随机性的统一理论

研究人员发现不同类型随机对象之间的深层联系，并阐明隐藏的几何结构

Kevin Hartnett 著

左  芬    译

在一种被称作“SLE曲线”的结构中随机性变得很大。

标准几何对象可以用简单的规则来描述——例如，每条直线不过是y=ax+b——并且它们之间的关系也整齐划一：连接两个点得到直线，连接四条线段得到正方形，连接六个正方形得到立方体。

Scott Sheffield关注的不是这类对象。Sheffield，麻省理工学院的数学教授，研究的是通过随机过程构造出来的形状。它们中从未有两个是完全一样的。考虑最常见的随机形状，随机游走。它几乎无处不在，从金融资产价格的变动，到量子物理中粒子的轨迹。这些游走以随机来形容，因为你无法根据对给定点之前路径的认知预言下一步的去向。

在一维随机游走以外，还存在着许多其它类型的随机形状，包括各种各样的随机路径，随机两维曲面，以及随机生长模型。例如，岩石上青苔的蔓延方式就可以近似为随机生长。所有这些形状都在物理世界里天然地出现，但直到最近它们都游离于严格数学考虑的疆域之外。给定大量随机路径或是随机二维形状，数学家们对这些随机对象共有的性质也会有些不知所措。

不过，Sheffield和他一贯的合作者，剑桥大学教授Jason Miller，过去几年里在这方面做出了一系列工作。他们证明这些随机形状可以归到不同的类别，这些类别都有其独特的性质，并且有些种类的随机对象与其它种类有着惊人的明确联系。他们的工作构成了几何随机性统一理论的开端。

“你考虑最自然的对象——树，路径，曲面——接着你证明它们全都相互关联，”Sheffield说。“而一旦你有了这些关联，就能证明之前无法着手的各种全新定理了。”

再过几个月，Sheffield和Miller会公布这个系列三篇论文中的最后一篇，从而首次为随机二维曲面提供一种全面观点——这一成就堪与平面的欧式映射相提并论。

“Scott和Jason能实现自然的想法，并且不会因为技术细节而翻车，”苏黎世联邦理工学院教授，曾因概率论与统计物理方面工作获得2006年菲尔兹奖的Wendelin Werner说道。“他们总是能努力争取到别的方法难以企及的结果。”

量子弦上的随机游走

在标准欧氏几何里，有趣的对象包括直线，射线，以及圆与抛物线这类光滑曲线。这些形状上的点的坐标值遵循明确的、有序的模式，而这些模式可以用函数来刻画。例如，如果你知道一条直线上两个点的值，也就知道了所有其它点的值。对于下面第一张图中的每条射线上的点，同样的结论也成立。这些射线都从一个点出发，向外放射。

构想随机二维几何的形状的一种方法是考虑飞机。当飞越远距离航线时，比如从东京到纽约，飞行员飞的是从一个城市到另一个的一条直线。可是当你把航线画在地图上时，直线看起来是弯曲的。曲线是将球面（地球）上的直线绘制到纸平面上带来的后果。

如果地球不是圆的，而是一种更加复杂的形状，可能以更狂野且随机的方式弯曲，那么飞机的轨迹（如果以二维平面图来展示）会显得更加不规则，如同下面图像中的射线。

每条射线都代表着飞机可能经历的轨迹，如果它从原点出发，并在随机起伏的几何曲面上尽可能地飞直线。刻画曲面的随机性的量在下面的图中调大了——而随着随机性增大，直线会抖动和扭曲，变成越来越参差不齐的闪电形状，甚至变得几乎不再连贯。

可不连贯并不等同于不可理解。在随机几何中，如果你知晓一些点的位置，你（顶多）能为后续点的位置指定概率。就好比灌铅的骰子仍然是随机的，只不过随机性与常规骰子不同，我们可以用不同的概率测度来生成随机曲面上的点的各个坐标值。

数学家们发现——并且希望继续发现——随机几何上的某些概率测度更为特别，并且在多种不同场合中时常出现。似乎大自然倾向于用一种非常特殊的（无穷面）骰子来生成它的随机曲面。Sheffield和Miller这类数学家努力将这些骰子的性质（以及他们产生的形状的“典型”性质）理解到跟普通球面一样精确。

第一类以这种方式理解的随机形状是随机游走。从概念上讲，一维随机游走就是通过重复抛硬币决定行进方向而得到的一种路径，当抛出正面时走一个方向，反面时走另一个方向。在现实世界里，这种运动首次引起关注是在1827年，当时英国植物学家Robert Brown观测到了悬浮在水中的花粉颗粒的随机运动。后来，在1920年代，MIT的Norbert Wiener为这一过程，也就是布朗运动，给出了精确的数学描述。

布朗运动是随机游走的“标度极限”——如果你让随机游走的每步步长非常小，并且步间的时间段也非常短，那么这些随机路径就会看起来越来越像布朗运动。它是几乎所有随机游走随着时间推移都会收敛上去的一种形状。

与此不同，二维随机空间首先迷住的是物理学家们，在他们试图理解宇宙结构的时候。

在弦理论中，人们考虑的是随着时间扭动并演化的微小的弦。正如粒子的时间轨迹可以画成一维曲线，弦的时间轨迹可以理解为二维曲线。这一曲线被称为世界面，编码了一维弦随着时间蜿蜒行进的历史。

“要弄清弦的量子物理，”Sheffield说，“你需要曲面的某种布朗运动。”

物理学家们已经得到这种东西有些年头了，至少是其中一部分。1980年代，如今在普林斯顿大学的物理学家Alexander Polyakov想出了描述这些曲面的一种方法，而该方法后来被称为刘维尔量子引力（Liouville Quantum Gravity, LQG）。它为随机二维曲面提供了一种不完整但仍有用的观点。特别地，它为物理学家提供了定义曲面中夹角的方法，使得他们可以计算曲面面积。

与此并行地，另一个被称为“布朗地图”的模型提供了研究随机二维曲面的一种不同的方法。与LQG有利于计算面积不同，布朗地图具备一种结构，可以让研究者们计算点与点之间的距离。对于他们期盼在本质上完全一样的对象，布朗运动和LQG共同为物理学家和数学家提供了两种互补的视角。但他们无法证明LQG和布朗地图确实是彼此相容的。

“这种情形很诡异，对于可以说是最典范的随机曲面有两种模型，两种相互争竞的模型，两者分别携带不同的信息。”Sheffield说道。

从2013年起，Sheffield和Miller开始着手证明这两种模型在根本上描述同一个物体。

随机生长问题

Sheffield和Miller开始一起合作得益于某种挑战。2000年代在斯坦佛读研究生时，Sheffield的导师是Amir Dembo，一位概率学家。Sheffield在他的博士论文里表述了一个在曲面的复杂集合里找出次序的问题。他也就是随手把这个问题当做思维练习提出来而已。

“我觉得这会是一个很难的问题，需要写200页的文章来解决，不太可能有人会去做。”Sheffield说。

但是后来Miller出现了。2006年，在Sheffield毕业数年后，Miller进入了斯坦佛，也师从Dembo开始研究，而Dembo布置Sheffield的问题给他去探索，作为熟悉随机过程的一种途径。“Jason设法解决了它，让我大受震撼，于是我们开始在一些问题上合作，并且最终我们找到机会在MIT雇他做了博士后。”Sheffield说道。

为了证实LQG和布朗地图是随机二维曲面的等价模型，Sheffield和Miller采取了一种概念上极其简单的方法。他们决定去探索能不能发明一种在LQG曲面上测量距离的方法，进而证明这种新的距离测度跟布朗地图蕴含的距离测度是一样的。

为了做到这一点，Sheffield和Miller试图设计一种数学尺子，可以用来在LQG曲面上测量距离。然而他们立即意识到普通的尺子没法跟这些随机曲面很好地适配——空间是如此怪异，以致你没法来回移动一个笔直的物体，而让它不被撕裂。

二人组把尺子抛到了一边。作为替代，他们试图将距离问题重新解释成一个关于生长的问题。要看出这一点，想象在某个曲面上生长的细菌菌落。最初它只占据一个点，而随着时间的推移它向各个方向扩张。如果你想测量两点之间的距离，一种（看起来有点迂回）的做法是从一个点上的细菌菌落出发，测量需要多少时间该菌落会覆盖另一个点。Sheffield说诀窍在于以某种方式“描述一个球逐渐生长的过程”。

描述一个球在普通平面上的生长很容易，这时所有的点都是已知且固定的，而生长也是确定性的。随机生长描述起来就困难多了，并且已经困扰了数学家很久。不过Sheffield和Miller很快认识到，“（随机生长）在随机曲面上比在光滑曲面上反而变得更易于理解，”Sheffield说道。生长模型里的随机性与生长模型进行的曲面上的随机性在某种程度上有着某种共通之处。“你在一个疯狂的曲面上添加了一个疯狂的生长模型，但不知怎的这反倒让事情变得更简单了，”他说。

以下的图像展示了一个特殊的随机生长模型，Eden模型，它描述了细菌菌落的随机生长。菌落沿着边界增加随机放置的团簇而生长。在任一给定时刻，不可能确切知道在边界的什么位置下一个团簇会出现。在这些图像中， Miller和Sheffield 展示了在一个随机二维曲面上Eden生长是如何进行的。

第一幅图展示了在几乎平的——也就是说，不怎么随机的—— LQG曲面上的Eden生长。生长以一种有序的方式进行，形成几乎同心的圆。这些圆在图中以颜色来编码，以记录曲面上不同点的共同生长时刻。

在后续的图像中，Sheffield和Miller展示了在随机性逐渐增大的曲面上的生长。生成曲面的函数中的随机性的大小由一个常数γ控制。随着γ增大，曲面变得越来越粗糙——出现了更高的峰和更低的谷——而曲面上的随机生长也同样采取了一种不那么有序的形式。在前一幅图里，γ是0.25。在下一幅图里，γ被设置成了1.25，从而在构建曲面时引入了5倍大的随机性。在这一不确定曲面上的Eden生长也同样扭曲了。

当γ被设置成三分之八的平方根（约等于1.63）时，LQG曲面起伏得更加剧烈。它们获得的粗糙度也与布朗地图的粗糙度匹配，从而允许在这两个关于随机几何曲面的模型之间进行更直接的比较。

在如此粗糙的曲面上随机生长以一种非常不规则的方式进行。对它进行数学描述就好比想要预料飓风中的微小压力涨落。可Sheffield和Miller意识到，他们必须弄清在非常随机的LQG曲面上如何建模Eden生长，以便建立与（非常随机）的布朗地图上的距离等价的一个距离结构。

“弄清如何在数学上严格化（随机生长）是一块巨大的绊脚石，”Sheffield说道。他提到沃里克大学的Martin Hairer就是因为克服这类障碍获得了2014年度的菲尔兹奖。“你往往需要某种惊人的诀窍来实现它。”

随机勘探

Sheffield和Miller的诀窍基于一种特殊形状的随机一维曲线，它与随机游走很像，只是从不与自身相交。很久以前物理学家就已经在不同场合遇到过这类曲线了，比如当他们研究带正自旋和负自旋的粒子团簇的边界时（粒子团簇之间的边界线是一条从不自我相交的一维路径，并且形状随机）。他们知道这种随机的、不自交的路径在自然中会出现，正如Robert Brown观测到随机相交路径在自然中出现一样，只是他们不清楚如何以何种精确方式去考虑它们。1999年，当时在华盛顿州雷德蒙德市微软研究院的Oded Schramm引入了SLE（Schramm-Loewner Evolution的简称）曲线作为典范的不自交随机曲线。

Schramm在SLE曲线上的工作是随机对象研究中的里程碑。人们普遍认为，要是他能早几周时间发表这些工作，一定会获得菲尔兹奖（菲尔兹奖只颁给40岁以下的数学家）。Schramm在2008年的一次远足事故中丧生。事实上，两个合作者发展了他的工作并获得了这一奖项：Wendelin Werner于2006年，而Stanislav Smirnov于2010年。从根本上说，SLE曲线的发现使得关于随机对象的许多其它问题的证明成为可能。

“正因为Schramm的工作，物理学中许多在物理层面被视为正确的东西突然进入了可以数学证明的领域，”Sheffield说，作为Schramm曾经的朋友和合作者。

对于Miller和Sheffield来说，SLE曲线最终以一种出人意料的方式起到了作用。为了在LQG曲面上测量距离，进而说明LQG曲面和布朗地图一样，他们需要找到一种方法来建模随机曲面上的随机生长。 SLE正好胜任。

“‘顿悟’时刻出现在（当你意识到）可以利用SLE构造（随机生长），而SLE与LQG之间存在联系，”Miller说道。

SLE曲线伴随着一个参数，κ，它扮演着与LQG曲面中的γ相似的角色。γ刻画着LQG曲面的粗糙程度，而κ刻画着SLE曲线的“弯曲”程度。当κ很小时，曲线看起来就像是直的。而当κ增大时，更多的随机性被引入到构建曲线的函数中，使得曲线变得更不规则，不过仍满足可以从自身反弹开但从不相交的规则。下面是一条κ等于0.5的SLE曲线，再下面是一条κ等于3的SLE曲线。

Sheffield和Miller注意到当将κ的值调大到6，而γ的值调大到三分之八的平方根时，画在随机曲面上的SLE曲线遵循某种勘探过程。得益于Schramm和Smirnov各自的工作，Sheffield和 Miller 知晓当κ 等于6时，SLE曲线遵循某种“盲目探索者”的轨迹，当她行进时留下踪迹来标记路径。她会尽可能随机地移动，而每当她碰到已经走过的一段路径时，会从那一段走开，以免与自身路径相交或是陷入死胡同。

“（探索者）发现一旦她的路径碰到自身就会切除一小块地方，因为这块地方被路径环绕，从而永远无法再次访问，”Sheffield说道。

Sheffield和Miller接着发现细菌生长模型，Eden 模型，在随机曲面上扩张时也会有相似的效应：它在生长的时候也会“掐掉”一块领地，并且之后永远无法再次访问。被生长的细菌菌落切掉的领地块跟盲目探索者切掉的看起来完全一样。此外，在任何时刻盲目探索者对随机曲面外部未探索区域所掌握的信息跟细菌菌落掌握的也完全一样。二者唯一的差别在于，细菌菌落同时从它的外部边界上的所有点进行生长，而盲目探索者的SLE路径只会从其顶部生长。

在2013年发布在网上的一篇论文中，Sheffield和 Miller做了这样的设想，如果每过几分钟，就把盲目探索者魔术般地传送到已访问疆域的边界上的一个随机新位置，会发生什么情况。通过在边界上四处移动，她实际上会同时从所有边界点生长她的路径，就像细菌菌落一样。于是他们可以借用已经理解的东西——SLE曲线如何在随机曲面上行进——并结合一些特殊设定来证明，曲线的演化严格描述了他们一直无法理解的过程，随机生长。“在SLE和生长之间有些很特殊的关联，”Sheffield说，“就好像某种神迹，让一切都变得可行了。”

通过精确理解随机生长在LQG曲面上的行为可以得出这些曲面上的距离结构，而这与布朗地图上的距离结果完全吻合。于是，Sheffield和Miller将随机二维形状的两种不同的模型融合成了一个一致的、数学上清晰的基本对象。

变随机性为工具

Sheffield和Miller已经在科学预印本网站arxiv.org上发布了他们关于LQG与布朗地图等价的证明的前两篇论文；他们打算在这个夏末公布第三篇也是最后一篇论文。这一工作使得人们得以在不同随机形状和过程之间进行推理——以探索随机不交曲线，随机生长，以及随机二维曲面是如何彼此联系的。它是在随机几何研究中可能出现的日益精妙的结果的示例之一。

“这就好比在一座山里有三个不同的洞穴。它们分别有铁，金子，和铜——突然你找到了一条路径将所有这些洞穴都连接起来，” Sheffield说，“于是你拥有了这三种能用来造东西的不同元素，可以将它们组合起来造出各种各样之前没法造的东西。”

还有许多问题是未知的，比如，当 LQG曲面相比当前论文里用到的不那么粗糙时，SLE曲线、随机生长模型以及距离测量之间的关系是否还成立。从实用的角度来看，Sheffield和Miller的结果可以用于描述真实现象中的随机生长，例如雪花，矿物沉积，以及洞穴中的树枝石等，但仅当这一生长发生在随机曲面的想象世界之中时。至于他们的方法是否能应用于我们身处其中的普通欧氏空间，让我们拭目以待。