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“百年一遇”的证明让挂谷猜想尘埃落定
看似简单的挂谷猜想已经折磨数学家50年了。该猜想三维情形的全新证明澄清了一大批相关问题。
Joseph Howlett 著
左 芬 译
【原文2025年3月14日刊载于QuantaMagazine，链接见文末。】
如果你往所有方向转动一根针，它扫出的最小体积是多少？
考虑你桌子上放着的一支铅笔。试着旋转它，让它朝每个方向都指过一次，但同时确保它在桌上扫出的面积尽可能地少。你或许会绕着铅笔的中点转动它，扫出一个圆。但如果你以巧妙的方式滑动它，可以做得好得多。
“这就是直线怎样彼此相交的一个问题，”爱丁堡大学数学家Jonathan Hickman说道，“但其中蕴含了极其丰富的内容——跟其它问题有着千丝万缕的联系。”
半个世纪以来，数学家一直在寻求这一挑战的三维情形的最优解：将铅笔拿在空中，接着将它指向每个方向，同时最小化它扫过的空间的体积。这一直截了当的问题难倒了当今最伟大的一些数学家，并且深藏在大量未解问题中。
如今，对答案的寻找似乎要画上句号了。在近期公布于科学预印本网站arxiv.org上的一篇文章中，纽约大学Courant研究所的王虹与不列颠哥伦比亚大学的Joshua Zahl证明了三维的挂谷（かけや）猜想——他们给出了这种移动模式可以小到什么程度的准确下界。
“这种事可用不着吹嘘，”莱斯大学数学家Nets Katz说道，“这是那种百年一遇的成果。”
加粗图形
1917年，挂谷宗一【かけや そういち】提出了这一问题，不过考虑的是无穷细的铅笔。他找到了一种滑动铅笔的方式，覆盖的面积会比比本能的圆运动更少。
挂谷好奇铅笔扫过的面积能小到什么程度。两年后，俄罗斯数学家Abram Besicovitch找出了答案：与直觉相悖，使用一套复杂的狭窄转动可以完全不覆盖任何面积。
这大体上解决了这一问题。接着到了1971年，Charles Fefferman正研究跟转动直线看来毫无关联的一类对象——Fourier变换，也就是让你能把任何数学函数重构为一组波的一种基本数学工具。在Fefferman的工作中，挂谷问题的一种微调情形不断地出现。在此情形下，铅笔有一定的粗细，并且在三维中旋转。于是在这里，挂谷问题变成这样：当你改变铅笔的粗细时，会如何影响它扫出的空间体积？
数学家们倾向于用一种稍微不同（但等价）的方式来描绘这一问题。他们不考虑铅笔在空间中来回移动，而是一次性地把铅笔轨迹上的所有点构想出来。你得到的是指向所有方向的一组幽灵般的重叠管。这就是所谓挂谷集。你可以来回滑动管子，但不能转动它们。你的目标就是得出重叠体积最大的构型。
纽约大学Courant研究所数学家王虹称这一证明会在数学中开辟新的天地。“它势在必行。”她说。
哪怕重叠最多的挂谷集仍然会占据一定空间，Fefferman发现。这一最小体积取决于笔管有多粗。数学家用一个叫Minkowski维度的数来量化笔管的粗细与集合的体积之间的关系。Minkowski维度越小，你就越能通过削细笔管来缩小集合的体积。
三维挂谷猜想声称，这一集合的Minkowski维度一定是三。这构成了一种非常弱的关系——哪怕你把笔管削细一半，比方说，你最多也只能移除一点点的体积。
然而，事实上哪怕是这样微弱的约束也近乎无法证明。
蹒跚学步
2022年，在现代版挂谷猜想构想出来五十年后，王和Zahl往前迈出了一大步。遵循Katz和陶哲轩之前在2014年设计的一个方案，他们检验了一类棘手的挂谷集。他们的证明显示，这一特定类别里的每一个集合都是三维的。（该证明同时适用于Minkowski维度和一个紧密相关的概念，Hausdorff维度。）单独处理了这一烦人的类别后，他们接下来还得证明所有其它挂谷集的维度也是三。
挂谷宗一在1917年他31岁时提出了如今以他命名的这一问题。
他们的策略是逐步进行。他们先检验Minkowski维度的一段狭窄范围——比如说，2.5到2.6——并试着证明没有挂谷集会处在其中。如果他们可以对一直到三的每个区间都证明这一点，也就证明了挂谷猜想。
幸运的是，王和Zahl并不需要从零开始。Tom Wolff在1995年证明没有哪个三维挂谷集的Hausdorff或Minkowski维度会小于2.5。但他们需要一种方法来证明2.5到，比方说，2.500001之间的维度也是不可能的。接着他们就可以重复这一推导得到下界2.500002，以此类推。每一次，他们本质上都会证明没有挂谷集存在于那个微小的间隔内。
实际上，他们并不需要重复这数百万步里的每一步。他们只需要证明第一次增长，并且说明一个下界意味着会有下一个稍大的下界。接着他们需要证实他们的推导无论从什么地方开始都可以。这些就足以表明下界可以一直延伸到三。
可是跟2022年可以使用Katz和陶的策略不一样了，这次他们没有路线图可以遵循。他们转向一种特殊性质，颗粒性。
2014年，麻省理工学院数学家Larry Guth证明任何挂谷猜想的反例必然是“颗粒状”的。在一个颗粒状集合里，有许多小的3维的瓣，其中许多笔管重叠着。这些“颗粒”的每一个都大约是一个笔管厚，几倍宽，但没那么长，并且有许多笔管沿长度方向穿过它。
王和Zahl意识到，他们可以完全避开这些笔管，而处理这些简单些的颗粒。他们发现颗粒重叠的方式更容易列举和计算出来。
不列颠哥伦比亚大学数学家Joshua Zahl是新证明的共同作者。
他们发现，哪怕在颗粒全都共谋给出最大重叠的情形，跟任意给定点相交的颗粒数也不会太大。从2.5下界出发，他们设法证明这些颗粒无法充分重叠到足以给出比该界稍大的一个维度。接着，从这个高一点的下界出发，他们说明可以实施同样的计算步骤来把下界推向更高。以此类推。
“这就好像在雕琢一台永动机。很神奇，”陶说道，“他们总是能让输出比输入大一点。”他们的机器将他们一直带到了Minkowski（以及Hausdorff）维度三，从而证明了三维挂谷猜想。
梦想之塔
在研究Fourier变换细节的调和分析领域，这一猜想的解决引发了一场剧变。
在挂谷猜想之上，坐落着调和分析中由三个丰碑式猜想组成的一座塔。塔中的每个论断都必须坚实，才能让其上的论断有希望自我成立。如果挂谷猜想被证明是错的——如果王和Zahl发现了一个反例——那么整座塔都会分崩离析。
但既然如今他们证明了它，数学家们或许能够往塔上推进，用挂谷来构建后续这些更加艰巨的猜想的证明。“所有这些[数学家们]梦想着将来哪一天能解决的问题，现在突然变得好像触手可及了，”Guth说道。
对于这整个数学领域而言，这也是在有些停滞在二维里之后的一次维度飞跃。“人们在二维里对[挂谷相关问题]的情况理解得相当清楚，但我们缺乏工具去研究高维，”王说道，“因此我觉得这不可或缺。它势在必行。”
四维挂谷猜想仍然未解，并且在其上也坐落着四维猜想之塔。新的困难会出现，Guth说道，但他认为从二维提升到三维才是最困难的，并且王和Zahl的证明很可能也适配到那座塔上去，甚至超出它。
“在我年轻时就对挂谷问题着迷，它看起来如此简单和几何化，但却又如此困难，让我无比惊讶，”Guth说。多年后，他的博士生王同样被这一表面的简单性所激发。
“你拥有这些可以看得见的具体对象。它并不像其它数学理论那么吓人，”王说道，“我就想理解为什么它会这么难。”
如今，通过王和Zahl的努力，我们有史以来最为接近答案了。“我真的觉得，在此基础上，大量的想法会出现并彻底革新整个领域，”Hickman说道，“这真是一个激动人心的时代。”
原文链接：
https://www.quantamagazine.org/once-in-a-century-proof-settles-maths-kakeya-conjecture-20250314/
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