Zmn-1410 薛问天: 正确认识数理逻辑中的【蕴含】。评黄汝广《1408》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对黄汝广先生的《Zmn-1408》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

正确认识数理逻辑中的【蕴含】

评黄汝广《1408》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，数理逻辑中的蕴含。

我们要正确认识数理逻辑中的蕴含，它不同与日常用语中的对蕴含的通俗理解 。它有严格地定义。

众所周知，蕴含命题p→q的基本特征，即如何由p和q的真值组合来决定p→q的真值，有四条规定。当(a)p为真q为真时，p→q为真。当(b)p为真q为假时，p→q为假。当(c)p为假q为真时，p→q为真。当(d)p为假q为假时p→q为真。 因而蕴含命题p→q的所有特征和内容，都可由此【基本特征】推出。

由于逻辑中的真值遵守排中律，命题的真值只有真假两种情况，p和q的真值组合只有这四种情况，p→q的真值只有为真和为假两种情况，所以基本特征也可等价地说成是:(1)，p→q为真，当且仅当，p和q的真值组合只可能是(a)或(b)或(C)，不是(d)。

也可等价地说成是:

(2)，p→q为真，当且仅当，p和q的真值组合中，如果p为真时，则q一定为真不为假，而且，如果p为假时，则q可真可假，即p和q的真值组合中，当p为真时只能是(a)不是(b)，当p为假时可能是(c)或(d)。

也可等价地说成是:

(3)，p→q为真，当且仅当，p和q的真值组合中，如果q为假时，则p一定为假不为真，而且，如果q为真时，则p可真可假，即p和q的真值组合中，当q为假时只能是(d)不是(b)，当q为真时可能是(α)或(c)。

由于逻辑只考虑命题的真值，是对命题的语义作了抽象。所以我们也一定要注意逻辑中的蕴含式，同日常用语中的各种对蕴含的通俗理解的不同。比如p=[太阳从东边升起]。q=[猪不会飞]。由于太阳的升起同猪会不会飞没有语义上的关联，所以日常用语的习惯中，不认为这个p→q，[太阳从东边升起]→[猪不会飞]是蕴含式。但是在逻辑上，由于p=[太阳从东边升起]，p是真的，q=[猪不会飞]是真的，p和q的真值组合是(a)p真q真，所以认为p→q，即[太阳从东边升起]→[猪不会飞]是真的蕴含式。而且根据蕴含式的基本特征的(b)(c)和(d)，认为[太阳从东边升起]→[猪会飞]是假的蕴含式，同时还认为[太阳从西边升起]→[猪不会飞]，[太阳从西边升起]→[猪会飞]都是真的蕴含式。

显然当p和q带参数x时，蕴含命题p(x)→q(x)的基本特征也是如此。p(x)→q(x)的真值由p(x)和q(x)的四种真值组合来决定。

如果用集合论的观点来描述。我们把x看作是U(全集)中的元素，所有x∈U。我们定义集合P=｛x∣x∈U且p(x)为真｝，Q=｛x∣x∈U且 q(x)为真｝。即规定x∈P当且仅当p(x)为真，x∈Q当且仅当q(x)为真。而且规定U-P是P的补集合，U-Q是Q的补集合，于是规定x∈U-P当且仅当p(x)为假，x∈U-Q当且仅当q(x)为假。

那么p(x)→q(x)为真当且仅当P⊆Q。并且容易验证，“P∩Q=P”，“P∪Q=Q”，“(U-P)∪Q=U”，以及“P∩(U-Q)=Ø”，均与P⊆Q等价。大家注意我这里的表述同黄汝广略有不同，黄用的是⊂，我用的是⊆。这因为这里的符号⊆包括【这两个集合有或者相等】的可能。黄用的是∨同∧，我用的是∪和∩，这是因为这是集合要用集合论的符号不要用逻辑符号。

二，有效三段论不是蕴含的本质，而只是蕴含命题的部分推理。

其实我同黄先生观点的不同是他认为这里P⊆Q中的P不能为空，他说【注意这里，P不能为空，】这种观点是不对的。在集合论中是允许集合为空的。即承认Ø(空集)是集合，而且认为对任何集合Q，都有Ø⊆Q。即如果P=Ø，则对任何Q有P⊆Q。′′同样允许Q=U(全集)，而且显然有，如果Q=U，则对任何P，有P⊆Q。这就是蕴含式p(x)→q(x)的两个特例，当p(x)恒假时，对任何q(x)，蕴含式p(x)→q(x)都为真。当q(x)恒真时，对任何p(x)，蕴含式p(x)→q(x)都为真。

我们把如下的推论称为有效三段论。大前提是对任何x都有p(x)→q(x)为真，小前提是对于个体a有p(a)为真。结论是q(a)为真。用集合论的语言来讲，就是当P⊆Q而且有a∈P时，可推出a∈Q。

显然，如果你的推理确切地是针对存在的个体a∈P而言。由于对于任何存在的个体 a（无论是实际的还是想象中的），它都不属于空集，所以说你的这个有效三段论只是适用于部分蕴含式，那些P集为空的蕴含式的性质的推理就不能用这个有效三段论。例如，如果P=Ø，则对任何Q有P⊆Q，当p(x)恒假时，对任何q(x)，蕴含式p(x)→q(x)都为真。这种蕴含式的性质就由三段论推不出来。因而黄先生说【蕴含本质上应是一个省略了大前提的有效三段论】，是不确切的。只能说〖有效三段论只是蕴含命题的部分推理〗才比较准确。

另外还不仅仅只是这些。三段论只涉及p(x)为真的推理。蕴含式还有p(x)为假的一些推理。 例如当P⊆Q时，由a∉Q，可推出a∉P。即大前提是对任何x都有p(x)→q(x)为真，小前提是对于个体a有q(a)为假。结论是p(a)为假。这不算有效三段论，但也常用。

三，对数理逻辑的规定的正确性和在数学中应用的重要意义要有正确认识。

黄汝广先在文中对数理逻辑中关于蕴含规定的质疑我是完全不同意的。

黄先生说【从科学哲学的角度讲，实质蕴含真值表只有一行是没有问题的，即反例（P真Q假）可以证伪P → Q，其他三行都是把未被证伪过度推论为了真或证实。】

要知道尽管有人提出直觉主义逻辑，不使用排中律。但那只是针对不同的領域采用不同的逻辑系统。从科学哲学的角度讲，並没有说明数理逻辑使用传统的逻辑中的排中律是错误的。相反，如果你选用的是数理逻辑，就必须严格遵守排中律，不能只承认【实质蕴含真值表只有一行是没有问题的】，必须承认这四行规定都没有问题。黄先生否定数理逻辑是数学的基础，说【这多少是太一厢情愿了。事实上，数学推理的基础不是实质蕴含】。事实上这才是黄汝广一厢情愿地毫无根据的主观臆断。事实证明多年的数学基础的研究说明，现代数理逻辑是数学研究的重要基础。黄先生举不出任何实例说明数学推理的基础不是数理逻辑中对蕴含的规定。你认为【数学推理的基础不是实质蕴含】，哪又是什么【蕴含】呢？难道是【有效三段论】吗？

黄先生应认识到三段论的推理只是逻辑推理的一部分规律並不是全部。所以黄先生所说的【那些不能还原为有效三段论的“若P则Q”都不是蕴涵式】，的论点是不对的。数理逻辑对蕴含命题规律的描述远远超过三段论所能推理的范围。

黄先生说什么【像“如果猪会上树，那么太阳从西边升起”这类表述，在日常生活中也很常见，但这只是一种用来强调 不可能性的修辞手法，并非蕴涵式。】这是不对的，黄先生应对逻辑学中蕴含式真值的定义作更详细的了解，p假q假是p和q的真值组合属于(d)，它是典型的逻辑中的真值为真的蕴含式。

另外，黄先生对蕴含式真值表的评价，说什么【这个真只一个真值表的约定而已，并不意味着保真性。保真性不能保证，对于推理当然也就没有意义。】也是我们不能接受的。关键是什么是【保真性】，黄先生判断真理的标准是什么，並没有说清楚，並不是在使用大家业界公认的标准，也只不过是黄先生个人的主观约定和想像而己，不足为评。数理逻辑中的推理有严格规定，什么是正确的推理，什么错误的推理都规定得相当清楚。当然逻辑的严格约定对数学研究有非常重大的意义。说什么【保真性不能保证，对于推理当然也就没有意义。】这种毫无根据的对数理逻辑的否定评价显然是错误的。

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