说不清的无穷

许秋雨，2023.6.25

点，直线和圆是古老的几个几何体，人们自古就开始认识它们。这也是为啥人们对sin和cos函数认识得很早，特别是对运动体。试想一下，如果一个运动体永不回来，那要做多少这样的运动体？所以能人为产生的运动大多与圆／转有关，人为的电磁感应不正是这个道理么？这样不就有了频率的概念了么。

对sin和cos函数的感兴趣，使得人们对它们的组合也感兴趣，这就产生了Fourier级数，它是最传统和最重要的数学之一，即调和分析。人们可以这样认为，研究多项式的根Galois产生了近代数学／代数群环域的概念。研究三角级数的收敛性产生了测度论，勒贝格积分等现代分析，同时也产生了点集论，点集拓扑，公理化集合论及数理逻辑。当然调和分析与最古老的数论关系也很密切，数数与数圆圈其实是一个道理。我以前曾说过数学归根结底就是数数，数准了是代数，数不准是分析，数不清是几何拓扑，怎么数是逻辑。

大家都知道1900年德国大数学家希尔伯特提出的23个未解决的数学难题，它们的发展影响了后面整个世界数学的发展。它们中的第一问题就是连续统假设，就理解它而言，初等的点集论即可。它是这样说的，在全体有理数集合与全体实数集合之间不存在另一个集合使得它与有理数集合和实数集合都没有一一对应的关系。这个问题咋一看是一个初等点集问题，但是它却涉及到了数学的根本，或者说认理的根本：对一个无穷个体来说，啥叫一一对应？一个一个能取尽么？怎么取？

在上世纪60年代，Paul Cohen发明了力迫法，对连续统假设得出了结果。Cohen说连续统假不假设都与ZF集合论选择性公理体系不矛盾。不难证明有理数集合的所有子集组成的集合与实数集一一对应。如果定义集合元素个数叫势，现在只知道如果一个无穷集合的势是A，那么它的所有子集的集合的势一定比A大，记为A₁，如有理数集的势是A，实数集的势就是A₁。这样，连续统假设就是在A与A₁之间不存在另一个势。Cohen说任何这样的A与A₁之间有没有新的势是独立于ZF集合论公理体系的，即有与没有都不矛盾。其实我认为，这个结论就是说无穷大根本就说不清。

有意思的是Cohen最早是研究调和分析的，他的博士导师正是写圣经式书《三角级数》的Zygmund。因为我在大学期间就对点集论特别感兴趣，我差不多在40年前的83年一到南开大学就选修了《数理逻辑》，了解了她的四大论，即证明论，模型论，递归论，和公理化集合论。在其间学习了有限机（finite state machine），计算机语言的最高语言（当时这么说）, Ada语言，当然还学了Cohen的力迫法及连续统假设的结果。

后来在南开大学又死啃Zygmund的《三角级数》。此书太庞大，我老是读到后面就忘记了前面的内容，来回反复，也不知道来来回回读了多少遍，最后还只是读了此书的一小部分。此书里包罗万象了太多的三角级数收敛性的结果。

我个人认为，至少对人类，有两种东西说不清楚道不明白。一个是大大到上面说的无穷大，可以看出，它与逻辑及数学的根基有关。这也正是人工智能可以随心所欲之地。另一个是小小到测不准原理，如量子，这又是量子论可以随心所欲之地。关于这两种东西，过去说不清，现在说不清，将来也说不清。或者说，这两种东西正分别是人工智能和量子论无法逾越的鸿沟！