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图灵的论著和工作为计算机理论的诞生奠定了基础,为了理解这一壮举的背景,需要回顾20世纪初那场著名的数学基础危机。
一,数学基础危机【1】
对于数学基础的关注和研究,可追溯至古代,但在较长的历史阶段中,基本上只限于对单科数学基础的讨论,至于作为整个数学基础的探索,乃是20世纪初的事,缘起于非欧几何的诞生。
欧几里得(前325年-前265年)的《几何原本》一直被认为是最早用严格的逻辑结构建立学科体系的典范,但其不足之处也一直为历代学者所关心,其中一个具有争议的议题是第五公设,长达两千年之久所有企图推导出此公设的努力都失败,却促成了非欧几何的建立,引起了数学基础的重大危机,其核心问题涉及到:在什么终极基础上命题可以称为“真”?
在人们寻找解决方案时,不得不将“真实性”和“可证性”脱钩:欧几里得几何公理系统的所有定理是“可证的”,而且符合我们对空间的传统直觉,但仍然不是“真实的”,换句话说,欧几里得几何学的合法性突然变得有问题。当然,证明仍然是检验新定理有效性的标准,但人们不能再仅依赖公理系统的论证了。
康托尔(1845-1916)正是为了给这些令人不安的发展提供一个明确的解决方案,发展了著名的集合论。由于他的开创性工作,使整个数学大厦有了新的基础,天空似乎又开始晴朗了。不幸的是,在康托里理论本身中很快就发现了悖论。
于是,出现了三个相互竞争的数学流派,旨在应对这场危机。
二,逻辑主义,形式主义与直觉主义【2】
1,逻辑主义
逻辑主义试图将数学归结为逻辑,使其受益于逻辑的严谨性,认为数的性质是推导出来的。这是英国哲学家和数学家罗素(1872-1970)与他以前的老师怀特海(1861-1947)合作进行的雄心勃勃的计划,整理在三卷本的《数学原理》(Principia Mathematica)中。
2,形式主义
形式主义认为数学是一种智力游戏,在所开发的一系列操作中,数学家不必担心他所操作的符号的性质,对他来说唯一重要的是公理系统的一致性,完备性和可判定性。这一立场是由德国数学家希尔伯特(1862-1943)提出的,表达在著名的“希尔伯特计划”和“希尔伯特的23个问题”中。
3,直觉主义
直觉主义倡导将数学建立在算术的基础上,认为算术是人类思维的自由创造和对时间的原始直觉的产物,拒绝某些经典的推理类型,因为它们在应用于无限集时导致矛盾。直觉主义的代表人物荷兰数学家布劳威尔(Brouwer, 1881-1966),为各种构造主义铺平了道路。
三,图灵的贡献
这时年轻的图灵(1912-1954)出场了,投身于这场备受争议的数学基础问题中。图灵受过严格的数学训练并精通逻辑,对于逻辑主义,按照他的说法,数是一个原始的数据,不能被还原为集合的特征。在这一点上,他同意直觉主义,只是他不能接受这个学派对数学世界的截断。在1935年的春天,22岁的他报名参加了形式主义的信徒麦克斯-纽曼(Maxwell Newman,1897-1984)在剑桥大学开设的课程:
- 麦克斯-纽曼名声在外的是他在组合拓扑方面的工作,不过他也可能是剑桥大学在数理逻辑方面最有见识的人。纽曼整个课程的高潮是对哥德尔不完备性定理的证明。【3】
- 此外,纽曼的课程也涵盖了尚未解决的“判定问题”(Entscheidungsproblem):是否有一种确定的方法,或者纽曼所说的“机械过程”,它可以应用于一个数学命题,并得出该命题能否被证明的结论?当然,对于“机械过程”,纽曼指的不是一台机器。机器也许能够进行简单的算术,但几乎不能解决实际意义的数学问题。纽曼暗指的是后人称为“算法”的一类过程 - 用于解决某个问题的一组明确(但无意识,非智能的)指令集。图灵开始研究判定问题,很可能是在1935年初夏。那时,他已经获得了剑桥大学奖学金,每年300英镑。图灵后来说,想到判定问题的解决思路时,他正躺在格兰切斯特草坪上,这是剑桥学生很喜欢的一个休闲场所,距国王学院大约两英里。【3】
到1936年4月,图灵把论文“论可计算数及其在判定性问题上的应用”的草稿交给了纽曼,开启了理论计算机的先河,。。。
参考文献:
【1】https://baike.baidu.com/item/数学基础
【2】Jean-Claude Simard,Puis Turing vint… https://www.acfas.ca/publications/magazine/2015/02/puis-turing-vint
【3】Charles Petzold, “图灵的秘密” - 他的生平,思想及论文解读。
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