费马（fermat，1601~1665）被人们称为业余数学家之王，因为他的正经职业是律师，数学不过是他的业余爱好。但正是这个业余爱好使他名留青史。费马对数论独有情钟，在·数论中留下许多猜想。一个数学命题，没有被证明之前，叫做猜想，如果被证明了就成为了“定理”。比如现在已经有的“费马大定理”、“费马小定理”，原来都是猜想，后来被证明了，升级成了定理。

猜想也可以被“证伪”，就是如果你能举出一个反例的话，就说明这个猜想不成立，再也不可能被“证明”了。在费马的猜想中，就有一个这样的例子，把它叫做费马数猜想，简介如下。

在1640年，费马提出了一个猜想，认为当n是非负整数时，如下定义的F_n都是质数。

后人把从如上公式算出来的数叫做“费马数”。

费马当然不是随意地胡乱猜想，起码自己计算了一下前面几个数：

当n=0时，

当n=1时，

当n=2时，

当n=3时，

当n=4时，

不难验证这5个数都是质数，那么当n=5呢？F₅ = 2³² 还是可以算出来的，但是，数值比较大，是不是质数呢？分解起来就有点麻烦了，但费马认为也应该是质数。因此，费马适可而止，留下一个猜想：费马数都是质数！

这个猜想的命运如何呢？几乎100年之后，出了一位喜欢玩数论的年轻人叫欧拉，否定了这一猜想。欧拉计算了第6个费马数，并且将其分解成了两个数的乘积：

尽管欧拉已经否定了费马的结论，这个猜想未能修成正果，不能上升为定理，但仍然吸引不少研究者的兴趣。

事实上，n=5~11时，结果都不是质数。到2018年为止，也只验证到了n=11的情况，从12之后是否是质数，仍然没有结论。

实际上，如果证实了，猜想可以结束，而“证伪”反而引起了更多悬而未决的问题，有兴趣读者请看参考资料。

参考资料：

【1】维基百科：费马数，https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B2%BB%E9%A6%AC%E6%95%B8

【2】Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory, Problem Books in Mathematics, vol. 1 (3rd ed.), New York: Springer Verlag, pp. A3, A12, B21, ISBN 978-0-387-20860-2

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