杨振宁访谈（三）

为香港中文大学杨振宁档案馆所做

黄克孙   撰

2001年1月3日

左  芬   译

黄：Kirkwood不久前猜想经典的硬球气体具有相变。计算机模拟似乎表明存在一个一级相变，因为会卡在比密堆积稍小的一个密度下。你觉得这种相变是否存在？

杨：是的，我觉得会。多年以前我不是这么信服，但看到一些计算机结果后，我确信Kirkwood猜想是对的。不过，可能很难证明这一论断。如果你观察越来越大的案例的结果，我想很容易信服在接近但还没达到密堆积的密度处应该存在相变。

对了，你知不知道Kepler猜想眼下可能已经被项武义证明了？[11]【译注：Kepler猜想由T.C. Hales 1998年在计算机辅助下予以证明。对该证明的检验过程极为漫长，直到2015年才最终完成。另，2016年Maryna Viazovska证明8维密堆积为E₈晶格，并与Henry Cohn等人合作证明24维密堆积为Leech晶格。】

黄：哪个猜想？

杨：硬球的任何密堆积都跟面心立方晶格的密度相同。

黄：谁最先提出这一猜想的？

杨：Kepler。

黄：天文学家Kepler？

杨：对的。Kepler非常几何化。他摆弄种种几何对象，包括平铺，以及对偶。这个是他的众多猜想之一。数学家已经沉迷于此好几个世纪了，但就在最近项武义写了本关于它的书。

黄：我明白了。这书已经出版了吗？

杨：还没有，这是书稿。你可以拿走它。反正我得扔掉它，因为没地方放了。你可以扫描一下。这一问题如此之难的原因在于……

如果我问你两维里的密堆积是什么，你会立刻给出答案。你先放一枚硬币，接着在它周围放六枚。你很容易发现没办法把它们排布得更紧密了，所以它就给出了一个三角晶格。

在三维里，你先放一个球，接着很容易在它周围放12个球，但这12个球并不是彼此紧贴着。直觉告诉你这一面心立方排布并非最佳的，因为这12个球在中心球周围的排布有点松散。如果你把它们往顶上挤，你会在底部得到一个大洞；可是这个洞不足以容下第13个球。第13个球会很接近中心球，但没有完全贴上。于是你会觉得这就是最好的排布方式了。

项的关键想法是，他只需要理解三层排布就可以了。之前的困难在于，你不知道到哪层才能终止，所以没有尽头。他首先证明了一个定理，说明他只需分析前两层就够了。接着他分析了这两层，便声称证明了无限体系下的Kepler猜想。这儿有一个不等式我理解得不是太清楚。我想这是一个非常聪明的想法。他或许解决了这一问题。

黄：回到Kirkwood定理，因为它可以归结为一个定义良好的数学问题，如果你认为它是对的，就应该可以证明出来。例如，巨配分函数的根应该收缩到实轴上。

杨：对，对，这是个定义良好的数学问题。但这不意味就一定可以证明出来。（大笑）

黄：一旦表述出来了，或许它甚至可以用计算机来证明？

杨：你会需要数以亿计的计算机来展示一个非常尖锐的相变，而这还不构成证明。

黄：是的，是的。利用计算机来找出巨配分函数的零点，看它们是否靠近实轴。

杨：用现代计算机，尤其是在采用了Padé近似式后，你可以做出异常准确的预言。然而它不构成证明。

黄：你开创了非对角长程序（Off-Diagonal Long-Range Order, 简称ODLRO）这一概念。它与对称性破缺是否相同呢？

杨：（长停顿）嗯——我不觉得它们相同，但是相关的。首先，ODLRO在Penrose和Onsager的一篇文章[12]中已经隐含地出现了。这不是家喻户晓的那个Penrose。我忘记他名字的首字母了。是另一个Penrose。

黄：Olive Penrose，他的哥哥。

杨：是的，他的哥哥。他们只把它用于玻色子。而当我与Nina Byers研究磁通量子化时，我们处理的当然是费米子。在Byers-杨文章[13]出来之后，我开始审视这一问题，并意识到Penrose和Onsager非常简单的玻色子想法可以推广到费米子，但要复杂得多，在某种意义上是一个更深刻的想法。

这就是ODLRO文章[14]的来由。它有点像这样一个论断

“有些原子，在适当的条件下，会自我排布成晶体。”

事实上，在我ODLRO文章里我把这个称为对角长程序。在量子力学里，可以存在对角长程序，也可以存在非对角长程序。ODLRO的观点人类感知起来有些怪异。这就是为何“超”现象如此迷人，又如此怪异。

黄：你似乎在说破缺的对称性是一个更广泛的概念。

杨：是的，我会这么说。

黄：我记得你曾经说过，破缺的对称性只有在给出可重整场论时才有用。可是，重整化在非相对论问题例如铁磁体和Bose-Eintein凝聚中是无关紧要的。那你觉得破缺的对称性这一想法是否仍然有用？

杨：我记得你提到的这一论断是在场论中破缺的对称性这一背景下所做的。

黄：标准模型？

杨：是的。一般来说，我会说破缺的对称性是一个非常广泛的概念，跟重整化没什么关联。

至于说破缺的对称性与基本粒子物理，我觉得故事还没结束。是的，我们有了标准模型，有了破缺的对称性，它给出一个可重整的场论。这些都是非常重要的进展，并且它们还神奇地与实验结果一致。但是作为我来说，并且我想不少人跟我有相同的观点，那就是这并非终极理论。我不知道将来还需要哪些基础性的发展，但我确信这并非终点。

黄：因此你或许觉得所谓Higgs场不是基本场？

杨：关于要怎么往下做有很多提议，但我没发现哪个提议特别优美和自然。所以我认为这是一个开放性的课题。

黄：在你和Byers关于超导的工作中，你以超流必须最小化自由能来解释了磁通量子化。这是否促使系统处于非对角长程序的一种普遍机制？

杨：我不会这么说。我们来回顾一点1961年之前发生的事。1961年之前很久，Onsager和London分别独立地猜想出超导环上磁通的量子化。不过，他们的推导是错的。

如果你去读London的两卷本书《超流体》[15]，在其中一卷里他讨论了磁通量子化，而那时这个还没有发现。很神奇他和Onsager会把握住它；但如果你去读的话，你会意识到他的推理是完全错误的。正如Bloch之后指出的那样，如果London的想法是对的，那么所有物质在所有温度下都会展示磁通量子化，因为他的推理跟超导毫不相干。

Nina Byers和我所做的重要贡献在于指出，只有在作为超导特征的配对出现时，才会存在磁通量子化。事实上，在文献中存在大量误解。许多人没有认识到这一点。我相信Sakurai在他的教科书[16]中就没有理解这一点。

那么，哪种体系会导致ODLRO，进而出现磁通量子化？这个问题驱使着我在1961-62年后又回到格点模型，去试图找出一个体系，并合理地论证费米子体系会有ODLRO。所以我在Heisenberg模型和Ising模型上的后续工作，导致后来所谓杨-Baxter方程的那些工作，全都是受这一主旋律的驱动。

黄：我不知道你是否同意以下关于破缺的对称性的观点。给定足够时间，自旋系统会采样到所有构型。因此，在长时间的平均下，总自旋会是零。不过，自发磁化仍然可以发生，因为一旦自旋排好了，需要极其漫长的时间让总自旋翻转。在这个例子里，你可以说一般而言破缺的对称性源自遍历性的失效。

杨：是的，我会说精神上是对的。你的话前半段是针对有限体系的。如果你有一个有限体系，那么经过漫长的时间，所有的构型最终都会被采样到，因此平均自旋会是零。可是，如果你选定的是无限体系，又没有给出无限长的时间，那么这一论断就不对，而这就是破缺对称性的精髓。在这个意义上，破缺的对称性，遍历性，有限和无限体系，这些概念全都纠缠在一起。

黄：你一定对量子相位在从Bose-Einstein凝聚到电磁学和杨-Mills理论中不可积相位因子中扮演的重要角色有过大量思考。你介意评论一下这个主题吗？

杨：可以的。你可能不知道，去年我做了一个报告，文字稿还没有最终定型，题目叫“20世纪物理学的三个主旋律：量子化、相位因子和对称性”。

我相信刻画20世纪物理学并将其与之前那些世纪里物理学的风格区分开来的正是这三个概念。

量子化，相位因子和对称性是深度纠缠着的。非常有趣的是，这三个概念全都包含在，体现在Feynman路径积分的表达式里。（轻笑）它有相位因子；它有对称性，尤其是规范对称性。当然还有量子化，出现了ħ。

说到这个，我对跟吴大峻合写的一篇文章非常自豪，可惜很少有人注意到它。70年代的时候，我们发表了一篇关于Dirac磁单极量子化的文章。你知道，量子化过程要求是量子化的，以使理论自洽[17]。我们问了这样一个问题，是否可以构造电子、磁单极以及Maxwell场的一个经典理论？进而磁单极量子化又是如何进入其中的呢？结果表明这是可行的，于是我们写了一篇文章。这篇文章不容易读。它在数学上有点复杂，但极其优美。

黄：它发表了吗？

杨：我记得发在物理评论上[18]。它在我的论文选集[19]中。我想指出的一点是（轻笑），它没有ħ，所有也就没有Dirac量子化。如果你没有ħ，就不可能有Dirac量子化。可是量子化规则却已经在那了。为什么？我们发现了一些非常有趣的事。我们发现，这样一个体系的作用量积分没法绝对定义下来。它只能在模意义下定义。当你把这个放进路径积分时，以这一因子

,

你必须采用量子化规则才能让路径积分唯一。我认为这一论断是深刻的，尽管没人注意到它。

（长停顿。杨翻阅《论文选集》找出这篇文章，并向黄展示日期。）

黄：是的，1976年。

杨：在文章的最后，有一段讨论，讲这些是如何与路径积分关联起来的。我相信，这是经典理论中作用量只有在模掉一些东西才能定义出来的首个实例。后来，你的一个同事，Jackiw给出了其它一些例子[20]。不过所有这些例子都没那么有趣，因为不是在对的维度里。我们的既是最早的，也是最有趣的，因为它是电动力学。

黄：你说得对，这并没有引起广泛的关注。或许因为还没有任何应用？

杨：对，当然。但还有一个原因。人们追随Dirac，而Dirac也处理过同一问题，但没达到这样的深度，因为他总有一根“弦”，——你知道，Dirac弦。接着又来了Zwanziger。Zwanziger并没有弄懂这些，所以他的文章是错的[21]。你知道Zwanziger吗？

黄：是的，听过名字。

杨：在纽约大学。

黄：对。

杨：我的看法是他没有理解它。他用一个场和一个场描述同一个电磁场。他的自由度太多了，会有两套光子。

（未完待续）

引文

[11] W.-Y. Hsiang, Int. J. of Math. 4, 739 (1993).

[12] O. Penrose and L. Onsager, Phys. Rev. 104, 576 (1956).

[13] N. Byers and C.N. Yang, Phys. Rev. Lett. 7, 46 (1961).

[14] C.N. Yang, Rev. Mod. Phys. 34, 694 (1962).

[15] F. London, Superfluids, Vols. 1 and 2 (Wiley, New York, 1954).

[16] J.J. Sakurai, Advanced Quantum Mechanics (Addison-Wesley, Reading, MA, 1967).

[17] P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc. A133, 60 (1931). 【原注：该文提出提出量子化条件整数，其中和分别是电荷和磁荷。】

[18] T.T. Wu and C.N. Yang, Phys. Rev. D14 437, (1976).

[19] C.N. Yang, Selected Papers, 1945-1980, with Commentary (Freeman, San Francisco, 1983).

[20] R. Jackiw, Comments Nucl. Part. Phys. 13, 14 (1984). 【原注：这些模型被称为“陈-Simons场论”，在量子Hall效应中得到了应用。】

[21] D. Zwanziger, Phys. Rev. 176, 1489 (1968).