外延上动并不能遍历所有的静。

2、薛老师说：“要知道客观上的无穷事物是大量存在的，无穷集合大量存在，无穷集合就是【让元素可以从有穷数量增长到无穷数量】。无穷集合的生成过程就是要有无穷次操作的无穷过程，肯定要【让操作步骤可以从有穷次跨越到无穷次。】这些无穷过程不受时空的限制，是完全可以完成的。显然这都是客观的存在，而不是我薛某的【在数学中强硬加塞】。在数学中有大量的有定义的无穷次演算，需要研究和讨论。”

我还是要提醒薛老师，有穷数量到无穷数量、有穷过程到无穷过程、有穷次数到无穷次数，这里面都有计数的过程。请把计数过程说清楚！自然数只能计数到有穷次，如何从有穷次计数到无穷次？之间是不是有计数方法的转变？

可以举例从两个集合的并运算开始，如何逐渐增长到无穷个集合的并运算？

3、薛老师说：“实际上由于在数学上我们可以应用开区间这个概念。我们也可以使用时间开区间这个概念。也就是说在小球运动在经过开区间[0,1)的所有时间点，其中不包括时间点1这个时间点时，仍然精确地经过了所说序列的所有无穷个点。”

设小球处在开区间[0,1)之中的位置为ε，0 ≤ ε <1。要知道小球在开区间经过的点为[0, ε]，不是[0,1)。小球在开区间内永远无法经过的点为(ε,1)。小球所处的位置ε与1之间是有距离差或时间差的。薛老师居然违背直线上点的性质与关系，让我大感意外。我一再提醒薛老师开区间中是有小球处在其中的，要聚焦于小球所处的点或位置，不能忽略小球只考虑静态的开区间。

4、薛老师说：“这0.9,0.99,0.999,...中的任何一个点，它前面都有有穷个点，可用自然数计数，它后面都有无穷个点。而且在后面的这无穷个点中，的任何一个点，它前面也都有有穷个点，仍可用自然数计数。要知道，无论何时。在后面的这无穷个点中，的任何一个点，它前面也都有有穷个点，仍可用自然数计数。在经过这无穷个点的任何时刻，根本不存在【已停用自然数计数方法了，已让后继运算演算停止运行了】的时刻 。”

简而言之，设小球所处的位置为ε ∈ [0,1)，在0.9,0.99,0.999,...这无穷个点中，处在ε之前的有有穷个点，处在ε之后的有剩余无穷个点。这是对的。说在这无穷个点的任何时刻ε(小球的位置可表示任何时刻)，其已经经过的点，也就是ε之前的有穷个点，都可用自然数计数，也是对的。但与此同时任何时刻ε之后到1点之间即(ε,1)中，仍然有剩余无穷个点没有被计数到，也无法用自然数计数完。所以只能停用自然数计数法，换成【达到1点与经过这剩余无穷个点等价对应】的计数方法。薛老师看到其一没有看到其二，这是薛老师观点的破绽之二。

5、薛老师说：“首先，他设想有一个确定的时刻。这个时刻把这个无穷过程分成两个子过程。他认为有这么一个【关键时空节点与无穷进行等价对应】。认为这个【关健时空节点】就是【1点之前的某点】。认为有一个这样的确定时刻就是他的主观臆想。”

想不到薛老师对我有如此大的误解。第一子过程经过的点数，用自然数计数，当然是有穷个点或潜无穷个点。小球这时所处的位置为ε ∈ [0,1)。另外关键的时空节点当然是指1点，不是指1点之前的某个点ε或位置ε。1点之前的某个点或位置是指小球所处的点ε或位置ε。这个点或位置是第一子过程和第二子过程的分界线，处在这个点上的小球仅仅经过了第一子过程中的有穷个点或潜无穷个点，不是无穷个点。

四、关于潜无穷过程的定义。

我用条件定义，定义的相当清楚明白。居然还能被薛老师歪曲曲解。

我说：“【x趋向于x0】为潜无穷过程，当且仅当，函数f(x)在x0点的某一去心邻域内有定义，且对于任意正数ε，总存在正数δ，使得一切0<|x-x0|<δ，有|f(x)-A|<ε。”

我在已经【判定f(x)在x0点的某一去心邻域内有定义】和【判定使得一切0<|x-x0|<δ，有|f(x)-A|<ε。】的条件下，定义【x趋向于x0】为潜无穷过程。反过来如果我称【x趋向于x0】为潜无穷过程，则两个判定必然是成立的。我用【当且仅当】定义他们之间的关系，定义完毕后，双方是等价关系。我的潜无穷过程当然是定义在实无穷的基础上，实无穷为潜无穷过程提供了足够的运动空间，让潜无穷过程能一直【潜】下去，不停歇。当然极限定义也是建立在实无穷的基础上。

薛老师说：“他认为【当x趋向于x0时，函数f(x)趋向于A】为潜无穷过程，”

我再次清清楚楚的告诉薛老师，当满足一定条件后，定义【当x趋向于x0时】为潜无穷过程，当x趋向于x0时，定义函数值f(x)是动态数。在极限定义中和我的潜无穷过程定义中，根本没有【函数f(x)趋向于A】这种违法违规的表述。

潜无穷过程强调运动变化永不停歇，其导致的是具有独特意义的动态结果。极限作为静态的定值的存在，其没有相对应的过程。潜无穷过程永不可能渐变为实无穷过程，从而成为极限的过程。具有独特性质的动态数也永不可能渐变为极限。

五、函数与运算之间的关系

其实是一些静态的函数关系延伸派生出了运算这种行为动作。

数学对象之间的关系如函数关系，都是处在静态的存在状态中，不是处在动态的进行状态中的。函数关系一经定义，我们的主观思维便会认为函数值表达式中的自变量和自变量或自变量和常量之间，存在一种行为动作，称为运算，并把函数值表达式称为运算表达式。函数关系就此延伸派生出了运算。但函数与运算之间还是有重要区别的。

从函数的角度看函数值表达式，自变量可取值定义域中的全部值。自变量与函数值之间是静态的对应关系。

从运算的角度看运算表达式，如果用自然数计数运算次数，则计数次数和自变量取值的个数都只能是有穷次有穷个。（不是无限选取全部的自变量，并共同的或都执行运算。）

例如后继函数的自变量取值为全体自然数。但如果我们从0开始持续的做后继运算，并计数运算的次数，则只能计数到有穷次，得到有穷个自然数。

又例如薛老师让计数得到的次数的集合与自然数对应。让{0次}对应{}，{0次,1次}对应{0}，{0次,1次,2次}对应{0,1}，…，让{0次,1次,2次,…,n-1次}对应{0,1,2,…,n-1}。薛老师以为如此形成的对应关系，可对应完全部自然数。但实际上计数也是有逻辑顺序的行为动作，做不到全部对应。

薛老师把动态的运算及计数运算次数的过程看成是能够完成的，并最终归于静态的存在状态。这是动静不分并进行混淆造成的错误认知。

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