第三章 最小作用原理

前章中，对引力场或电磁场中的质点或电荷的行为进行了基本分析。这些分析基于New ton 定律和 Maxwell 方程。在物理学的不同领域内有许多相互独立的定律来描述不同的现 象。 

存在这些定律的通用性问题。由Newton，Maxwell 和Schr’́odinger 等介绍的定律是否 本质上是基本的？是否存在这样一个基本原理，该基本原理应用于不同的领域可以得到对 应的相同结果，如空间内物体的运动和守恒定律，微观尺度内量子行为基础等。 

自从开始探索我们所生存的宇宙的本质起，这就是一个困扰人类的问题。对这个能覆 盖物理学所有领域的问题至今没有一个一般的答案。宇宙中物体行为的方方面面使人们相 信宇宙演化规律比目前特别指出的规律更加基本。例如，一般来说自然更青睐最小能量，如 物体会落往能量更小处。在搜寻最小能量时，自然似乎同时在寻求平衡(equilibrium) 或稳 定(stationarity)。另一个观测是，自然似乎以一种趋向简单化 (simplisity) 的方式演化。例 如，地面上抛起的物体的运动轨迹相当规则和一致(regularanduniform)，光沿直线而非复 杂路径传播，光被表面以相当简单的形式反射。前文的守恒定律的起源似乎值得更加深入 的思索，而不是仅作为结果来认可。自然必定被某些基本定律或原则所驱动。

 经过天才物理学家们，如Newton，Bernoulli, Euler,Lagrange 和 Hamilton 等的深刻探 索，已提出如此原理，这就是最小作用原理：principle of least action。对该原理的研究所 得到的微分方程称为Lagrang 方程，其基本上替代了前述的动力学方程和守恒定律。最小 作用原理的恰当应用可以得到宇宙演化的基本定律。事实上，该原理可以适应物理学所有 领域中从大尺度到粒子水平的物体的动力学研究。

 变分法是最小作用原理数学形式化的重要数学工具。

综上，使用两种方法，最小作用原理和d’Alembert原理，得到了相同的结果，Lagrange 方程。使用d’Alembert 原理中，Lagrange 函数为动能和势能的差，它提供了作用的定义以 及应用最小作用原理的基础。因此，两种方法是一致的。若预测和观测一致，则物理定律有 效。在力学中，既然方程由Newton 定律而来，那么它就是正确的。看上去，似乎没有产 生新的物理定律。所有的东西都包含在Newton定律中，Lagrange方程可被视作运动方程。 这有什么意义呢？由Lagrange 方程可知，机械系统的动态分析蜕化为对数量而非向量的处 理，这是一种极大的简化。只要写出Lagrange函数，然后求解微分方程即可。这种方法使 得能够对自然界的守恒定律和对称作用进行新的解释。甚而有之，可将这种方法应用于场 的分析，如电磁场、波和量子力学等。

 在应用最小作用原理推导过程中，一直将物体的行为作为整体：是全部路径或作用的最 小化。物体在演化开始似乎就知道所有的故事。当应用d’Alembert原理时，似乎物体在探 索保持平衡的路径。最终的结果是相同的，那就是Lagrange方程。 

Both approaches and behaviors are rather different. However, that observation may simply be a consequence of our lack of understanding of the functioning of the universe, a functioning that we interpret in terms of our mathematical language, which, although logical, may not be the language used by the universe