左芬
公钥加密的真实运作方式:只用到简单数学
2024-11-23 10:46
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公钥加密的真实运作方式:只用到简单数学

支撑着互联网的安全系统使用着一种好奇的性质:把加密术的一部分公之于众,加密的信息反而更加安全。

John Pavlus

左   芬    译

【译注:原文2024年11月15日发表于QuantaMagazine。】

 

PKC.png

 

千年来,要想发送一条秘密消息,基本上只有一种方法。用一种只有你和你的目标听众知道的特定规则打乱消息。这一规则就好像一把开锁的钥匙。只要你有了钥匙,就可以恢复消息;否则,你就只能撬锁了。有些锁非常之牢固,哪怕用无穷时间和精力也难以撬开。但即便是这些方案,也会遭受困扰所有这类加密系统的同一阿喀琉斯之踵:如何把钥匙交到适当的人手中,同时避免其他人拿到?

 

公钥加密就是针对这一弱点的一种解决方法,但有点反直觉。它并不依赖于对钥匙的保密,反而将其广泛地公开。其窍门在于,你还会使用第二把不跟任何人共享的钥匙,哪怕是与你通信的那个人。只有同时使用这两把钥匙——一把公钥,一把私钥——你才能在打乱消息后将它恢复。

 

要理解它的运作方式,最好不把这些“钥匙”当成跟一把锁配套的物体,而当成某种隐形墨水的两种互补成分。第一种成分让消息隐形,而第二种让它们显形。如果密探Boris想给他的副手Natasha发送一条秘密消息,他把消息写出来,然后使用第一种成分让它在纸上隐形。(对他来说这很容易:Natasha已经公布了隐形墨水的简易知名配方。)当Natasha收到邮件中的纸张后,她使用第二种成分让Boris的消息显形。

 

在这一方案中,任何人都可以让消息隐形,但只有Natasha能让它们再次显形。而由于她从不与任何人——甚至包括Boris——共享第二种成分的配方,她可以确信消息没有在途中被破译。当Boris想要接收秘密消息时,他只需要采取相同的步骤:他先公开让消息隐形的简易配方(使得Natasha或者任何其他人都可以使用),并保留另一种显形成分仅供自己使用。

 

在公钥加密中,“公钥”和“私钥”正如这种特殊隐形墨水的第一种和第二种成分那样运作:一种用来加密消息,另一种用来解密。不过公钥加密用的不再是化学制品,而是被称为陷门函数的数学难题。这些函数很容易正向计算,但求逆则极其困难。不过它们包含“陷门”,也就是一些信息片段,一旦被知晓,就会使这些函数的正逆向计算都变得容易之极。

 

一个常见的陷门函数就是两个大的素数相乘,很容易的一个运算。但逆运算——也就是说,从乘积出发找出每个素数因子——在计算上是不现实的。要生成公钥,先选定两个大素数。它们就是你的陷门。将两个数相乘,再执行一些附加数学运算,就得到了公钥。这一公钥现在可以用来加密消息。要解密它们,你需要相应的私钥,其中就包括两个素数因子——必需的陷门。有了这些数,很容易对消息进行解密。只要保密好这两个素数因子,消息就始终是秘密的。

 

公钥的运作方式

现代互联网安全往往设计两把密钥:帮助任何人加密一条消息的公钥,以及用于解密它的私钥。第一把钥匙像是保险箱,而第二把钥匙用来打开它。

步骤一:公布你的指令

Natasha介绍了构建一个独一无二的保险箱的方法。她的指令基于一个很大的数——两个大的素数的乘积。

Instructions.png

步骤二:构建保险箱

Boris读了Natasha的指令,构建出保险箱。

Safe.png

步骤三:发送消息

Boris把他的消息放进保险箱,发给Natasha。

Send.png

步骤四:打开保险箱

要打开保险箱,你需要一把密钥——它只能用原始的两个素数造出来。这些数单凭Natasha的指令是确定不了的。只有Natasha知晓它们,并用它们来制造密钥。

Open.png

 

公钥加密的基础最先由任职于英国政府通讯总部的英国数学家们于1970至1974年间发现。正是这一通讯总部在第二次世界大战期间破译了纳粹的Enigma密码。他们的工作(一直保密至1997年)被共享给了美国国家安全局,但由于受限且昂贵的计算能力,两国政府都没有实行这一体系。1976年,受密码员Ralph Merkle启发,美国研究者Whitfield Diffie与Martin Hellman开发了第一种广为人知的公钥加密方案。就在一年后,以发明者Ron Rivest, Adi Shamir及Leonard Adleman命名的RSA算法建立了一套公钥加密的实用方法。它在今天仍被广泛使用,是现代互联网的基础模块,使得从购物到网络邮件等诸多事物成为可能。

 

这一双钥系统还可以用于“数字签名”——确保消息由私钥持有者生成的一种数学证明。其可行的原因在于,私钥也能用于加密消息,而不仅是解密。当然,这对于保密消息来说是无用的:如果你用私钥去打乱消息,任何人只要用相应的公钥就可以恢复它。但它确实证明是你,并且只能是你,生成了这一消息,因为作为私钥的持有者,只有你能加密该消息。比特币之类的数字货币完全依赖这一思想而存在。

 

既然两把加密钥匙相比于一把要有效得多,为何人们花了几千年才发现呢?据加州大学圣地亚哥分校的计算机科学家与密码理论家Russell Impagliazzo称,这是因为在计算机发明之前,陷门函数的概念并不是很有用。

 

“这是个技术问题,”他说,“19世纪的人把加密看作是发生在持有军事情报的各个特工之间的——并且他们身处枪火不断的战场。因此如果你的第一步是‘选出两个100位的素数相乘’,在你这么做之前战争就要结束了。”而如果你把问题约化到人脑能快速处理的程度,那它就不会那么安全了。

 

不过尽管计算机让公钥加密成为可能,它们也在其盔甲上产生了裂隙。1994年,数学家Peter Shor利用量子计算机开发出了一种算法,可以对支撑大多数当前公钥加密系统的陷门函数,包括素数分解在内,进行求逆。这一算法,一旦执行,会成为一种全能“显形墨水”,可以让任何隐形消息重现出来。互联网安全将宣告终结。

 

幸运的是,量子计算机本身“仍处在ENIAC阶段”,Impagliazzo说,意指美国陆军在1945年建造的房间大小的机器。等到量子计算机成熟到能对公钥加密产生真实威胁,可以把最初的陷门函数替换成“量子安全版”的所谓格问题。当然,这一新型计算“墨水”在将来也可能变得易于攻击。但这正是公钥加密的伟大之处:只要我们能发现新的可用函数,我们就可以不断地重造轮子。而在这里,就是重铸钥匙。

 

原文链接:

https://www.quantamagazine.org/how-public-key-cryptography-really-works-20241115/

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