原文见DEV Community：Geometric Deep Learning: An In-Depth Exploration of Principles, Applications, and Future Directions

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 1. GDL概述

几何深度学习（Geometric Deep Learning，GDL）是人工智能（AI）领域中一个新兴的研究方向，它通过融入几何原理来扩展传统深度学习模型的能力。与通常处理图像和序列等网格状数据结构的传统深度学习不同，几何深度学习旨在处理更复杂且不规则的数据类型，例如图、流形和点云。这种方法能够更细致地建模现实世界中的数据，因为这些数据通常表现出丰富的几何和拓扑结构。

GDL的核心思想是将神经网络架构推广到非欧几里得数据上，利用对称性、不变性和几何先验信息。这在计算机视觉、自然语言处理（NLP）、药物发现和社会网络分析等多个领域取得了突破性进展。

在本文中，我们将全面探讨几何深度学习的基本原理、历史发展、关键方法和应用，并深入研究该领域的未来发展方向以及研究人员和从业者所面临的挑战。

2. 几何深度学习的基础2.1. 什么是几何深度学习？

几何深度学习是机器学习的一个子领域，它将传统的深度学习技术扩展到非欧几里得域。虽然经典的深度学习模型（如卷积神经网络（CNN）和循环神经网络（RNN））在处理类似网格的数据（例如图像、时间序列）时非常有效，但它们在处理缺乏规则结构的数据（如图、流形或点云）时却存在困难。几何深度学习通过将对称性和不变性等几何原理融入神经网络架构，来解决这一局限性。

简单来说，GDL允许机器学习模型理解和处理本质上具有几何性质的数据。例如，社交网络可以表示为一个图，其中节点代表个体，边代表关系。传统的深度学习模型难以捕捉此类数据的结构，但GDL模型（如图神经网络，GNNs）能够有效地处理这些信息。

2.2. 背景和动机

几何深度学习的起源可以追溯到计算机视觉、图论和微分几何领域中几个关键的发展。早期卷积神经网络（CNN）的研究为理解神经网络如何利用空间对称性（例如平移不变性）以提高图像识别任务性能奠定了基础。然而，很快人们就意识到，许多现实世界的问题所涉及的数据无法整齐地组织成网格形式。

这促使人们探索能够处理更复杂数据结构的新架构。2000年代初期图神经网络（GNNs）的引入是一个重要的里程碑，它使得深度学习模型能够应用于图结构数据。随着时间推移，研究人员开始将这些思想推广到其他几何领域，例如流形和测地线，从而催生了更广泛的几何深度学习领域。

2.3. 为什么几何深度学习很重要

几何深度学习不仅仅是一种理论上的进步，它在广泛的行业中都具有实际意义。通过使深度学习模型能够处理复杂的非欧几里得数据，GDL为药物发现（例如将分子结构表示为图）或自动驾驶（例如使用三维点云来建模环境）等领域开辟了新的可能性。

此外，GDL提供了一种更合理的方法，将领域知识融入机器学习模型中。通过将几何先验嵌入到架构中，GDL模型能够在使用较少数据的情况下实现更好的性能，从而提高效率并增强泛化能力。

3. 几何深度学习中的核心概念3.1. 对称性与不变性

几何深度学习的核心思想之一是“对称性”的概念。在数学中，对称性是指物体在某些变换下保持不变的性质。例如，一个正方形旋转90度后仍然是一个正方形。在深度学习的背景下，对称性可以被利用来提高神经网络的效率和准确性。

另一方面，不变性指的是函数或模型在输入经过某些变换后仍能产生相同输出的特性。例如，卷积神经网络（CNN）具有平移不变性，这意味着无论物体出现在图像中的哪个位置，它都能识别出来。

3.2. 神经网络中的等变性

虽然在许多情况下，不变性是一种理想的特性，但在几何深度学习中，等变性通常更为有用。如果对输入应用某种变换后，输出也会发生相应的变化，则称该函数为等变的。例如，卷积神经网络（CNN）中的卷积层是平移等变的：如果输入图像发生平移，卷积产生的特征图也会发生相同量的平移。

当处理具有复杂几何结构的数据（如图或流形）时，等变性尤为重要。通过设计对特定变换（例如旋转、反射）等变的神经网络，我们可以确保模型尊重数据的底层对称性，从而提高泛化能力和性能。

3.3. 几何结构的类型：网格、群、图、测地线和规范( Grids, Groups, Graphs, Geodesics, and Gauges)

几何深度学习作用于各种数据结构，每种数据结构都有其独特的属性。在GDL中遇到的最常见的几何结构类型有：

1. 网格：规则的数据结构，例如图像，其中数据点以类似网格的方式排列。

2. 群：捕捉对称性的数学结构，例如旋转或平移。

3. 图：由节点和边组成的不规则数据结构，常用于表示社交网络、分子或交通系统。

4. 测地线：弯曲的空间，例如曲面或流形，其中距离沿弯曲路径测量。

5. 规范场：在微分几何中用于描述场和连接的数学工具，常应用于物理学和机器人学。

这些结构中的每一个都需要专门的神经网络架构来利用其独特的属性，从而推动了诸如图神经网络（GNN）和测地线神经网络等模型的发展。

4. 几何深度学习中的关键架构模型4.1. 网格上的卷积神经网络（CNNs）

卷积神经网络（CNN）可能是最著名的深度学习架构，最初设计用于图像处理任务。CNN通过应用平移不变的卷积滤波器来利用图像的网格状结构，这意味着它们能够检测到图像中任何位置的特征。

在几何深度学习的背景下，CNN可以扩展到处理更一般的网格状结构，例如三维体素网格（3D voxel grids）或时空网格。这些扩展使得CNN能够处理更复杂类型的数据，如三维医学扫描或视频序列。

4.2. 图神经网络（GNNs）

图神经网络（GNNs）是一类专门设计用于处理图结构数据的神经网络。与假设具有规则网格结构的卷积神经网络（CNNs）不同，GNNs可以处理不规则的数据，其中数据点之间的关系以图中的边表示。

GNNs已被应用于广泛的问题领域，从社交网络分析到药物发现。通过利用图中的连接信息，GNNs能够捕捉数据点之间的复杂依赖关系，从而实现更准确的预测。

4.3. 测地线神经网络

测地线神经网络（Geodesic Neural Networks）旨在处理位于弯曲表面或流形上的数据。在许多现实世界的应用中，例如机器人技术或分子建模，数据并非局限于平坦的欧几里得空间，而是存在于弯曲的表面上。测地线神经网络利用测地线（曲面上的最短路径）的概念，在流形上定义卷积操作。

这使得网络能够捕捉数据的内在几何结构，从而在诸如三维形状识别或表面分割等任务中表现出更好的性能。

4.4. 规范等变卷积网络

规范等变卷积网络（Gauge Equivariant Convolutional Networks）是几何深度学习领域中较新的发展，旨在处理具有规范对称性的数据。在物理学中，规范对称性是指某些物理量在特定变换下保持不变的性质，例如量子力学中的旋转对称性。

规范等变网络将等变的概念扩展到这些更一般的对称性上，使网络能够尊重数据背后的物理规律。这一方法在粒子物理学等领域有着重要的应用，因为这些领域的数据通常表现出复杂的规范对称性。

5. 几何深度学习的数学基础5.1. 图论和对称性

几何深度学习的核心是群论，这是数学的一个分支，研究对称性。群是由一组元素以及满足特定性质（如封闭性、结合律和存在单位元）的运算所组成的集合。群被用来描述各种情况下的对称性，从旋转和平移到更抽象的变换。

在几何深度学习中，群论提供了一个正式的框架，用于理解神经网络如何利用数据中的对称性。例如，卷积神经网络（CNN）被设计为对平移群等变，这意味着它们能够检测图像中的特征，而与这些特征的位置无关。

5.2. 图论与谱方法

图论是几何深度学习中的另一个关键数学工具，尤其适用于处理图结构数据的模型。图由节点和边组成，其中节点代表数据点，边则表示它们之间的关系。

图论中最重要的技术之一是谱方法，它涉及分析图的邻接矩阵的特征值和特征向量。谱方法使我们能够在图上定义卷积操作，从而发展出谱图神经网络。

5.3. 微分几何与流形

微分几何是研究光滑曲线和曲面（即流形）的学科。在许多现实世界的应用中，数据并非位于平坦的欧几里得空间中，而是位于弯曲的表面上。例如，地球表面就是一个嵌入三维空间中的二维流形。

在流形上运行的几何深度学习模型必须在定义卷积操作时考虑空间的曲率。这就需要使用微分几何，它提供了处理弯曲空间所需的数学工具。

5.4. 拓扑学与同调

拓扑学是研究空间在连续形变（如拉伸或弯曲）下保持不变的性质。在几何深度学习中，拓扑学被用于分析数据的整体结构，例如图或流形中的连通分量数量或孔洞数量。

拓扑学中最重要的工具之一是同调（homology），它提供了一种量化空间拓扑特征的方法。同调已被应用于几何深度学习，以提高模型对数据中噪声和扰动的鲁棒性。

6. 几何深度学习的应用6.1. 计算机视觉与三维物体识别

几何深度学习最令人兴奋的应用之一是在计算机视觉领域，特别是在涉及三维数据的任务中。传统的计算机视觉模型（如卷积神经网络）是为处理二维图像而设计的，但许多现实世界的问题涉及三维物体或场景。

几何深度学习模型，例如PointNet和测地线卷积神经网络（Geodesic CNNs），已被开发出来以处理三维点云数据，这种数据常用于自动驾驶和机器人技术等应用中。这些模型即使在数据存在噪声或不完整的情况下，也能识别三维空间中的物体和场景。

6.2. 药物发现与分子建模

在药物发现领域，几何深度学习在分子结构建模方面展现出巨大潜力。分子可以表示为图，其中节点代表原子，边代表化学键。通过使用图神经网络（GNNs），研究人员可以预测分子的特性，例如其毒性或作为药物的有效性。

这有可能彻底改变制药行业，加快药物发现过程，并减少对昂贵且耗时实验的需求。

6.3. 社交网络分析

社交网络是几何深度学习的另一个重要应用。社交网络可以用图来表示，其中节点代表个体，边代表个体之间的关系。通过使用几何深度学习模型（如图神经网络），研究人员可以分析社交网络的结构，并预测信息传播或社区形成等结果。

这在市场营销、政治和公共卫生等领域具有重要的应用价值，因为理解社交网络的动态对于这些领域至关重要。

6.4. 自然语言处理（NLP）

虽然几何深度学习最常与图结构数据相关联，但它在自然语言处理（NLP）中也有应用。在NLP中，句子可以表示为图，其中节点代表单词，边代表它们之间的关系，例如句法依赖关系。

几何深度学习模型，如图卷积网络（GCNs），已被用于提高多种NLP任务的性能，包括情感分析、机器翻译和问答等。

6.5. 机器人与自主系统

在机器人领域，几何深度学习已被用于提高自主系统的性能。机器人通常在可表示为三维点云或流形的环境中运行，而几何深度学习模型可用于处理这些数据并实时做出决策。

例如，几何深度学习已被用于提高同时定位与地图构建（SLAM）的精度。SLAM是机器人领域的一个关键问题，即机器人必须在构建环境地图的同时，持续追踪自身的位置。

7. 几何深度学习的挑战与局限性7.1. 可扩展性和计算复杂度

几何深度学习面临的主要挑战之一是可扩展性问题。许多几何深度学习模型，特别是那些在图上运行的模型，具有较高的计算复杂度，这使得它们难以扩展到大规模数据集。例如，图卷积层的时间复杂度与图中边的数量成正比，对于现实世界中的图来说，这一数量可能大得令人望而却步。

研究人员正在积极开发更高效的算法和架构来解决这些可扩展性问题，但这个问题仍然是一个尚未解决的挑战。

7.2. 数据表示与预处理

几何深度学习中的另一个挑战是数据表示的问题。与图像或时间序列等网格状数据不同，非欧几里得数据通常需要经过复杂的预处理步骤，才能转换为神经网络可以使用的形式。例如，图必须表示为邻接矩阵，而流形则必须离散化为网格或点云。

这种预处理可能会给数据引入误差或偏差，从而影响模型的性能。开发更好的几何数据表示和预处理方法是一个重要的研究领域。

7.3. 缺乏标准化工具和库

尽管在开发几何深度学习模型方面已经取得了显著进展，但目前仍然缺乏用于实现这些模型的标准化工具和库。许多研究人员开发了自己的定制实现，这可能会使结果难以复现或不同模型之间的比较变得困难。

目前已有努力在开发更标准化的库，例如PyTorch Geometric和DGL（Deep Graph Library），但这一领域仍有许多工作要做。

7.4. 可解释性和透明性

与许多深度学习模型一样，可解释性和透明性也是几何深度学习中的主要挑战。尽管这些模型在广泛的任务上能够取得令人印象深刻的性能，但人们往往难以理解它们是如何得出预测结果的。这在医疗保健或金融等领域尤为成问题，因为错误预测可能带来严重后果。

开发更具可解释性和透明性的几何深度学习模型是一个重要的研究领域，目前已经提出了一些技术来解决这一问题，例如注意力机制和显著性图（saliency maps）。

8. 几何深度学习的未来方向8.1. 用于几何计算的硬件进展

几何深度学习最令人兴奋的未来发展方向之一是开发专门用于几何计算的硬件。目前的硬件（如GPU和TPU）针对类似网格的数据（如图像或序列）进行了优化，但对于非欧几里得数据（如图或流形）则效率较低。

研究人员正在探索新的硬件架构，例如张量处理单元（TPU）和量子处理器，这些架构可能显著提高几何深度学习模型的效率。这些进步将使几何深度学习能够扩展到更大的数据集并应用于更复杂的任务。

8.2. 与量子计算的融合

另一个令人兴奋的未来方向是将几何深度学习与量子计算相结合。量子计算机有可能比经典计算机更高效地解决某些类型的问题，例如基于图的问题。通过结合量子计算的强大功能和几何深度学习的灵活性，研究人员可以在密码学、药物发现和优化等领域开辟新的可能性。

8.3. 现实世界的应用：医疗保健、气候科学及其他领域

随着几何深度学习的不断发展成熟，我们有望在众多行业中看到更多现实世界的应用。例如，在医疗保健领域，几何深度学习可用于模拟蛋白质结构或预测疾病的传播；在气候科学领域，则可用于模拟地球大气或预测气候变化的影响。

这些应用有可能对社会产生重大影响，但同时也伴随着一些挑战，例如确保这些技术的伦理使用，以及解决偏见和公平性问题。

8.4. 几何模型中的伦理考量与偏见

与所有机器学习模型一样，几何深度学习也存在重要的伦理问题需要解决。其中一个主要关注点是偏见问题。几何深度学习模型和所有机器学习模型一样，其性能好坏取决于训练数据的质量。如果训练数据存在偏见，那么模型的预测结果也会带有偏见。

研究人员正在积极开发技术来减轻几何深度学习模型中的偏见，例如公平感知学习（fairness-aware learning）和对抗性去偏见（adversarial debiasing）。然而，这仍然是一个重要的研究领域，尤其是在几何深度学习模型被应用于医疗保健和刑事司法等敏感领域时。

9. 结论

几何深度学习是机器学习领域的一项重要进展，它为建模复杂的非欧几里得数据提供了新的方法。通过融入对称性、不变性和等变性等几何原理，几何深度学习模型能够在广泛的任务上实现更好的性能，从三维物体识别到药物发现。

然而，目前仍有许多挑战需要解决，包括可扩展性、数据表示和可解释性等问题。随着研究人员不断开发更高效的算法和硬件，并且标准化工具和库的普及程度不断提高，我们有望在未来看到几何深度学习在更多令人兴奋的应用中得到应用。

几何深度学习的潜在影响非常广泛，其应用领域涵盖医疗健康、气候科学、机器人技术以及量子计算等多个领域。通过释放几何学的力量，几何深度学习有可能彻底改变我们处理复杂数据的方式，并解决当今时代一些最紧迫的挑战。