一、随机游走

设一个质点在水平直线上每隔时间∆t随机移动一步（图1），每次移动前用抛硬币结果来决定质点移动的方向。若抛硬币结果为正面向上，质点向右移动一步；若抛硬币结果为反面向上，质点向左移动一步，则称质点运动为随机游走。

图1 随机游走示意图

    定义：设ξ₁，ξ₂，……，ξ_n独立同分布（i.i.d.），P（ξ_i =1）= P（ξ_i =-1）=1/2，S₀=0，则称

S_n=ξ₁+ξ₂+……+ξ_n                

为从原点出发的简单对称随机游走，S_n的物理意义为一个质点移动n步后的位移。

    由中心极限定理，n趋于无穷大时，S_n服从（0，n）正态分布。

二、高尔顿板

高尔顿板（Galton Board）是英国生物统计学家高尔顿在1873 年设计用来演示随机游走服从正态分布的实验装置（图2）。

图2高尔顿板

高尔顿板上的每一个圆点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间。

从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小圆玻璃球，当小圆球向下降落过程中，碰到钉子后随机地向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子。如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止。

从入口处不断放下小球，只要小球的数量足够多，它们在底板将堆积成与正态分布曲线相似的钟形曲线。

三、高尔顿板实验

假设用N个小球分别在N个高尔顿板上同时进行实验（图3），最终N个小球分别落入高尔顿板底部的一个格子内，该格子距高尔顿板中线的距离，就是落入该格子小球的随机游走位移Sn。

图3 高尔顿板实验

（点击上图，可观察高尔顿板实验过程）

  实验结果表明，每个小球在第n步的位移S_n是一个常数，对这N个小球在第n步时的N个位移值（样本函数值）进行统计分析，这N个样本函数值服从（0，n）正态分布。

随机游走定义将一个质点的位移Sn假设为随机变量，无形中将研究对象从一个质点改变为质点集合，因此得出的正态分布结论是描述质点集合集体行为的统计规律，并不是一个质点的个体行为。

用随机变量描述一个质点的位移，必然会导致研究对象错位，出现理论与经验事实不符和自相矛盾的逻辑悖论等反常问题。

四、随机游走逻辑悖论

由随机游走定义，直接可得S_n的数学期望和方差

E(S_n)=0                        

D(S_n)=n                      

表明n≥1时，D(S_n)≠0。

  《随机过程》教科书证明随机游走具有常返性，即步数n充分大时，从原点出发的质点返回原点无穷多次的概率等于1，有

    P[S_n=0，i.o.]=1                         

因此有

P[D(S_n)=0，i.o.]=1                     

即在n充分大时，D(S_n)=0发生无穷多次的概率也等于1，与n≥1时，D(S_n)≠0的结论自相矛盾，在逻辑上不能自洽。 

参考：

一张图看懂随机变化的变量与随机变量的区别

随机游走定义的概念错误及纠正（后印本）