有本书是我上大学时经常躺在床上看的，这就是狄拉克 1930年写的《量子力学原理》一书的英文版。说句实话，看了大学的量子力学教材，算是会算，但没怎么弄明白。看了狄拉克的书，而且是看了多遍之后，概念清楚多了。从狄拉克的书出版，到我那时已经过了半个多世纪，轮到我学量子力学，还得看他的书，可见人类的知识传承并非易事。我从狄拉克书里学到的最有用的东西之一，就是 <bra| 与 |ket> 符号，简便到可以不动脑子 -- 为什么数学符号起到这么大作用，也许是哲学研究的问题。但是要知道，<bra| 与 |ket> 跟量子力学并无直接关系。下面我用偏振的例子说明。除非我明确提到量子，读者不要以为我是在讲量子力学。

狄拉克的书中有个例子，是一个三个偏振片的光学实验：两个互相垂直的偏振片可以把光完全挡住，中间插入一个斜着的偏振片，倒是有光通过了。这完全是一个经典电磁学可以解释的物理现象。

首先从下图看看什么是偏振：

上面的图应该很清楚。绳子传递的波振动方向与波传播方向垂直，这叫做横波。上图右边因为狭缝竖着，而绳子振动水平，波就传不过去。上面是一个直观的偏振现象，也是显然的事情。

牛顿光学理论里，光是由很多小粒子组成的，但是后来人们发现光有干涉与偏振现象，这使 Thomas Young  提出光是一种横波。后来，麦克斯韦总结一组方程，提出了电磁波的理论，认为光就是电磁波，于是光波的概念成了物理学的定论(直到爱因斯坦提出光子概念)。

现在我们来看看光的偏振现象（注意这是经典物理，与量子无关）：图中偏振片只允许垂直方向的电场通过，蓝色箭头表示入射光的总电场，也就是说入射光的偏振方向与偏振片的偏振方向夹角为 θ，紫色箭头表示电场在偏振片方向的分量，光线经过偏振片后，就只有这个紫色的分量了。

从数学上这是一个中学的矢量分解，对着光线看去，设其垂直方向为 y, 水平方向为x , 则入射光在通过偏振片之前的电场可以表示为

$\vec{E} = E \sin\theta \hat{x} + E\cos\theta\hat{y}$

其中 x^,y^ 是两个方向的单位向量, 我们换个符号将其分别用  ∣↔⟩,与∣↕⟩表示。那么上述式子写成

$\vec{E} = E \sin\theta \mid \leftrightarrow\rangle+ E\cos\theta \mid\updownarrow\rangle$

狄拉克的bra-ket 符号也不只是量子系统才能用，上面仅仅是符号的变化，完全是经典物理与简单的向量分解。在经典物理中，光的强度正比于电场的平方，因此经过偏振片后的光强度为原来的 $\cos^2\theta$ 。

三个偏振片的物理实验所以完全可以用经典的电磁学解释计算。那么狄拉克在其书中到底在说什么呢？他是在说如果只有一个光子，怎么解释这个偏振现象。对于一个光子，其分解方程跟上面几乎是完全一样的：

$\mid\nearrow\rangle = \sin\theta \mid \leftrightarrow\rangle+ \cos\theta \mid\updownarrow\rangle$

但一个光子只有一条命，或者能够通过，或者不能通过，没有什么半个光子，这跟经典电场可以任意分解不同。对于光子来说，上面的式子的意义不是说光子被分成了两份，而是说这个斜着偏振的光子的量子态可以视为两个互相垂直偏振的量子态的叠加，前面的系数是其几率振幅（平方是几率）。在量子理论里，这个偏振光子处于垂直偏振的几率是 $\cos^2\theta" style="font-family:tahoma,$ ， 这也就是它通过偏振片的几率。计算如下:

偏振片： $\mid\updownarrow\rangle\langle\updownarrow\mid$

出射光是偏振片对入射光的 作用： $\mid\updownarrow\rangle\langle\updownarrow\mid$ $\mid\nearrow\rangle$ = $\cos\theta \mid\updownarrow\rangle$

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