精选
无法穿过自身的形状首次被发现
300多年过后，源于一场皇家赌局的几何问题最终得以解决。
Erica Klarreich 撰文
左 芬 翻译
拥有六、八、十二及二十个面的柏拉图立体可以穿过自身。
想象你拿着两个同样大小的骰子。是否有可能在一个骰子上挖一个通道，让它大到足够让另一个骰子穿过去？
也许你本能地会说：“当然不行！”当然，并不是只有你会这样想。17世纪晚期，一个无名氏就此问题跟莱茵河的如珀特亲王【译注：这里译者有意对常规译法“鲁珀特”做了改动，以与后文对照。】打了一个赌。如珀特——英格兰查理一世的侄子，并在英国内战中指挥皇家军队——晚年时都在温莎城堡他的实验室里研究冶金术和玻璃制造术。
如珀特赢了赌局。数学家John Wallis在1693年讲述了这一故事，但并没有说如珀特是否给出了证明或是在一个真实的立方体上钻了一个洞。不过Wallis本人在数学上证明了，如果你沿着一个立方体的内对角线方向钻一个直的通道，它可以大到足以让另一个立方体穿过。这个通道有点紧迫：如果你把第二个立方体扩大4%，它就过不去了。
很自然地你会好奇其它哪些形状也拥有这一性质。“我觉得这个问题是非常典范的，”谷歌的一个软件工程师，在闲暇时间频繁探索这一问题的Tom Murphy说道，“它一定被反复多次地提出来过——外星人也会想到过它。”
把一个立方体竖着立到一个角上，另一个立方体就能穿过它了。
把所有形状都汇总起来，种类就太多了，没法处理。因此数学家倾向于聚焦在凸多面体上：跟立方体类似的形状，面是平坦的，没有突出或者凹陷。当这样一种形状在某些方向比其它方向宽很多时，通常容易找到一条笔直的通道让它的另一个副本穿过。可是许多著名的凸多面体——例如十二面体，截断二十面体也就是英式足球的形状——都是高度对称的，因而难以分析。在这些当中，“几百年来我们只了解了立方体，”奥地利联邦统计机构，奥地利统计局数学家Jakob Steininger称。
接着，在1968年，Christoph Scriba证明，正四面体和八面体也具有数学家们如今所称的这一“如珀特性质”。而在过去十年一场如火如荼的运动中，专业数学家和业余爱好者在许多广为研究的凸多面体里找到了如珀特通道，包括十二面体、二十面体和英式足球。
如珀特性质看起来太普遍了，因此数学家猜想了一条一般规律：任何凸多面体都具有如珀特性质。没人找到过反例——直到现在。
非珀特多面体。到目前为止，它是唯一被证明不具有如珀特性质的形状。
在八月份线上公布的一篇文章中，Steininger和奥地利一家物流体系公司A&R Tech的研究员Sergey Yurkevich设计了一种有90个顶点和152个面的形状，并命名为非珀特多面体（非珀特是Murphy把“如珀特”和“非”拼在一起造出来的新词）。Steininger和Yurkevich证明，无论你怎么在非珀特多面体上钻直通道，另一个非珀特多面体都无法穿过。
证明需要结合理论进展与大量的电脑计算，并且依赖于非珀特多面体顶点的一条精巧的性质，“它得以成功简直就是个奇迹，”Steininger称。
穿过阴影
要看出一个立方体如何穿过另一个，想象你在桌子上方拿着一个立方体，然后检查它的阴影（假定是从上往下打光的）。如果你按常规朝向拿着立方体，那么阴影会是一个正方形。但如果你把一个角径直超上，那么阴影会是一个正六边形。
1693年，Wallis表明正方形阴影可以置于六边形内部，并留下很窄的缝隙。这意味着，当你把一个立方体的角朝上时，就可以钻一个足够大的通道，让第二个立方体穿过。大约一个世纪后，Pieter Nieuwland证实，另一种朝向可以投射一个更大的阴影——其通道里能容纳的立方体可以比原立方体大6%。
后续对更复杂形状的每一次分析都依赖这样一种过程，也就是把形状转到不同的方向，然后寻找一个阴影嵌入到另一个里去。在计算机辅助下，数学家们在各种各样的形状中都找到了如珀特通道。有些通道出奇地狭促——例如，“三角化四面体”的通道余地仅为其半径长度的0.000002。“混合计算和离散几何界的繁荣让这种计算成为可能，”史密斯学院名誉教授Joseph O ’Rourke称。
写过寻找如珀特通道算法的研究者们注意到了一个稀奇的两极分化现象：对于任何给定的凸多面体，似乎算法要么几乎立即找到通道，要么根本找不到。在过去五年里，数学家们积累了一小批顽强的形状，没能在它们上找到通道。
“我让我的台式机翻滚了两个星期去尝试菱二十面体，”约翰霍普金斯大学应用数学家Benjamin Grimmer说道，他指的是由62个正三角形、正方形和正五边形构成的一种形状，“可它就是经受住了任何考验。”
菱二十面体是一个主流的非珀特候选者。
不过这种抵抗并不能证明一种形状是非珀特。有无穷多种方式去转动一个形状，而计算机只能检验有限多种。研究者们无从知晓这些顽固分子到底是真正的非珀特，还是它们的如珀特通道难以找到而已。
他们确切知道的是，非珀特候选者极其稀少。从去年起，Murphy开始构建数以亿计的形状。这些包括随机多面体，顶点在一个球面上的多面体，具有特殊对称性的多面体，以及把一个顶点移走来破坏之前存在的如珀特通道的多面体。他的算法在几乎每种形状中都轻松地找到了如珀特通道。
这些快速结果与非波特顽固分子的顽强之间的鲜明对比使得一些数学家怀疑真正的非珀特确实存在。可是直到今年八月份，他们拥有的仅仅是猜测。
禁止通过
如今30岁的Steininger与29岁的Yurkevich从他们青少年时期一同参加数学奥林匹克竞赛的时候就是朋友了。尽管两人最终都离开了学术圈（分别在Yurkevich获得博士与Steininger获得硕士之后），他们仍然共同探索未解难题。
“我们只在三小时前吃了披萨，然后几乎所有时间都在讨论数学，”Steininger告诉量子杂志，“这就是我们的日常。”
五年前，二人组碰巧在一个油管视频里看到一个立方体穿过另一个，立马就迷上了。他们开发了一个算法来搜寻如珀特通道，并很快确信某些形状是非珀特。在2021年的一篇文章中他们猜想，菱二十面体并非如珀特。他们的工作先于Murphy与Grimmer的近期探索，“在我看来，是史上首次猜想可能存在不具有这一性质的立体。”Steininger称。
如果你想证明一种形状是非珀特，你必须对两个这样的形状的每一种相对朝向排除掉如珀特通道。每种朝向可以用一组转动角写下来。这组角度进而可以用一个高维“参数空间”中的一个点来表示。
Sergey Yurkevich（左）与Jakob Steininger自青少年时期就是朋友，乐于共同研究数学问题，尽管两人都没留在学术界。
假定你对你的两个形状选择了一种朝向，然后计算机告诉你第二个阴影伸出了第一个阴影的边界。这就在参数空间里排除掉了一个点。
可是你可以排除的或许比单个点多得多。如果第二个阴影突出得很明显，就会需要一个很大的变动才能把它挪回到第一个阴影里。换句话说，你能够排除的不仅仅是你最初的朝向，还有“近邻”的朝向——参数空间里一整块的点。Steininger和Yurkevich想到了一个叫做全局定理的结果，而它精确地量化了在这些情况下你能排除的块有多大。通过测试许多不同的点，你就得以在参数空间里进行逐块逐块的排除。
如果这些块能覆盖整个参数空间，你就已经证明你的形状是非珀特。可是每个块的大小取决于第二个阴影伸出第一个有多远，而有时候它伸出得并不是太远。例如，假设你从恰好在同一位置的两个形状出发，接着你轻微地转动第二个形状。它的阴影最多会探出第一个阴影一丁点，因此全局定理只会排除一个很小的区域。这些区域过小而没法覆盖整个参数空间，从而保留了一种可能性，也就是你遗漏的某个点可能对应于一个如珀特通道。
“我觉得这个问题是非常典范的……外星人一定也想到过它。”
—— Tom Murphy
为了处理这些小的重朝向，二人组想出了他们全局定理的一种补充方案，并称之为局部定理。这一结果处理的是这种情形：在原始阴影的边界上你能找到三个顶点（或者说拐角点），使得它们满足某些特定的条件。比如，如果你将这三个顶点连成一个三角形，它必须包含阴影的中心点。两人证明，一旦这些条件得以满足，那么这一形状的任何小的重定向都会使得新阴影上这三个顶点中至少一个伸出外面。因此新阴影无法处在原始阴影中，意味着它不可能产生如珀特通道。
如果你的形状投射的阴影不存在三个适当的顶点，那么局部定理就不再适用。而所有此前认定的非珀特候选者至少有一个阴影存在这一问题。Steininger和Yurkevich在由数百个最对称与最优美的凸多面体构成的数据库里进行了筛选，但是没能发现哪种形状的所有阴影都适用。于是他们决定自己来生成一种合适的形状。
他们开发了一种算法来构建形状，并对其检测这一三顶点性质。最终，算法生成了非珀特多面体，它由150个三角形和两个正15边形组成。它看起来像一只圆滚滚的水晶瓶，有着很宽的底和顶；该工作的一个粉丝已经3D打印出了一个副本，用作铅笔筒。
莱茵河的如珀特亲王，17世纪陆军军官、海军指挥官、殖民地总督以及绅士科学家，赢得了一个立方体是否能穿过另一个的赌局。
Steininger和Yurkevich接着把朝向的参数空间分成了接近1800万个小块，并对每个块的中心点进行测试，看它对应的朝向是否能生成如珀特通道。结果没有一个可以。之后，两人证明每个块要么满足局部定理，要么满足全局定理，从而得以把整个块都排除掉。由于这些块填满了整个参数空间，这意味着不存在穿过非珀特多面体的如珀特通道。
这一“天然的猜想被证明是错误的，”O’Rourke说道。
接下来的问题就是，数学家们能否使用这一新方法来生成其它的非珀特，以及他们是否能发现不同的局部定理来处理像菱二十面体这样的候选者。不过既然数学家们已经知道非珀特确实存在了，“我们就有了坚实的基础去研究其它形状了，”Murphy称。
Murphy也跟Steininger和Yurkevich一样，是在自己的日常工作之外出于兴趣去研究这一问题的。他对如珀特亲王有一种跨越数个世纪的亲近感。“我喜欢他退休后在他的城堡里研究数学和科学这一选择，”他说。
与此同时，Steininger和Yurkevich也在寻求解决新的问题。“我们可以说是平民数学家——我们热衷于研究这些问题，”Steininger说道，“我们将继续这么做。”
原文链接：
https://www.quantamagazine.org/first-shape-found-that-cant-pass-through-itself-20251024/
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