一、随机过程定义

随机过程X(t)是定义在Ω×T上的二元函数X(ω,t)。

下面给出随机过程X(ω,t)在四种不同情况下的含义：

（1）固定ω，X(ω,t)是时间t的函数，称为样本函数或样本轨道，记为x(t)。一个样本函数x(t)对应着随机试验中的一次“测量结果”，即人们实际观察到的随机现象随时间演变过程，因此x(t)也被称为随机过程的一个“实现”

（2）固定t，X(ω,t)是样本点ω的函数，称为随机变量，记为X(t)。

（3）固定ω，固定t，X(ω,t)是一个实数，表示某个质点在t时刻的位移观测值。

（4）当ω和t均变化时，X(ω,t)就形成一族样本函数（图1），所有这些样本函数的总体就构成了随机过程。

图4 随机过程定义示意图

在工程技术和数学研究领域，随机过程还有下面两种等价的定义。

定义1：随机过程X(t)是一族依赖于样本空间Ω的样本函数集合。

定义2：随机过程X(t)是一族依赖于时间参数集T的随机变量集合。

在工程技术领域，对实际随机现象的观测结果就是一族时间函数，因此使用定义1研究和解决实际问题非常直观方便。

定义2把随机过程看成是多维随机变量，因此在数学研究领域通常使用定义2，可以直接把概率论中的多维随机变量理论做为随机过程理论的基础。

  从图1可以看出，样本函数x(t) 和随机变量X(t)具有完全不同的物理意义。样本函数x(t)从时间维度上描述了单个质点位移随时间的演变过程，随机变量X(t)从空间维度上刻画了质点集合在t时刻的空间位置分布状态。表1给出了样本函数与随机变量的区别。

表1 样本函数与随机变量的区别

二、《随机过程》研究方法错误

《随机过程》研究方法是指“用数学语言表述动态随机现象的状态、关系和过程，并加以推导、演算和分析，以形成对实际问题的解释、判断和预言”的数学方法。

根据随机过程对样本函数和随机变量的定义（表1），一个随机运动（随机游走或布朗运动）的质点位移与时间之间的数量关系，只能被抽象为随机过程X(ω,t) 固定ω时的一个样本函数x(t)，但是，《随机过程》学科却混淆了样本函数x(t)与随机变量X(t)的内涵与外延，错误地将随机运动的质点位移与时间之间的数量关系抽象为随机变量X(t)，导致研究对象从一个质点改变质点集合，因而只能用刻画大量质点集体行为的统计特性来描述一个质点的个体行为，建立的理论必然与经验事实不符，在逻辑上不能自洽。

三、《随机过程》布朗运动逻辑悖论

设x(t)为一个布朗粒子在t时刻的位移（图2），显然x(t)为固定ω时的随机过程X(ω,t)，x(t)是时间t的函数（样本函数）。

图2 布朗粒子位移曲线

设T_a为布朗粒子首次到达图2中a位置的首中时，则首中位置x(T_a)= a为常数，即随机过程X(ω,t) 固定ω、固定t时的情况。

维纳假设x(t)为随机变量，并定义x(t) ～N(0，σ² t)，因此可得x(T_a) 的数学期望和方差为

E[x(T_a)]=0

D[x(T_a)]= σ²T_a

根据首中位置x(T_a)= a，也可直接计算出x(T_a)的数学期望和方差

E[x(T_a)]= a

D[x(T_a)]=0

显然，与维纳过程定义x(t) ～N(0，σ² t)的结论自相矛盾，在逻辑上不能自洽。

《随机过程》布朗运动理论中存在逻辑悖论，表明该理论的逻辑完备性遭到破坏，该理论被证伪。