费马大定理之内核获得超级强化

通过拓展费马大定理中关键见解的范围，四位数学家在构建数学“大一统理论”上取得大幅进展。

Joseph Howlett 著

左    芬      译

【译注：原文2025年6月2日刊载于QuantaMagazine，链接见文末。】

新证明证实，两个遥远的数学领域始终匹配。

1994年，一份证明在数学王国里掀起了一场地震。数学家Andrew Wiles最终敲定了费马大定理，数论中300多年来未能解决的一个核心问题。这一证明不仅让数学家们疯狂——它还上了《纽约时报》的头版。

不过为了完成它，Wiles（在Richard Taylor的帮助下）首先得证明一个相当棘手的中间命题——其影响超出了费马难题本身。

这一中间过程需要证明被称为椭圆曲线的一类重要方程总是可以关联到被称为模形式的一类截然不同的数学对象上去。Wiles和Taylor本质上打开了不同的数学王国之间的传送门，表明它们看起来就像是对方的变形镜像。Wiles和Taylor证明，如果数学家想要理解一条椭圆曲线的某种性质，他们可以先进入到模形式的世界里，找到该对象的镜像并予以研究，接着带着结论返回。

不同世界之间的这种关联，即所谓“模性”，不仅仅可以让Wiles证明费马大定理。数学家们很快利用它在此前难以着手的各种问题上取得了进展。

模性还构成了Langlands纲领的基石。这是一套包罗万象的猜想，旨在构建数学中的一个“大一统”理论。如果这些猜想都对的话，那么超出椭圆方程的种种方程也将同样地关联到镜像王国里的对象上。数学家们就可以随心所欲地在两个世界之间来回切换，进而回答更多的问题。

可是证明椭圆曲线与模形式之间的对应已经极其困难了。许多研究者认为要实现这些更加复杂的对应中的哪怕一部分，都是不太现实的。

如今，四位数学家组成的小组证明这些人错了。今年2月，四人组最终成功将模性关联从椭圆曲线推广到更加复杂的方程，也就是所谓交换曲面。这个小组——包括芝加哥大学的Frank Calegari，伦敦帝国理工学院的Geoge Boxer与Toby Gee，以及法兰西国家科学研究中心的Vincent Pilloni——证明归属于某一大类的每个交换曲面都可以关联到一个模形式。

从左开始：Tony Gee，Frank Calegari及Vincent Pilloni，与George Boxer（未在图中）在这个证明上花了近十年。

“我们大都相信所有这些猜想都是对的，但看到它真正落实还是很激动的，”伦敦帝国理工学院的Ana Caraiani说道，“并且还是在一种你确实觉得遥不可及的情况下。”

这仅仅是一场旷日持久的行动的开始——数学家们试图最终对每个交换曲面都证明模性。但即使是这一结果，已经能回答许多未解问题了，正如椭圆曲线模性的证明开创了众多全新的研究方向。

镜中世界

椭圆曲线是仅仅使用两个变量——和——的一种非常基本的方程。如果你画出它的解，你会得到看起来简单的曲线。但是这些解会以繁复的方式相互关联，并且它们在众多数论关键问题中出现。例如，Birch与Swinnerton-Dyner猜想——数学中最棘手的未解问题之一，最先证明者将获得百万美元奖金——就是关于椭圆曲线解的特性的。

直接研究椭圆曲线很困难。因此有时候数学家倾向于从不同的角度接近它们。

这正是模形式介入的地方。模形式是在分析学这样一个看起来毫不相干的数学领域中出现的一种高度对称函数。模形式会呈现相当多优美的对称性，因此要容易处理得多。

一眼看去，这两种对象似乎不应该有所关联。不过Taylor和Wiles的证明揭示，每种椭圆曲线都对应于一种特定的模形式。二者具有某种共同的性质——例如，描述一条椭圆曲线的解的一组数字也会在其关联的模形式中出现。因此数学家可以利用模形式来获取对椭圆曲线的新见解。

数学家甚至认为Taylor和Wiles的模性定理仅仅是一种普适现象中的一种情形。在椭圆曲线之外还存在一类更加广泛的对象。所有这些对象都应该在类似模形式的对称函数的广阔世界里拥有同伴。这正是Langlands纲领的精髓所在。

一条椭圆曲线仅仅包含两个变量——和——所以可以在一页纸上画出来。可是一旦你加入另一个变量，，你会得到生活在三维空间中的一张弯曲的表面。这一更复杂的对象被称为交换曲面，并且跟椭圆曲线一样，它的解有着绚丽的结构，让数学家们想要弄清楚。

视频：罗格斯大学数学家Alex Kontorovich带领我们在数学的各个大陆间航行，以领会在Langlands纲领中处于核心地位的惊人对称性。【译注：视频可通过文末原文链接前往观看。】

很自然地交换曲面应该对应于更加复杂的模形式。可是额外的变量使得构建它们要困难得多，找到它们的解也困难得多。再要证明它们还满足模性定理似乎完全遥不可及。“这个问题人人望而生畏，因为很多人都尝试过，但都遇到了阻碍。”Gee说道。

可是Boxer，Calegari，Gee和Pilloni想要一试。

找到桥梁

四位数学家都参与过Langlands纲领的研究，并且想要对“一个在现实生活中真正出现的对象，而非某种诡异的东西”证明这些猜想之一，Calegari称。

交换曲面不仅在现实生活——当然，是数学家的现实生活——中出现，关于它们的模性定理一旦证明还会开启全新的数学之门。“一旦你有了这一结果，许多之前毫无指望的事情现在就都可以做了。”Calegari称。

“喝完咖啡，我们总会开玩笑说得回到矿里去了。“

                                  ——Vincent Pilloni

这些数学家从2016年开始合作，希望能遵循Taylor和Wiles的椭圆曲线证明里相同的步骤。可是这些步骤中的每一个对于交换曲面来说都要复杂得多。

因此他们聚焦于一种特定类型的交换曲面，所谓常规交换曲面，它们要容易处理一些。对于每一个这样的曲面，都存在一组数刻画它们解的结构。如果他们能证明同样的一组数也能从一个模形式推导出来，那么就万事大吉了。这些数充当着独一无二的标签，让他们能把每个交换曲面跟一个模形式配对起来。

问题在于，尽管对于给定的交换曲面这些数字可以直接算出来，数学家们根本不知道如何构建正好带有同样标签的模形式。当要求很苛刻时，模形式会难到几乎无法构造。“对于你所求索的这些对象，你甚至都不知道她们是否存在，”Pilloni说道。

退而求其次，这些数学家证明其实只需要构造出这样一种模形式，她们的数字跟交换曲面在一种更弱的意义下相符就行了。模形式的数字只需要在所谓时钟算术的王国里一样就行了。

设想一个时钟：如果时针从10开始，过了4个小时后，会指向2。可是时钟算术也可以用任意数字来实现，而不仅仅是（如同现实时钟一样的）数字12。

Boxer，Calegari，Gee和Pilloni只需要证明他们的两组数字在使用走到3的时钟时相符就行了。这意味着，对于任何给定曲面，数学家在构建其相关联的模形式时有着更大的灵活性。

但即便这个仍然很困难。

接着他们发现了一个模形式的宝库，她们的相应数字都很容易计算——只要这些数字在定义时依照的是走到2的时钟。不过交换曲面需要的是走到3的时钟。

这些数学家知道怎么用桥梁粗略地衔接这两种不同的时钟。但是他们没法把这一桥梁做到滴水不漏，进而在模形式的世界里找到交换曲面的真正配对。紧接着一种新的数学技术出现了，恰好是他们所需要的。

雪中送炭

潘略的研究内容是在数论中看起来毫不相关的一个领域，但最终却不可或缺。

2020年，一位名叫潘略的数论家公布了关于模形式的一个证明，但它初看上去跟四人组的问题关系不大。不过他们很快意识到潘发展的这些技术惊人地有用。“我根本没预料到，”潘说。

经过数年的例行会议，大多在Zoom上，这些数学家开始在改造潘的技术上取得进展，但主要的障碍依然存在。接着，2023年夏天，Boxer，Gee和Pilloni发现德国波恩的一个会议为他们会合到一起提供了绝佳的机会。唯一的问题是，Calegari已经预定好要在同一时间前往中国作一个报告。但前往芝加哥市中国领事馆的一趟艰难之行让他改变了主意。“八小时后，我的签证被拒了，车也被拖走了，”他说。他决定放弃中国的报告，前往德国与同伴们会合。

Gee为团队在Hausdorff研究所的地下室争取到了一个房间，从而不会被来往的数学家们打扰到。在那里，他们花了一整个星期研究潘的定理，每天12小时，日复一日，只偶尔到地面上去喝个咖啡。“喝完咖啡，我们都会开玩笑说得回到矿里去了。”Pilloni说。

这些努力获得了回报。“后面还出现了一些波折，”Calegari说道，“但在那一周的末尾我觉得我们差不多有了结果。”

他们又花了一年半才把Pilloni的信念变成一份长达230页的证明，并于今年2月公布在网上。把所有的片段组装起来，他们证明任何常规交换曲面都有一个对应的模形式。

将来他们的这一全新传送门也许会跟Taylor和Wiles的结果一样强大，揭示出交换曲面始料未及的更多信息。不过，团队首先得将他们的结果推广到非常规交换曲面上去。他们已经跟潘合作，来继续这一探索。“十年后，如果我们还没把它们差不多都找到的话，我会感到很意外。”Gee称。

这一工作也使得数学家们能表述新的猜想——例如Birch与Swinnerton-Dyer猜想在把椭圆曲线替换成交换曲面后的类比。“现在我们至少知道这一类比合情合理，”对于这些常规曲面来说，麻省理工学院数学家Andrew Sutherland说道，“之前我们并不确定这一点。”

“由于这一定理的出现，之前我曾梦想过将来哪天可以去证明的许多结果现在触手可及了，”他补充道，“它颠覆了一切。”

原文链接：

https://www.quantamagazine.org/the-core-of-fermats-last-theorem-just-got-superpowered-20250602/