作为数学、统计学等理科专业的重要基础课，数学分析（Mathematical Analysis）代表着高等数学对初等数学最本质的超越。我从1997年开始在密西根州立大学统计与概率系的研究生委员会（Graduate Support Committee）参与研究生的招生和指导工作，该委员会多年坚持一定要录取真正掌握了ε,δ arguments的学生。所谓的ε,δ arguments是以函数极限精确定义为代表的数学分析一整套的技巧、方法、思维方式，这些也可以用序列极限的ε,N精确定义代表。
读统计学博士需要哪些数学基础呢？首先，线性代数（Linear Algebra）和微积分（Calculus）是无争议的：协方差矩阵估计、EM算法等。要深入学习数理统计，数学分析就是不可缺少的。举个例子，怎样定义一个序列Xn是无穷小？
数学分析：任意ε>0,存在正整数N,使|Xn|<ε对每个n>N成立;
概率统计：任意ε,δ>0,存在正整数N,使P(|Xn|<ε)>1-δ对每个n>N成立。
掌握了数学分析中实数无穷小的基本概念，就能理解数理统计中随机变量（依分布）无穷小的更复杂概念。理解了随机变量无穷小，就能正确运用数理统计中的各类大样本工具。
复变函数、偏微方程、实变函数、泛函分析等分析类课程，都是统计学理论十分基础的工具。我和我的学生们在函数型数据和非参数统计的研究中，用到样条函数的性质（包括B样条，张量积样条、二元和三元样条）、高斯强逼近理论、高斯随机过程的极值理论、巴拿赫空间随机变量理论、希尔伯特空间紧算子的谱理论，紧度量空间上连续函数的巴拿赫空间之对偶空间的性质等。
分析基础薄弱会影响数理统计的学习和研究吗？举几个例子：
1.无数学分析基础，就难以理解既不连续也不离散的概率分布；
2.无数学分析基础，就难以理解极限分布不连续时的“依分布收敛”；
3.无复变函数基础，就难以计算一些简单概率分布的特征函数；
4.无泛函分析基础，就难以理解时间序列无穷移动平均（MA(∞)）模型中的随机变量无穷级数是平方可积收敛（希尔伯特空间）的，不一定几乎处处收敛（巴拿赫空间）；
5.无常微方程基础，就难以深入研究SIR等传染病模型；
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