关于“哥德尔的不完全性定理”的讨论 - 2022/4/20 - 22 （https://www.pauljorion.com/blog/2022/04/12/unilog-2022-godels-incompleteness-theorem-revisited-par-yu-li/）

BasicRabbit：

@柳渝，你说：“与说谎者悖论相似的悖论命题Q是PM中的不可判定命题吗？”

命题Q（封闭式公式）在（1）中被称为G。这个公式，顺便说一下，它不是自相矛盾的，是全称的，更确切地说，在Péano可证明，等同于一个全称公式（2）。在这种形式下，哥德尔定理的陈述是：1°）G是一个算术公式；2°）G被证明—在Peano—等同于一个封闭的全称公式（就像在毕达哥拉斯定理中！）；3°）G在Péano算术中不可证；4°）G在算术的标准N模型中是真的（因此G的地位与Goodstein定理的陈述相同，甚至可能与费马-怀尔斯定理的陈述相同：在标准N模型中是真的，但在Péano无法证明）。

@柳渝，你说： “我的批评首先是关于他的哥德尔证明，这可以从非正式方面（证明的思想）和形式方面（证明思想的形式化）来考察。当然，这两个方面是有内在联系的，但为了方便我们的讨论，让我们暂时把重点放在其证明的想法上。”

我认为，恰恰相反，我们应该关注形式上的证明，因为该定理是形式逻辑的一个定理，在我看来，仅此而已。当然，在试图验证（或无效）证明时，人们必须关注哥德尔的基本启发式思想（3），它是说谎者悖论和康托尔对角线论证（著名的 "G是一个公式，它说自己在 Péano无法证明"）的混合物，因为在我看来--不仅仅是在我看来，我认为--看到一个悖论变成一个定理有神奇的一面。(就我个人而言，在我看来，文章(1)所提供的论据足以让我在我的水平上验证证明。但是，我再说一遍，我的水平一直离顶级非常远）。

1: https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8mes_d%27incompl%C3%A9tude_de_G%C3%B6del#Diagonalisation

2. (1)的备注： “我们注意到，有关的公式G等同于一个通用公式∀x H(x)，其中H是Σ0。这个公式为真，对于每一个整数n（用s...s 0表示）H(n)为真，因此可证明是Σ0。因此，正如 "真理和可证明性 "这一段所宣布的，我们有一个普遍的陈述∀x H(x)，它在T[Péano]中不可证明，而对于每个整数n，H(n)在T中可证明。”

3. “启发式方法或启发式方法（来自古希腊的εὑρίσκω，heuriskô， »我发现"，是通过从不完整的知识中解决问题来 "发明、发现的艺术" ( https://fr.wikipedia.org/wiki/Heuristique )。在我看来，这个词完全适合哥德尔的不完全性定理（"通过不完全知识解决问题"）!

柳渝：

谢谢大家的交流! 帮助我澄清自己的想法，并看到其不足。

@BasicRabbit, 你如何理解“G在算术的标准模型N中是真的”这句话中“真”的含义？

我和你一样对说谎者悖论“神奇”地变成定理感到好奇。

我对哥德尔原文第一章的分析表明，一个悖论之所以神奇地变成了一个定理，是因为哥德尔在他的证明中引入了“不当的预设”。

但我的说理目前还不充分，等我读完哥德尔原文的第二章，再继续我们的讨论。