Zmn-1012 薛问天 : 要仔细思考，看错误出在哪里。评师教民《1010》。

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对师教民先生的 《1010》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

要仔细思考，看错误出在哪里。评师教民《1010》。

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

一，关于〖为什么说【不用极限】，指的是形式上的，字面逻辑上的不用，在实质上还是用到了极限概念。〗我已经说得很清楚，〖我们是从事实上和道理上来讨论这个问题。看实际上是否如此。不是讨论谁是怎么说的。不论谁怎么说都要尊重这个事实。我们讨论的是这个事实。〗(1002)

可师教民先生总是在纠缠某某人是怎么说的。说我是把某人的话改错了。这不是我们讨论的问题。我们讨论的问题不是谁怎么说的。而是讨论〖【不用极限】，是形式上的，字面逻辑上的不用，还是在实质上也没用到极限概念。〗

我讲了很多道理来说明是[形式上的，字面逻辑上的不用]。你要反对它，就要讲出你认为[在实质上没用到极限概念]的道理来。

二，关于极限理论有无错误的问题。

师先生说【薛问天先生对我指出的极限理论或第二代微积分的微分功公式的错误还没有回复，这个错误仍然证明着极限理论错误．】

因为师先生所说的所谓【微分功公式】是物理学中的事，根本就不是

第二代微积分和极限理论，所以我们不予讨论。希望师先生不要扯得太远，还是紧紧围绕着第二代微积分和极限理论的基本问题来讨论。

师先生说【请大家要牢牢记住：薛问天先生已默认极限理论错误．】这是师先生的妄想。我在《1002》中说得很清楚〖第二代微积分有沒有错误，这是关键〗，〖我撰写文章的目的，就是对师先生提出的他认为是错误的地方，指出没有错误。〗怎么会【默认极限理论错误】。

三，从师先生的【再多说几句】中

看出他还没有认识到的错误。请师先生仔细思考，看错误出在哪里。

1)，师先生没学懂极限，他竟然不知道〖函数变量y=f (x)随自变量的变化而变，当自变量x无限趋近于a时，函数变量无限趋近于常数B．〗这就是〖当x→a时，函数f(x)的极限是B，〗的基本含义。

要知道变量的这种变化，即无限趋近于B，就是极限等于B。师先生连这点都不懂还说【上述的只是函数中的变量变化的情形，并未阐明【无限趋近于】或【极限】概念。】这已充分说明究竟是谁【真不知道【无限趋近于】是什么，真不知道极限是什么！】

师先生毫无根据地得出【极限概念及其导数概念真的不是来源于客覌实践了】的结论是相当荒谬的。函数变量的变化，以及这种无限趋近于某常数的变化，当然是在大量的实践中研究发现的，怎么能说极限不是来源于客观实践？

2)，师先生就沒学懂极限，把求极限的运算，叫【去掉极限符号】。他说【试想一下，如果永远不去掉极限符号，那么就永远得Lim[dx→0](2x) +Lim[dx→0](dx)而永远得不出导数2x来，故必须去掉极限符号．】

我告诉师先生这个最基本的常识，这是求极限运算，不是【去掉极限符号】。因为Lim[dx→0](2x)=2x，Lim[dx→0](dx)=0，所以Lim[dx→0](2x) +Lim[dx→0](dx)=2x+0=2x。这些都是严格根据极限规律作出的推论。哪里像师先生所说【不管这极限符号是怎样去掉的，反正是去掉了．】我批评的如此清晰，师先生竟然说【未敢回复我的这句话】。这就充分说明了究竟是谁【理屈词穷】！

3)，我发現师先生的逻辑常常不注意我们是什么前提条件下讨论问题的。所以常得出错误的结论。例如他认为我说的〖只有在函数F (dx) 是连续函数时才有【G (dx) 的极限值和F (dx)的函数值实际是一回事】〗是错误的。要知道这句话是在dx≠0时G(dx)=F(dx)，从而G(dx)和F(dx)的极限值相等的前提下讨论的，当然是正确的没有错误。而且这句话是在批评师先生所说的【G (dx)的极限值和F (dx)的函数值实际是一回事】是错误的而说的。师先生这句话的错误就在于没有说函数F (dx) 是连续函数这个重要条件。

4)，大家都知道，我们是用求y=x^2的导数的例子来举例说明导数的定义的。但是师先生却说【两次把我的原有观点擅自改成【用这个例子来谈二代微积分的导数定义】后再回复我，】说他不是【用这个例子来谈二代微积分的导数定义】。这就奇怪了，你不是举例说明导数的定义，你举这个例子做什么？

师先生说【函数F (dx)=2x+dx (dx可等于0)肯定是初等函数，初等函数肯定是连续函数，这些内容早已成了常识，还需要我再明确说明F (dx)=2x+dx(dx可等于0)是连续函数吗？】

举例求导数，就是按导数的定义来求导数，在导数的定义中求的是F(dx)的极限值，你不说该函数是连续函数，就用F(dx)的函数值作为导数当然是严重的错误。师先生【连这点儿小小的常识都不知道，难道就不觉得很可笑吗？】

5)，关于正反函数，我己分析得相当清楚。正反函数是复合函数的特例。师先说他没有说【用的是正反函数构成的复合函数】，这不是由他说或没有说来决定的。

正反函数x=g(y),y=f(x)是复合函数的特例，即其中x=g(y),y=f(z)的f和g恰恰互反，从而它的复合函数是恒等函数，即x=h(z)=g(f(z))=I(z)，而且令变量z为变量x。在正反函数中讨论的就是这个复合函数，这个复合函数是恒等函数x=I(x)=x，左边是因变量右边是自变量。即正反函数是复合函数的特例。特例是指f和g恰恰互反，和令变量z为变量x。

师先生说【薛问天先生把我的原文擅自改成【正反函数构成的复合函数】，把我的f (x)改成f (z)，这就不再是我的观点了． 】

这不是【改】，正反函数就是复合函数的特例。y=f(x)就是y=f(z)，把z换成x的特例。特例必须满足在一般下成立的规律。如不满足，这就是你的观点的错误。

师先生还说什么【当z≠x时，y=f (x)，x=g (y)就不是复合函数x=h (z)的特例了．】这根本是在乱说。由于f和g正好互反，所以它们的复合是恒等函数。x=h(z)=g(f(z))=I(z)=z。因而师先生所说的【当z≠x时】根本就是这里不存在的情况。

另外，我们说正反函数是复合函数的特例，就是说正反函数的规律一定要符合复合函数的规律。不是师先生所说的【那么还把f (x)改成f (z)干吗呢？直接用正反函数y=f (x)，x=g (y)岂不更好？】

师先生讨论问题在逻辑上对不上号。我们说的是正反函数【是】复合函数的特例。你不同意就应该说出它【不是】特例的理由，而不是在说不出理由的情况下，去乱问干吗要把f(x)【改为】f(z)，豈不直接用正反函数【更好】。

所以关键是师先生不承认正反函数是复合函数的特例，但却又讲不出任何反对的理由。

6)，师先生对微分认识的错误，在于他沒有认识到微分不仅同变量有关，还同函数有关以及同是该函数的因变量还是自变量的微分有关。例如函数x=g(y)，g是编号为2的函数。则dx2就是函数g的因变量微分。dy2就是函数g的自变量微分。再例如函数y=f(x)，f是编号为1的函数。则dy1就是函数f的因变量微分。dx1就是函数f的自变量微分。

而函数的导数则必须是该函数的因变量微分/该函数自变量的微分。例如函数g的导数是dx2/dy2，函数f的导数是dy1/dx1。

师先生的错误就在于，他没有认识到他所说的【以x1为自变量，以y1，y2分别为第1，2中间变量，以x2为因变量的函数】，说准确点，是【以x为自变量，以y为中间变量，以x为因变量的函数】，这就是x=g(y).y=f(x)的复合函数x=g(f(x))=h(x)。它已不是编号为1和2的函数g和f了，而是编号为3的函数x=h(x)。它的导数师先生错误地说成是dx2/dx1 。正确的当然应当是dx3/dx1。其中以x为自变量的函数的自变量微分都等于Δx，是相等的。所以编号为3的自变量微分可以用dx1表述。

说清楚了吧，师先生错就错在把d3写成d2了。这就是师先生(5)式的错误。由导数等于1得出的结论是dx3=dx1，而不是dx2=dx1。因而师先生推出的矛盾并不存在。第二代微积分沒有错。

7)，关于师先生所说的【瞬时速率为瞬时内走过的路程与瞬时之比】的错误。

首先要明确一点，关于瞬时速率的定义，这是物理学的内容，不是数学中的概念。在数学中只有函数和导数的定义。

在数学中把函数y=f(x)增量比Δy/Δx在Δx→0时的极限称为导数。

数学有高度的抽象性，和广泛的应用性。导数在几何学和物理学中有具体的应用。

在几何学中函数y=f(x)可以表示为一个以x和y为坐标的平面上的曲线。增量比Δy/Δx即表示割线的斜率。导数即为切线的斜率。因为当割线的跨度Δx趋近于0时，割线的极限就是切线。所以割线斜率的极跟就是切线的斜率。

在物理学中函数s=f(t)可以表示为一个物体的非匀速运动，在时间t时物体运动的路程s=f(t)。增量比Δs/Δt即表示在Δt时间内的平均速率。导数即表示为瞬时速率。因为当时间跨度Δt趋近于0时，平均速率的极限就是瞬时速率。

显然从导数的定义可以看出，这里求增量比时，增量Δx不能等于0。导数的定义是Δx趋近于0时，增量比的极限，而不是Δx=0时，增量比的值。要知道在Δx=0时，增量比就没有值。

同样，在几何中的割线，跨度Δx也不能等于0。切线的斜率是跨度Δx趋近于0时割线斜率的极限，而不是跨度Δx等于0时，割线的斜率。要知道在跨度Δx=0时，就不存在割线。

同理，在物理学中的运动，时间跨度Δt也不能等于0。瞬时违率是跨度Δt趋近于0时平均速率的极限，而不是跨度Δt等于0时，平均速率的值。要知道在跨度Δt=0时，Δs也等于0，就不存在平均速率。

所以说师先生所说的【瞬时速率为瞬时内走过的路程与瞬时之比】是完全错误的。因为瞬时的时间跨度Δt是0，就没有【瞬时内走过的路程】，或者说Δs=0，因而不存在【瞬时内走过的路程与瞬时之比】，不能用它来定义瞬时速率。瞬时速率必须用跨度Δt趋近于0时平均速率的极限来定义。

显然，师先生的错误源于对物理学中速度概念的误解。物理学的速度概念首先出于匀速运动。把运动的路程同所用时间的比称为运动的速度。但对于非匀速运动如何定义速度呢。就用在时间跨度Δt内走过的路程Δs与Δt之比来定义这个时间跨度下的平均速率。显然对于非匀速运动，当Δt取不同值时，平均速率Δs/Δt是变化的。我们已经讲过，平均违率的这个时间跨度Δt不能等于0，不能用Δt=0时的Δs/Δt来定义瞬时速率，即不能用【瞬时内走过的路程与瞬时之比】来定义瞬时速率，而是用Δt→0时平均速率的极限，即当Δt无限接近于0时，平均速率无限接近的数值来定义瞬时速率。

所以说，①师先生认为用【瞬时内走过的路程与瞬时之比】来定义瞬时速度是物理学中的定义是错误的。在物理学中平均违率的这个时间跨度Δt不能等于0，沒有【瞬时内的平均速率就是瞬时内走过的路程与瞬时之比】这样的定义。这是师教民先的主观臆想。

②不是师先生所说的【第二代微积分不知道瞬时包含多少时间．连瞬时的内容都不知道，】而是人人都知道，瞬时指的就是时间跨度Δt=0，瞬时内走过的路程Δs=0，所以不能用Δt=0时的Δs/Δt来定义瞬时速率，

③用Δt→0时平均速率的极限，来定义瞬时速率的正确性，就表现在它说清了瞬时速率和平均速率的正确关系。即当Δt无限接近于0时，平均速率无限接近瞬时速率。

8)，综上所述，师先生的主要问题，是还未经过认真思考，认清他的错误所在。他把对他的这些具体错误的批评，看作是【改换观点】，【大说瞎话】，甚至说是在【抄袭极限理论的概念、公式】。所从我的建议是，师先生应当对上述这些具体问题，仔细思考，认清在这些问题上自己的错误究竟出在哪里。只有这样才能得真正的提高。

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項，来查找本《专栏》的其它文章。】，