今天，和大家谈谈数学模型的抽象之美。

先来谈一谈什么是抽象。

抽象在数学上是对某类事物共性的一种描述，是认识复杂现象使用的思维工具。建模时，抽象分析就是要抽出事物的本质特征、“个性”的东西（可能会与某个“个性”相符合），而暂不考虑它的一些细节因素。

抽象美是数学美的一个重要的方面。

许多的概念，比如圆、极限、点、积分，等等。这些都是从众多事物的共同属性特征得到的，抽象是对某类事物共性的描述，是我们认识复杂过程中使用的重要思维工具。

英国数学家怀特·海德说过:“数学是从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行的研究”。

抽象并不是数学独有的特征，任何一门科学和艺术也都有抽象。

比如，在绘画中，抽象有着重要的应用。

有些画，你可以看出一些“是”又“不是”的东西，这就是因为抽象作用的结果。

比伟大的毕加索小12岁、比抽象画大师达利大11岁的米罗（Miró，1893年—1983年），被称为20世纪的超现实主义的艺术大师。

他的作品被广泛认为充满了异想天开的童趣，有着儿童般的直觉想象力，纯真简单，洋溢着欢悦。

“超现实主义之父”布勒东这样说：“米罗是我们所有人中最超现实的一个。”

这些“抽象画”，貌似信手涂鸦，其实，米罗从具象到抽象的过程经过了极为缜密的思考、是精心设计的结果。

从米罗作品中我们可以看出所形成的具象已经被抽象成为简约的符号。

这可以从他的作品中看到。

那么，数学抽象，大家知道一提起来数学，我们知道抽象是它的三个性质之一。

数学的抽象性，既是数学的一个特征，同时也是最让人畏惧的东西。

数学抽象有什么特点？

第一，在数学的抽象中，只保留量的关系和空间形式而舍弃了其它的一切；

第二，数学的抽象是一级、一级地提高的，它所达到的抽象程度大大超过了其他学科的一般抽象；

第三，数学的本身几乎完全就周旋于抽象的概念和它们的相互关系之中。

也就是说离开抽象就没有数学了。

对于那些我们不容易“想象”到的抽象，数学要在原始概念和公理的基础上，通过推导、证明、计算，然后得到相关的结论。

对于那些我们无法体验到的，或和现实比较脱节的抽象，又恰恰体现着数学本身所具有的独特的魅力，从而激发起人们强烈的好奇心和征服欲，去建立新的理论和方法。

数学的抽象可以把人们摆脱周围事物的纷扰，使事物的本质处在一种 “纯洁”的气氛当中。怎么理解这个“纯洁”二字？那就是脱离一些比较具体的物象。虽然这种气氛距离具体经验可能还有漫长的距离。

在我们追求终极真理的过程中，数学的抽象美是一种十分崇高的美。

我们再看看数学家和抽象的关系。

我们一提抽象，常常会产生一种畏惧感。

而对数学家而言，当他的思想变得更加抽象的时候，他会发现越来越难以用物理世界检验他的直觉。

于是，为了证实他的直觉，就必须更加合理地下定义，更详细地进行推理和证明，以求达到更高水平的精确性。

数学中许多新的概念、新的学科、新的分支的产生，都经过了“抽象分析”的过程。

那么，数学模型的抽象美怎么体现？

数学模型是应用的工具。建模时可能很看重问题的实际背景，有具体的物象。但是，抽象恰恰是数学建模必不可少的手段，也是建模人数学能力的一种重要表现。

抽象分析是数学建模时一种非常重要的方法。可以说，真正有价值的数学模型都经历了高度抽象的过程。

哈尔莫斯说：“画家讲究结构、线条、造型、肌理，而数学家则讲究真实、正确、新奇、普遍。数学家因为对发现的纯粹爱好和其对脑力劳动产品的美的欣赏，创造了抽象和理想化的真理。”

伟大的伽利略曾经硕果这样一段话：他说“我们生活在受精确的数学定律制约的宇宙之中。而数学正是书写宇宙的文字。物理、化学、工程乃至许多科学技术领域中的基本原理，都是用数学语言表达的。”也就是说，只有我们依据数学抽象的特点，巧运新思，才能建立优美的数学模型。

牛顿把天体想象成、抽象成一个质点，他推出来了万有引力的公式，建立了科学上具有重要意义的数学模型——万有引力模型。

再谈谈01模型。

并体会一下01这个数学模型中的抽象美。

谈起二进制，我们马上会想到0和1。0和1独特的运算方法恰恰发源于我们中华民族。

回溯到公元前1000多年。那个时候有一本著名的经书《周易》。

古人在编排《周易》标题的时候，巧妙使用了两种符号。

第一个符号看上去像一个横，称为“阳爻”。第二个符号是两个横，称之为“阴爻”。

这两爻合称为两仪，对两爻进行组合。每次取出两个符号，做一次排列的话。我们可以组成所谓的四象。每次取出三个再做排列，就可以组成为八卦。“两仪生四象，四象生八卦”。依次的进行下去，可以得到64种排法。于是就组成《周易》全书64个挂爻辞的标题。

《周易》长期以来一直为大学者、大智慧家们所推崇，但是也困扰着后人。其中究竟蕴藏着什么样深奥的道理呢？

在公元十七世纪，一位名叫鲍威特的德国传教士就把中国的这个《周易》和两幅术士们绘制的“易图”带给了德国大数学家莱布尼茨，莱布尼兹对此表达了极大的兴趣。他虽然对中文不怎么精通，但是那种神秘的八卦和由此推演出来的“易图”使他浮想联翩，多么巧妙啊。用这两符号就可以出如此严谨的体系，这里一定蕴含着一个美妙的境界。经过冥想苦思，苦思冥想，莱布尼兹产生了灵感。如果我们把《周易》中的阳爻“—”记作1，阴爻“--”记作0，再按照“逢二进一”的法则，就会用所谓的“二进制数”来表示《周易》中的全部标题。例如，我们用0和1符号可依次写出像图片上的00、01、10、11。这叫“四象”。我们还可以写出所谓的八卦。四象生八卦，这样《周易》中的标题就完成了。在《周易》的启发下，莱布尼茨实现了0和1数字化的第一步，并完善了二进制体系的工作。1703年，他发表了《谈二进制算术》，列举了二进制的加、减、乘、除运算的例子，从此确立了二进制学说。正是有了二进制，才奠定了今天电子计算机的运算基础。

在今天的视频、照片、音乐的背后都是用0和1数字依照某一种规则，编码形式的产品。0和1成为信息时代传输信息、实现数字化的重要工具。

再谈一谈概率模型。

数学的抽象美不仅仅描述了现实世界当中的确定性事件（必然事件），同时它还描述了随机事件，也叫偶然事件。

0和1在概率论当中，也有着重要的应用。

概率论起源于中世纪的欧洲，那时盛行掷骰子来赌博输赢，提出了许多有趣的问题，导致了“概率论和数理统计”这门学科的产生。

20世纪的30年代柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义。

所谓概率，描述性地解释就是对随机事件发生的可能性大小的一个度量。

在给它定义的时候，0和 1发挥了重要的作用。必然要发生的事件的概率规定为1，不可能发生的事件的概率规定为0，而其它的概率事件发生的概率介乎0和1之间。

在概率的基础上又发展了发展产生了新的一门学科叫统计学。

统计学是一门具有方法论性质的应用性科学。它在概率论基础上，发展出一系列的原理和方法，研究如何采集和整理反映事物总体信息的数字资料，并依据这些复杂的数据（我们也管它叫样本）来对总体的特征和现象背后隐藏的规律进行分析和推断。

我国数学家严加安院士对概率统计学科有着深刻的领悟，他写了这样的一首“悟道诗”：

随机非随意，概率破玄机。

无序隐有序，统计解迷离。

精辟地揭示了什么是随机和随意，什么是概率和统计。

什么是随意？随意就是带着主观意识的一种随机。

随机现象背后隐藏着某些规律，概率统计的一项基本任务就是揭示这些规律。

概率统计中的模型都十分抽象，却巧妙地解决了大量的实际问题。

数学的抽象性，还成功地刻画了无限和有限的问题。

谈到无限的问题，可以回忆一下十分抽象的极限模型。谈到极限，数学家韦尔曾经说，“这种方法的奥妙在于，它仅对人类宣布有某一个珍宝存在，却没泄露它在什么地方。”

正是有了抽象，人们才可以预见“难以看到”的事实。

著名数学家波利亚，在《数学发现》中指出:“对于一个特例，之所以要进行这样周密的描述，其目的就是为了从中提出一般的方法或模式，这种模式在以后类似的情况下，对于读者求解问题可以起到指引的作用。”

抽象与直觉又不是矛盾的。直觉是指对于一个问题未经逐步分析，仅仅依据内因的感知迅速对问题作出判断、猜想和设想，或者突然产生的“灵感”和“顿悟”，甚至对答案和结果的“预感”、“预测”。

数学、艺术都离不开直觉。

直觉是非逻辑的，是对事物一种直接的迅速的识别和综合判断。

西方现代舞之母伊莎多拉．邓肯（Duncan，1878年—1927年）曾说“我的舞蹈动作是从大自然的源泉中得来的，我的灵感从树林、云彩、海浪以及介于热情和山岚之间、或恬静与微风之间的共感而来。”

建立数学模型时，直觉也十分重要。

但是，抽象有时似乎是“无法直觉”的，其实不然，这是一种更高水平的“直觉”，这种思维活动也是活泼而生动的。抽象和直觉在建模中都是不可缺失的。

抽象不仅可以产生，还可以解释我们现实世界中许多“无法想象”的事实。在这些事实中，如果仅仅是凭直觉的话，有的时候甚至会导致谬误。

而荒谬的东西一定不美，甚至是丑的。所以，直觉和抽象需要并用。

从这一点，我们也可以从反面来反证数学的抽象美是一种高智慧的美。

所以抽象使得数学家能够无矛盾地进行严格的推理，得到了一些我们无论如何也无法想象的结论。