带有充液空腔的刚体定点运动作为动力学的一个分支，其主要工程背景是带有液体推进剂的航天器，或其它带液体的载体如油罐车。含大面积海洋的地球也是一个巨大的充液刚体。液体的存在使简单的刚体模型变为由刚体和液体组成的复杂系统。1877 年凯尔文 (Lord Kelvin) 从实验中观察到充满液体的球形容器旋转时处于临界稳定状态。长短半径之比稍大于1或稍小于 1，可导致稳定或不稳定两种截然不同的状态。为解释此物理现象曾引起热烈讨论，格林希尔 (Greenhill,A.G.) 和庞加莱 (Poincaré,H) 等数学家也参与其中。1885 年被誉为俄罗斯航空之父的茹可夫斯基 (Rhukovsky,N.E.) 对全充理想无旋液体的刚体运动建立了等效刚体概念，奠定了这一分支学科的理论基础。上世纪 60 年代，以莫伊谢耶夫 (Moiceyev,N.N.) 为代表的线性理论研究，和以鲁缅采夫 (Rumyantsev,V.V.) 为代表的稳定性理论研究推动了充液系统动力学的发展。旋转中的液体为有旋液体，1974 年普费弗 (Pfeiffer,F.) 提出平均涡量概念，成为对刚体内充有旋流体情形的实用离散化方法。近年来随着计算技术的迅速发展，充液系统动力学在利用数值方法处理液面大幅晃动问题取得重大进展。

刚体运动规律的研究属于离散系统的经典力学，而流体的运动规律属于连续介质力学，各有不同的研究方法。要研究刚体与液体组成的复杂系统，首先要用统一的概念建立系统的动力学方程。液体作为不可压缩的流体，是流场内每个确定位置的流体质点所组成的质点系。所谓流场是指流体所占据的空间，空间内的每个点与确定的速度相对应。由于流体的流动，不同瞬时占据同一点的可能不是同一个流体质点。但对每个确定的瞬时，此质点系与通常理解的质点系并无区别。将刚体与液体组成的系统视为一种特殊的质点系，应能用统一的分析力学方法建模。

设刚体带有充粘性流体的腔体，V′ 和 V 分别为刚体和流体占据的空间，Σ 和 Σ′ 分别为湿润和非湿润腔壁表面，S 为自由液面（图1）。建立固定于刚体的参考坐标系 (O-x₁x₂x₃)，以 e_j (j = 1,2,3) 为基矢量。流场 V 内任意点 P 的位置由坐标 x_j (j = 1,2,3) 确定，各点相对刚体的流速 u 为坐标 x_j (j = 1,2,3)和时间 t 的连续函数。在 P 点处作微元六面体，其棱边平行于 (O-x₁x₂x₃) 各坐标轴。质点的流动必须保证六面体内的流体质量守恒。根据流体的不可压缩条件，导出

                                                                                                                         (1)

其中 u_j (j = 1,2,3)为 u 在 (O-x₁x₂x₃)  中的投影。按照经典力学观点，此条件应视为限制流体质点运动的非完整约束条件。

图1   带充液腔的刚体

设刚体内 O 点的速度为 v₀，瞬时角速度为 ω，P  相对 O 点的矢径为 r，则 P 点处质点的绝对速度 v 为

                                                                                                          (2)

将刚液系统内的每个质点以下标 ν 标识。根据分析力学的虚功率原理，或称 Jourdain 原理，列写动力学普遍方程。由于组成流体的质点有无限多个，因此适用于离散系统的有限个 Lagrange 乘子必须转化为空间和时间的连续函数。且由于 Lagrange 乘子的物理意义是因约束产生的反作用力。因此选择流体的压强 p = p (x₁, x₁, x₁, t) 作为适用于连续介质的 Lagrange 乘子，将约束条件 (1) 引入流体的动力学方程，列出

                                                               (3)

其中 m_ν , F_ν 为质点 P_ν  的质量和作用的主动力。将式 (2) 对 t 求导后代入式 (3) 的第 1 项，展开为

                                                  (4)

上式右边第 1 和第 2 项可用系统的动量 Q 和对 O 点的动量矩 L 表示，写作

                                      （5）

设流场内的单位质量体积力为 f，腔内气体压力为 p₀。考虑液体的粘性，还必须计入与速度梯度有关的粘性力。在连续介质内，位移对坐标的变化率导致介质的应变。引入应变符号 ε_ij, i = j 时为沿 x_i 方向的正应变，i ≠ j 时为沿 x_i 和 x_j 方向的剪应变。介质因粘性产生的应力 τ_ij 与应变 ε_ij 成正比，比例系数 μ 为液体的粘性系数。则有

                                                                  (6)

基于 P_ν 点处微元体的力平衡，作为内力的粘性力对坐标的变化率与微元体内的单位体积力 X_i  (i = 1,2,3) 等效，表示为

                                                                                              (7)

其中 Δ 为 Laplace 算子。将式 (2) 代入式 (3) 括弧内的第 2 项，将外力的主矢记作 F，外力对 O 点的主矩记作 M。且计入体积力 f、粘性摩擦力 X 和腔内气体压力 p₀，得到

                                                                            (8)

式 (3) 的最后一项可利用 Gauss 定理化简为

                                                                (9)

其中 ▽ 为 Hamilton 算子。将式 (6),(10),(11) 代入式 (4)。在湿润腔壁 Σ 处，因流体不可能向刚体内部渗透，也不可能脱离腔壁，δu = 0。则面积积分的积分域仅限于 S。整理后得到

                            (10)

其中 ν = μ/ρ 称为运动粘性系数。流场中的质点速度 v 为时间和空间的函数，其对时间 t 的导数为

                                                                                                           (11)           

将上式代入式 (10)。由于 δv₀, δω, δu 均为独立变分，从式 (10) 导出

                                 (12)

在流场 V 中，各质点的速度还必须满足连续性方程 (1)。在自由液面 S 处必须满足边界条件：

                                                                                                                               (13)

于是在统一的分析力学基础上导出了刚体-液体系统的动力学方程。前两个方程为刚液系统的动量和动量矩定理，即 Newton 方程和 Euler 方程。第 3 个方程为腔内粘性流体的 Navier-Stokes 方程。若略去流体的粘性力项，令 ν = 0，则简化为 Euler 流体动力学方程。将矢量方程组 (12) 投影到 (O-x₁x₂x₃) 坐标系，加上连续性方程 (1)，刚液系统的动力学方程由 6 个常微分方程和 4 个偏微分方程组成。

     （注：由于文中拉丁字符 v  和 希腊字符 ν 的形状相似，请注意区分）

  （改写自：Liu Yanzhu. On the generation of dynamical equations of a rigid body containing fluid. 

          Z. of Angew. Math. u. Mech., 1990, 70 (3) : 199-200

   王照林，刘延柱. 充液系统动力学. 第1章. 北京：科学出版社，2002)