第一节：一枚硬币与waterells

 很多时候，一些很小的举动可能带来一些意想不到的东西。当打开水龙头，水往下流出，这个时候如果遇到一个障碍物会怎么样呢？哦！肯定是飞溅出去了对不对？这个答案似乎是对的，但是又没有那么简单，当我们用一枚硬币如下图所示放置便产生了美妙的waterbells。

Fig.1 Waterbells

 Waterbells是一个很经典的问题，1833年的时候Félix Savart的一系列文章中对waterbells的条件以及相关的影响因素进行了系统的分析。之后又有Boussinesq（1869）在理论上对waterbells的形成的研究，之后还有许多人都对这个经典的问题非常感兴趣并做了许多细致的分析，包括它的形成、形状、内部的气体运动等等。

 之所以大家对之一直饶有兴趣，因为它实在是太美丽了，大自然能够给我们带来的惊喜确实是非常棒的一件事情，只是，现在对于我们而言，知道的依然不够。

第二节：是waterbell，而不是一个气泡

Fig.2 一个用来描述气泡(a)以及waterbell(b)的草图

  Fig.1中的右图看上去是个较大的气泡，然而，它真的是气泡吗？如果不是，那么waterbell与气泡又有什么区别呢？Fig.2中的a图是一个气泡的图略，对于一个气泡而言，选定的微元的表面积S，法向向量 $\underset{n}{\rightarrow}$ 以及微元的质量M由气泡内外压强差导致的压力以及气泡表面的毛细力，其中R₁和R₂分别为在平面上的曲率，1和2表示取定的微元的内外两个面。故而，气泡的内外力的平衡可以表示为

 对于肥皂泡而言，R₁=R₂=R，最终可以得到。

而对于b图中的waterbell而言，此时，忽略重力的作用，内外的压强差不存在，微元的质量为，由向心力与毛细力的平衡可以得到

对于之前的气泡而言，R₁和R₂可以任意对调而不会对结果有任何影响，然而此时，对于waterbell，R₁和R₂的对调将不能够进行，因为和表面张力相反的力仅仅依赖于曲率1/R_1。此时，Waterbell是否闭合取决于微元外部的曲率。

第三节：Waterbells的形状

 经过许多伟大的物理学家的研究(Boussinesq (1869),Taylor(1959)，Clanet (2001))，Waterbells的形状由水流的惯性力、表面张力以及重力的平衡决定。

Fig.3 waterbell形状的推导用的图示

 通过Fig.3的图示来推导关于waterbell的形状。其中，平面上的曲率表示为。由质量守恒原理可得，其中，是r处的平均速度。此时的流体认为是内部无旋转的，即流体不会从A->B->C->D->A，也就意味着waterbell中由内部到外部的速度的变化规律为

稳态的无旋流动的欧拉方程为可得，其中。其法向分量沿着A->B积分可得

其中 $\Delta p$ 为内外压强差，C_A，C_B为在A,B处的总曲率，方程的左边可以利用展开式示为，总曲率C_A，C_B可以分别表示为

C_A+C_B可以表示为，所以之前得到的描述waterbell形状的方程可以改写为

其中速度和长度分别用U₀和进行无量纲化，，度量重力的影响的项，度量压强差的影响项为.

t方向的分量可得，其可积分得到

当取 $\varepsilon \rightarrow 0$ 的极限，即韦伯数很大的时候，系统变成了1959年Taylor考虑的情况即

 为了对相应的结果进行验证，一个研究流体力学道路上的年轻小伙子S.Wildeman对其做了一个有趣的验证，他在自己宿舍用简单的工具得到了一个漂亮的waterbell，然后结合他推导得到的相应条件下的waterbell的形状方程，理论的结果和他做出来的waterbell完美的吻合，简直是一种难以置信的美。

Fig.4 S.Wildeman做出来的waterbell与理论计算结果的比较,蓝色的线为理论计算的结果

第四节：其他

 对于waterbells的研究，它的稳定性问题一直得到了很多关注。另外，有许多研究者专门研究了旋转的waterbell以及多边形的waterbell，甚至是当一个固体或者小液珠击打到液体表面时，产生的反向的waterbell。这些研究丰富了我们对于waterbells的认识，更让我们感受到了大自然的更多美丽的东西。

Fig.5 左图为多边形的waterbells，右图为旋转的waterbells

 最近几年，H.Lhuissier & E.Villermaux（2012）还研究了当流体的流量减小后，waterbells的表面褶皱的的许多细节问题。

Fig.6 流量急剧减小产生的表面褶皱的waterbells

关于waterbells的更多的知识，可以参考Clanet(2001，2007)的文章，里面包括了更多的计算细节以及相关话题的讨论。此外，关于waterbells的还未被人们了解的问题在Clanet的文章中也有仔细的介绍。

作为研究道路上以及热爱生活的美好的每个我们，未来还有许多挑战等待我们去克服。现在，安静下来，好好看看书，思考问题，然后，拿起笔和纸，让更多深刻的，美丽的奥妙在公式与文字中飞舞吧！

参考文献：

1.      G. Taylor, The dynamics ofthin sheets of fluid - I. Water bells, Proc. R. Soc. A 253, pp. 289-295(1959).

2.     C. Clanet, Dynamics andstability of water bells, J. Fluid Mech.430, pp. 111-147 (2001).

3.     C. Clanet, Waterbells andLiquid Sheets, Annu. Rev. Fluid Mech. 2007. 39:469–96.

4.      http://www.phikwadraat.nl/water_bells/.

5.   H. Lhuissier, E. Villermaux, Crumpledwater bells, J. Fluid Mech.693 pp.508-540 (2012).

6.      E. Dressaire, L. Courbin, A.Delancy, M. Roper, H. A. Stone, Study of polygonal water bells:inertia dominated thin film fows over microtextured surfaces, J. Fluid Mech.(2013),721 ,pp.46-57.

7.      F. H. Bark, H.P. Wallin, M. G.Gallstedt, L. P. Kristiansson, Swirling water bells, J. Fluid Mech.(1979),90 ,pp.625-639.