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一、随机游走
设一个质点在水平直线上每隔时间∆t随机移动一步(图1),每次移动前用抛硬币结果来决定质点移动的方向。若抛硬币结果为正面向上,质点向右移动一步;若抛硬币结果为反面向上,质点向左移动一步,则称质点运动为随机游走。
图1 随机游走示意图
定义:设ξ1,ξ2,……,ξn独立同分布(i.i.d.),P(ξi =1)= P(ξi =-1)=1/2,S0=0,则称
Sn=ξ1+ξ2+……+ξn
为从原点出发的简单对称随机游走,Sn的物理意义为一个质点移动n步后的位移。
由中心极限定理,n趋于无穷大时,Sn服从(0,n)正态分布。
二、高尔顿板
高尔顿板(Galton Board)是英国生物统计学家高尔顿在1873 年设计用来演示随机游走服从正态分布的实验装置(图2)。
图2高尔顿板
高尔顿板上的每一个圆点表示钉在板上的一颗钉子,它们彼此的距离均相等,上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间。
从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小圆玻璃球,当小圆球向下降落过程中,碰到钉子后随机地向左或向右滚下,于是又碰到下一层钉子。如此继续下去,直到滚到底板的一个格子内为止。
从入口处不断放下小球,只要小球的数量足够多,它们在底板将堆积成与正态分布曲线相似的钟形曲线。
三、高尔顿板实验
假设用N个小球分别在N个高尔顿板上同时进行实验(图3),最终N个小球分别落入高尔顿板底部的一个格子内,该格子距高尔顿板中线的距离,就是落入该格子小球的随机游走位移Sn。
图3 高尔顿板实验
实验结果表明,每个小球在第n步的位移Sn是一个常数,对这N个小球在第n步时的N个位移值(样本函数值)进行统计分析,这N个样本函数值服从(0,n)正态分布。
随机游走定义将一个质点的位移Sn假设为随机变量,无形中将研究对象从一个质点改变为质点集合,因此得出的正态分布结论是描述质点集合集体行为的统计规律,并不是一个质点的个体行为。
用随机变量描述一个质点的位移,必然会导致研究对象错位,出现理论与经验事实不符和自相矛盾的逻辑悖论等反常问题。
四、随机游走逻辑悖论
由随机游走定义,直接可得Sn的数学期望和方差
E(Sn)=0
D(Sn)=n
表明n≥1时,D(Sn)≠0。
《随机过程》教科书证明随机游走具有常返性,即步数n充分大时,从原点出发的质点返回原点无穷多次的概率等于1,有
P[Sn=0,i.o.]=1
因此有
P[D(Sn)=0,i.o.]=1
即在n充分大时,D(Sn)=0发生无穷多次的概率也等于1,与n≥1时,D(Sn)≠0的结论自相矛盾,在逻辑上不能自洽。
参考:
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GMT+8, 2024-11-1 07:00
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