Zmn-1009 薛问天 : 这六个命题不是谬论，反映了无穷集合的特性。评李鸿仪先生的《1008》。
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这六个命题不是谬论，反映了无穷集合的特性。评李鸿仪先生的《1008》。

薛问天 
xuewentian2006@sina.cn

一，李先生没有认识到〖无限集合可以与其真子集一一对应〗，这是经过严格逻辑证明的数学定理。你要反对它，必须指出这种证明在逻辑上的错误，指不出来，就必须承认它。李先生说这是【一些先入为主的东西在薛先生大脑中已经根深蒂固，不可改变。......被薛先生当做信条。】显然是错误的。在数学中严格证明的定理，我们每个人都要承认。李先生说【但是书上的一定是正确的吗？还是要看看事实和逻辑吧】。这个定理不仅是书上写的，关键是得到了数学的证明，你在标题上不是说要【承认事实和逻辑】吗？为什么不承认经过数学严格证明的事实和逻辑！
两个集合是【一一对应】的，这有严格数数学定义，那就是存在双射。因而两个集合是否【一一对应】可严格证明。例如，全体自然数集合N同全体偶数集合A1间有映射y=2x是双射，所以可证明N同A1一一对应。另一方面根据真子集的定义可证A1是N的真子集。关于这两点李先生也是认可的，提不出任何反对意見。但是由此就证明了〖无限集合可以与其真子集一一对应〗。为什么李先生却对此经过严格证明的逻辑和事实不予承认。简直是毫无道理。

二，要认清无穷集合的【元素数目】並不是已经有严格定义的数学概念。不同的人可以有不同的认为。业界大多数人，包括我个人，认为康托的基数就是对无穷集合【元素数目】概念的精确定义。但李先生并不这样认为，他要给出他自已的定义，不过他给出的是有矛盾的是失败的定义，并未成功。到目前为止，还没有人能给出不同于基数的【元素数目】的数学定义。
因而对李先生所论述的1)和2)两个命题:
1)一一对应被认为是元素数目相等
2)无限集合可以与其真子集一一对应。
要有不同的认识。关于2)，我在本文的一中讲过这是数学中严格证明的定埋。但是1)只是一种【认为】，因为【元素数目】没有正式定义。
认为基数就是对无穷集合【元素数目】概念的精确定义的人自然认为【1)，一一对应被认为是元素数目相等】。因为一一对应被定义是基数相等。
其实虽然李先生并无给出【元素数目】的严格定义，但是他也认为在他的【李氏元素数目】的定义中，一一对应被认为是元素数目相等。
但要注意，因为【元素数目】没有正式定义。【1)一一对应被认为是元素数目相等】並不能进行严格数学证明。
李先生说【已经用了元素数目这一概念，说明这个概念是存在的，】
这是不对的。因为无穷集合的【元素数目】没有正式定义。在严格的数学论证中就不能用元素数目这个概念。不加说明的情况下用这个概念都是错误的。无穷集合的【元素数目】在数学理论中没有，即不存在这个数学概念。
因而李先生认为【1)是可以严格证明的】的看法是错误的。
我们来分析他证明的问题。在证明开始时，在把一一对应认为是元素数目相等，说A和B的元素数目不同时则A和B不能一一对应，从而【A和B之间的单射不是满射】，这个结论是对的。但是理由並不是什么【设∞A﹥∞B，则A中总有∞A-∞B个元素，在B中没有原像，】要知道元素数目的加減法你还没有定义。什么是∞A-∞B，你並未定义，怎么就乱用了。因为如果存在单射是满射就存在双射，就一一对应了。你设其不一一对应，从而任何单射都不是满射。这才是推导的正确方法。李先生缺乏逻辑训练，用没有定义的内容胡乱推论是他证明的常态。
后面的推论就更乱了。我早已指出用【计数】只能定义有穷集合的元素数目，根本定义不了无穷集合的元素数目。
李先生说【是有限的计数可以停止于某一个固定值，无限不能停止而已。】你说的【而已】，你知道是什么吗？无穷次的计数结果是什么就根本没有定义，你就不知道它是什么，你怎么用不知道的东西来定义。
李先生根本证明不下去，就这么说【既然1)正确，那么6个荒谬的结论中的任何一个都严格证明了2)错误！即无限集合不可以与其真子集一一对应。】
也就是说李先生的证明根本就没有证明，他用的是他认为是【荒谬的结论】的6个命题。他的错误正好在此，理由如下。

三，这6个命题并不是谬论。李先生对此要有正确的认识认。
李先生一下子列出了6个命题，他认为这是【荒谬的结论】。其实李先生全错了，这6个命题在1)的认为下，是完全正确的命题，这6个命题揭穿了无穷集合同有穷集合的不同，说出了无穷集合所具有的特性。李先生之所以认为它荒谬，是因为李先生太熟悉有穷集合的属性了，这些属性使他建立了错误的直覚。使他认为这些有穷集合的规律在无穷集合也应适用。错就错在这里。事实是，这些规律并不适用于所有无穷集合。对无穷集合要有新的认识。
例如李先生说【六个结论的任何一个都是自相矛盾的，比如说一半怎么可能等于全体？硬说0.5=1不是矛盾，而是无限的特点，】完全说明李先生脑子里想的都是有穷集合的规律，没有考虑无穷集合的特点。一半不等于全体这是有穷集合的特点，而无穷集合则完全可以同它的真子集一一对应，全体自然数集合就可以同组成它的真子集偶数集一一对应，因为它是无穷集，这是无穷集的特点。根本不是什么【一半】等于【全体】。对于有穷自然数，a+1＞a，a+a=2a它大于a，不等于a。这是有穷自然数的特点。但对于表示无穷集合的超穷数就不一定有这个特点。例如超穷序数1+ω就不等于ω+1，不满足加法的可换性。ω+1＞ω，但1+ω=ω。有不同的规律。再例如超穷基数α，就有α+1=α，以及α+α=2α=α，而不满足α+1＞α和2α>α。你根据什么说在∞A表示无穷集合的元素数目时，一定要有∞A+1>∞A和∞A+∞A=2∞A>∞A呢？不满足这个有穷集合的规律就是违反直觉，就是谬论呢？这种推理毫无根据。另外李先生说【硬说0.5=1不是矛盾，而是无限的特点，】这是有意的歪曲，0.5和1根本就不是无穷集合和它的真子集的元素数目的表示，怎么能用它来表示〖无限集合可以与其真子集一一对应〗呢？

四，李先生在文中正式宣告他原来试图所作的对无穷集合【元素数目】进行的定义失敗了。认为【那只是一种永远实现不了的幻想】。
他说【无限集合的元素数目只能是一个不断增加、没有上界的变量，而不是一个固定不变的值。所以，如果一定要想通过这个计数过程得到一个确定的无限值，那是不切实际的幻想。】【事实上，根本就不存在可以固定的无限数！】【所以我们永远不可能给出无限集合元素数目的固定数值，当然也不可能形成一个数域，在这个数域里每一个无限集合都有一个固定值。那只是一种永远实现不了的幻想。】
当然李先生的幻想和失败，并不等于不存在成功。大多数业界公认康托尔的基数就是对无穷集合【元素数目】的成功的精确数学定义。所定义的基数，就是这个数域。任何无穷集合都有一个唯一确定的基数，是【一个固定值】。而且基数数域中有定义的算术运算，这些运算有它自身的独特规律。这一切都是现实而不是幻想。
而李先生把无穷集合的【元素数目】说成是【变量】，则更是荒唐。什么是表达一个无穷集合元素数目的【变量】，给你一个无穷集合你怎么去求表达此无穷集合元素数目的【变量】，【变量】怎么表示，它是唯一确定的吗，变量随什么在变，变量的相同和不同又是怎样判定，你定义的变量的定义域是什么，如何定义变量的算术运算，如何判断两个变量谁多谁少？这一切都需严格的定义。而这些在李先生那里都是相当混乱的。

五，李先生【证明】六个命题是荒谬的的错误证明。
李先生说【六个荒谬结论的荒谬性是可以直接证明的】。我们来分析他所给【证明】的错误。
李先生试图【直接证明，任何无限集合的元素数目必定是比其真子集多的。】他说【证明： 对任何无限集合A, 若其包含真子集B，则A=BU(A-B)，根据无限集含元素数目的可加性，【因为B与(A-B)的交集为φ，且A-B≠φ，即其元素数目∞A-B>0，所以∞A=∞B+∞A-B﹥∞B】
李先生错就错在对【无限集含元素数目的可加性】的错误认识，在A=BU(A-B)，A-B≠φ，∞(A-B)>0，的条件下只能推出∞A=∞B+∞(A-B)，但绝对推不出∞A﹥∞B。因为【两个非零数的和大于这两个数的任何一个数】的这个规律是作为有穷集合元素数目的数域: 自然数集合的规律。你怎么知道这个规律对作为无穷集合元素数目的数域的加法也适合呢。因为完全有可能∞B+1=∞B，而不是∞B+1＞∞B。完全有可能∞B+∞B=2∞B=∞B，而不是2∞B＞∞B。
李先生的证明犯了滥用有穷集合规律的错误。

六，李先生对无穷公理认识的错误。
李先生说【用无穷公理加分离公理只能证明可以用+1的方法从0开始形成任何一个自然数，但并不能证明+1过程可以结束从而形成全体自然数，】
这明显是李先生认识的错误。无穷公理说明归纳集合的存在，什么是归纳集合，凡满足下述两个条件的集合G称为归纳集合。
(I)，∅∈G，
(Ii)，如果x∈G，则x´=x∪{x}∈G。
显然全体自然数集合是归纳集合，而且是最小的归纳集合。
即如果用G(Y)表示Y是归纳集合。则如果用N(X)表示X是全体自然数集合，则N(X)=G(X)∧(∀Z)[G(Z)→X⊆Z]。
也就是说X是全体自然数集合，N(X) ，可以表示为，  X={x丨φ(x)}，其中
φ(x)=(∀Z)[G(Z)→x∈Z]。
而且知全体自然数集合是任何归纳集合Y的子集。即如果Y是任意一个归纳集合G(Y)，全体自然数集合X，N(X) ，也可以表示为，  X={x丨x∈Y∧φ(x) }，
所以由无穷公理知存在归纳集合，即(⺕Y)G(Y)。再用分离公理(模式)，
(∀Y)(∃X)(∀x)[x∈X↔(x∈Y∧φ(x))]。
即证明了存在全体自然数集合，即(⺕X)N(X)。
李先生说【并不能证明+1过程可以结束从而形成全体自然数】，显然不对。並不需要证明+1过程可以结束，因为所有的自然数都是由0经过有穷次的+1后继运算而得到。所以所有的自然数都可以用有穷次地使用(II)证明它属于全体自然数集合。既然证明了所有的自然数都属于全体自然数集合，当然我们证明了存在的集合是全体自然数集合。
李先生说【单数性质的“任何”和复数性质的“所有”并不一定相同】。其实李先生沒有搞懂“任何”和“所有”不一定相同，指的是在语言学中有些特殊的语用中可能不同，但是在逻辑学的全称量词应用中，则是完全桐同的。特别在集合论中说集合【包括任意自然数】和【包括全体自然数】的含意是完全相同的。

七，李先生对全体自然数集形成过程的错误认识。
李先生说【能够不断地形成任何一个自然数，不等于这个形成过程可以结束从而形成全部自然数:只要过程还在进行当中，就不断有新的自然数产生，永远不可能形成全体自然数。】
既然通过0经有穷次的+1可以生成任何自然数。当然任何自然数都可以通过0经有穷的+1而生成。即所有自然数都可以通过0经有穷次的+1而生成。我们把所有生成的自然数的集合称为全体自然数集合。这里要注意，任何自然数(即所有自然数)都是通过0经有穷的+1而生成的。这里没有【通过0经无穷的+1而生成】的概念。只不过通过0经有穷次的+1而生成的所有自然数构成的集合是无穷集合。

当然这个有穷次的+1，次数并无上界，可以不断增加。也可以说这个不断增加的过程不能终止，因为一旦终止，就不能生成所有自然数。但是要注意，这是集合的生成过程，我们不是处在集合的生成过程之中，而是处在自然数集合生成之后来研究这集合的。因而这个永不终止的生成过程，只能㸔成是这个过程的一个特性，并不能认为这个过程不能完成。这就是人类聪明之处。可以站得更高，通过逻辑思维，认为这个永不终止的生成无穷集合的过程，在我们研究它的时候已经完成。我们用【所有】这个逻辑词汇， 可以成功地来研究所有由0经有穷次+1所生成的自然数构成的集合。

请大家注意，通常有人认为永不终止的生成无穷集合的过程不能完成，是因为他们认为这要生成无穷个元素，如果每次生成一个元素，每次+1运算，需有一个固定长度的时间，那么就不能在有限时间内完成无穷个元素生成的过程。
其实这是他们没有想清楚，每次生成一个元素的时间如果不是需要固定的时间，而是逐渐变小的时间，那么这无穷个元素能否在有限时间内完成呢？如果生成第i个自然数需要的时间是ai秒。那么生成所有自然数的过程需要的总时间就是a1+a2+a3+.....，是这个无穷级数的和。根据数学理论这个无穷级数的和完全有可能是一个有限值，因而这个永不终止的生成无穷集合的过程完全可以在有限时间内完成。
也就是说【永不终止】这只是一种过程的性质，并不说明这个过程不能完成。关于这点我们也曾经举过运动的例子。例如我们从坐标0点匀速运动到坐标1点，中间要经过坐标是0.9,0.99,0.999,......这无穷个点，显然经过这无穷个点的过程是【永不终止】的，经过每个点后，还要经过下一个点，永不会终止。但是当匀速运动到坐标1点时，经过这无穷个点的过程显然已经全部完成，也就是说经过了这无穷个点的所有的点。

八，李先生不承认存在全体自然数这个无限集合，却认为存在正在形成过程中的无限集合，这是错误的。
李先生说【由于加1过程无法停止，所以只存在正在形成过程中的无限集合。】而且说【正在形成过程中的无限集合并不是有限集合】，显然是大错特错。要知道如果无限集合的生成过程尚未完成，那么就只生成有穷个自然数，自然生成的是自然数的有限集合。不存在【正在生成】的集合是【无限集合】。所谓的+1过程，是对当时已生成的有限集合，对它的最大值+1，从而产生一个新的自然数，形成一个新的更大的有限集合。因而所谓的+1过程是不断产生新的更大的有限集合的过程。这个+1过程不断继续永不终止，从而可生成无限多个有限集合。要知道这个+1过程永远不可能产生无限集合，它所产生的全是有限集合。产生的是无限多个有限集合。最后，是这无限多个有限集合的并集，才形成全体自然数的无限集合。这才是无限集合的形成过程。
关于全体自然数的形成过程我巳经说得很清楚了。但是李先生却说【严格的数学推导不能跳过任何一个关键性环节，但薛先生在这里还是跳掉了如何形成“全体自然数的无穷集合”这一关键性环节，就直接讨论形成后的事情。本质上也是随意引入了未经证明的假设。】这样的评论那就只能是无的放矢了。
我的观点很清楚，这个永不终止的+1过程，只是这个过程的特性。这个过程是可以完成的。这个永不终止的+1过程的完成，並不是+1过程的半途终止，而是整个这个永不终止的+1过程的完成。整个过程的完成，形成了无穷多个有限集合。最后是这些无穷多个有限集合的并集形成了全体自然数的无限集合。
要注意这无穷多个有限集合全是有限集合，其中没有无限集合。所以我仍然坚持认为〖有穷集合通过+1的延申，还是有穷集合，不是无穷集合。〗
李先生所说的【把无限看成永远在增加的有限】，说清楚点【把无限集，看成永远在增加的有限集。】这显然是不对的。因为【永远在增加的有限集】始终是有限集，它不是无限集。正确的认识是，由永不终止的+1过程全部完成后生成的无穷多个有限集的并集，才形成全体自然数的无限集。

九，关于康托尔定理，李先生错误地理解为是讲自然数集N的幂集P(N)。他理解错了，讲的是任何无穷集合S，其幂集P(S)都比S的基数大。所以康托尔定理是用对角法证明的实数不可数定理的进一步的推广。
李先生说什么【康托定理和对角线法并没有本质区别】，说明李先生在这方面的知识还差距甚远。需要补缺，提高对康托尔定理的正确认识。
另外，对对角线法证明的定理也理解错误太多。此定理所证明的结论就是推翻反证法的【实数可数】的假定，证明实数不可数，实数不能排成序列，实数集合不能用自然数作标号。而李先生却说【认为N’不是自然数集合，明显与事实违背:存在不是自然数的下标吗？没有讨论的必要！】要知道李先生糊里糊塗地坚决认为【 没有任何理由可以反直觉地认为存在的东西是不能一一列出的，因此，假定我们有无限个无限小数，当然就可以将其一一列出：】是完全错误的。你根据什么说存在的无穷集合都能一一列出，都能以自然数作标号。这种说法毫无根据。康托尔的定理就是在证明这个说法的错误，证明实数集合这个存在的无穷集合不能一一列出，是不可数的。
李先生说【如果我们根本不知道存在可数和不可数集合，我们怎么会把可数作为一个错误的假设？这样做难道不是一种“事后诸葛亮式的”逻辑循环吗？】
定理的证明并不是【把可数作为一个错误的假设】，而是用反证法把【实数可数】作为假设，然后用矛盾证明假设是错误的来证明实数不可数。这根本就不存在任何逻辑循环。
另外李先生还说【一一列出实数后，我们并没有遇到任何真正的矛盾，这就证明了这样一一列出是完全合理的。】这完全不符合事实，证明中明明构造出实数b，证明b不在序列中，这同全部实数构成序列产生矛盾，怎么能说【没有遇到任何真正的矛盾】？
李先生最后说【连不可数集合都不存在，还讨论什么大基数啊。】这更是不讲事实的胡言乱语。康托尔用对角线法证明的就是实数集合的不可数。怎么能说【连不可数集合都不存在】。康托尔定理证明任何无穷集合的幂集的基数都大于原集的基数，基数可以不断增大。怎么能说【还讨论什么大基数啊】。李先生的这些说法完全不顾事实。



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