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充液系统动力学(二):茹可夫斯基等效刚体 精选

已有 3234 次阅读 2021-11-13 19:31 |系统分类:科普集锦

前文 “充液系统动力学 (一)” 中,已基于分析力学原理建立了刚体-液体耦合系统的动力学方程。本文从最简单的情况开始,叙述腔体内全充满无旋理想流体情形的离散化方法,即所谓茹可夫斯基的等效刚体理论(图 1)。



茹可夫斯基 (Rhukovsky,N.E., 1847-1921)


1.       无旋的理想流体

设刚体以角速度 ω 绕固定点 O 转动 (图 2),空腔 V 内充满理想无旋流体。以 O 为原点,建立刚体的连体坐标系 (O-x1x2x3),以 ej  (= 1, 2, 3) 为基矢量。流场 V 内任意点 P 的位置由坐标 xj  (= 1,2,3)确定。P 点处的质点相对刚体的流速 u 为坐标 xj (= 1, 2, 3)和时间 的连续函数。设刚体的瞬时角速度为 ω点相对 O 点的矢径为 r则 点处质点的绝对速度 v 

                                                                                                                                     (1)


img037.jpg 

图2  带全充液腔的刚体


对于不可压缩的流体,前文中已列出流速 u 的连续性条件。对式(1)验算可以证实,此约束条件也同样适用于 v

                                     等效2.png                                                           (2)

定义以下矢量为流场的旋度,记作 rot v

                   等效3.png                   (3)

将式 (1) 代入后,可证实 rot v = rot u。旋度为零的流体称为无旋流体,满足以下条件:

                             等效4.png                         (4)

如存在函数 ϕ,满足  

                                   等效5.png                                         (5)

则条件 (4) 自行满足。ϕ 称为无旋流体的速度势函数。将式 (5) 代入连续性条件 (2),证明势函数 ϕ 满足拉普拉斯方程,是一个调和函数 :

                                        等效6.png                                     (6)

利用哈密顿算子符号 

                                                                                                    (7)

可将流场的旋度 rot 表示为

                                                                                                 (8)

根据斯托克斯 (Stokes,G.G.) 定理,流场中沿任意封闭回路 L 的速度环量 Γ 可用旋度的面积积分表示为

                                                               (9)

其中 S 为封闭路径 L 包围的曲面,n 为曲面的法向基矢量,Ω 定义为

                                                                                                                                       (10)

Ω 称为流体团的涡量,方向与旋度相同,模为旋度的一半。不存在黏性摩擦力的流体称为理想流体。若同时满足无旋条件 (4) 或 (5),则为无旋的理想流体。


2.       儒科夫斯基势函数

   对上述腔内全充无旋理想流体情形,在液体与腔壁的界面 Σ 处,由于液体不可能向刚体内部渗透,也不可能脱离腔壁,其法向流速为零。设 n 为腔壁 Σ 的法向基矢量,此条件表示为

                                          (11)

代入式 (1),导出 的边界条件:

                                                                                            (12)

由于无旋流体存在势函数 ϕ,此条件化作

                                                                                                                       (13)

定义矢量函数 ψ,使满足

                                                                                                                                                                (14)

代入方程 (6),得到

                                                                                                                                                                    (15)

势函数 ϕ 在 Σ 界面处的条件 (13) 转化为函数 ψ 的边界条件:

                                                                                                                               (16)

ψ  称为茹可夫斯基 (Rhukovsky,N.E.) 势函数。或斯托克斯-茹可夫斯基势函数,ψ  沿 (O-x1x2x3各坐标轴的投影 ψj (= 1, 2, 3) 均为由诺伊曼 (Neumann,C.G.)边值问题确定的调和函数。条件 (16) 与刚体的角速度 ω 无关,势函数 ψ 由腔体的几何形状确定,与刚体的运动解耦

                                                                  

3.      等效刚体

  将刚体和腔内液体对 O 点的动量矩分别记作 L(1)   L(2)。利用式 (5)  L(2) 中的流体速度 v 用势函数 ϕ 表示,计算腔内流体的动量矩,得到

                           (17)

其中 ρ 为流体的密度。L(2) 沿 x轴的投影 L1(2) 

                   (18)

设 n(= 1, 2, 3)为腔壁法向基矢量 n (O-x1x2x3各轴的方向余弦,利用高斯 (Gauss,C.F.) 定理将上式中在 V 域内的的体积分化作沿腔壁 Σ 的曲面积分:

                                                                                                            (19)

与此类似,L(2) 沿x2,x3 轴的投影 L2(2), L3(2) 

                                                                                                          (20)

根据以上导出的 Lj(2) (j=1,2,3)和式(14),( 16),将动量矩 L(2) 化作

                           (21)

其中括弧内的并矢与刚体的惯性张量类似,用 J* 表示为

                                                                                                                                        (22)

则液体的动量矩等于张量 J* 与角速度矢量 ω 的点积,与刚体的动量矩计算公式相同。可将 J* 称为液体的等效刚体惯性张量,由儒科夫斯基势函数 ψ 完全确定。J*(O-x1x2x3) 中的坐标 Jij* 即等效刚体的惯性矩和惯性积,用方括号作为沿 Σ 曲面积分式的简化符号,写作

                                                                      (23)

则张量 J* (O-x1x2x3 中的坐标矩阵

                                                                                      (24)

因此若腔内液体作无旋流动,涡量 Ω = 0,在此条件下可将液体的运动用等效刚体代替,与主刚体合并为同一个刚体。设主刚体对 点的惯性张量为 J(1),则充液刚体对 O 点的总动量矩为惯性张量 J* 角速度矢量 ω 的点积。J* 为主刚体的惯性张量 J(1) 与液体的等效刚体的之和:

                                                                                                                           (25)

充液刚体的动能 T  亦可利用普通刚体的动能公式表达为 

                                                                                                                                   (26)

从而使连续介质的运动离散化为刚体的运动。

如上所述,等效刚体惯性张量 J* 的构成归结为诺伊曼边值问题的计算。一般情况下,对于充液腔的任意几何形状,总能用数值方法(例如 Ritz 法)求出结果。对于几何形状规则的充液腔体,也能寻求解析形式解。下篇博文将以椭球腔为例做具体计算。除椭球腔以外,文献里还可找出轴对称形腔、柱形腔、带隔板的圆柱形腔等各种规则形状等效刚体的解析解。

儒科夫斯基等效刚体的离散化方法非常简洁和优美。但应用范围十分局限,仅限于粘性极小且无转动的流体。边界层理论的出现使其应用范围得到扩大。边界层理论将流体的粘性影响局限于与腔壁接触的薄边界层以内。边界层以外的流体空间仍可近似视为理想流体,以等效刚体代替。有关的分析亦在另文中叙述。


     (改写自:王照林,刘延柱. 充液系统动力学. 第2章. 北京:科学出版社,2002

       刘延柱.  陀螺力学(第二版),第10章. 北京:科学出版社,2009)














           




                                     







                                              







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