当阿贝尔接近那些有名气的数学家谈到自己的工作时，他们会立即打断阿贝尔的话，然后讲述他们自己是如何伟大的。摘自《坎坷奇星－阿贝尔》。
两脉冲轨道转移问题：设以地心为中心的共面圆轨道 I 和 II，其半径分别为 $r_1$ 和 $r_2$，假设 $r_2>r_1$。航天器从圆轨道 I 出发，沿着一条转移轨道，最终在圆轨道 II 上运动。限制航天器仅使用两次速度脉冲来实现这个轨道转移任务，求两次速度脉冲之和最小的转移轨道。1925年，德国人霍曼给出了，与内外圆相切的椭圆轨道为最优，史称为“霍曼转移轨道”。
传统文献证明霍曼轨道转移最优方法，有多种，其中的两种方法，出现在中文教科书里。其一是假定转移轨道在远心点与大圆相切，然后证明最优的转移轨道也一定在转移初始点与内圆相切；反之亦然。这样的教科书来自于2011年哈工大、2006年中科大出版社。显然，这种方法将可行的转移轨道限定在一端与内圆或者外圆相切的椭圆轨道上。
另外一种没有这样的未知轨道一端需要与圆轨道相切的椭圆轨道的限制，可行轨道可以是任一圆锥曲线（抛物线、双曲线、椭圆）。使用偏心率 $e$ 和半通径 $p$ 为两个独立变量，将速度用它们表示，然后对两次速度脉冲之和来求取最小值。为了使转移轨道与内外圆相交，对 $e,~p$ 实施了不等式限制。已故国防科大任萱教授1988年出版的教科书《人造地球卫星轨道力学》里面，给出了一个完整的证明；图片在文后。
上述方法，我能找到的原始出处，是 Vertregt M, 1958. Interplanetary orbits. J Br Interplanet Soc, 16: 326-354，在最后补遗处，Vertregt 说如果使用 $p=a(1-e^2)/r_1$ 代替正文中使用的 $q=a/r_1$，会出现任萱书中的那个用直线描述边界的图5.2，Vertregt 论文是 Fig.10，这图在论证最小值出现在边界线的交点 $H$ 处是个关键，它对应着霍曼转移轨道，性能代价函数和任萱书中公式相比，只是少了两个圆轨道速度因子（可能是 typo），不影响结论。在第7小节，Vertregt 当使用 $q,~e$ 作为两个独立变量时，没有使用导数具体去解析论证这个结论，而是点明了从数学上可以证明
The Hohmann-orbit is represented in our diagrams by the lowest point $H$ (Fig. 3). $\dots$ and it can be proved mathematically, that this orbit requires the minimum energy, $\dots$
我们可以认为 Vertregt 是第一个人，使用偏心率 $e$ 和半通径 $p$，论证霍曼转移轨道最优。
Bate 等人在1971的书中，Fundamentals of Astrodynamics, 使用了与后来任萱书中图5.2相同的图，但没有说明和 Vertregt 论文的关系。1990年，这书有中文版。
1979年，Cornelisse 等人在书 Rocket Propulsion and Spaceflight Dynamics 中，使用了 Vertregt 相同方法，和后来任萱书中用导数方法论证相同，只是代价函数不是两脉冲速度之和，而是与“推进剂”数量有关，所求为“最小推进剂轨道”，也就是霍曼转移轨道。1986年，这书也有中文版。
Prussing 1992年的文章，Simple proof of the global optimality of the Hohmann transfer. J Guid Contr Dynam, 15(4): 1037-1038，和先前任萱方法完全一样，但投稿时间1991年1月，晚于任萱书的出版年，1988年。依据前言，任萱书的内容早于1988出版年。
这些研究工作中，目前可见的是1958年 Vertregt 论文是最早的，他的那张图 Fig.10，出现在 Bate 等人1971年的书里，没有引用 Vertregt 的论文，1979年 Cornelisse 等人的书中，明确提到 Vertregt 论文，给出了Vertregt 提到的数学证明，尽管代价函数不同，1988年任萱书中的证明是完整的，它的参考文献提到了Cornelisse 等人英文版书，没有提到1958年 Vertregt 论文，算作间接的。
Prussing 1992年的文章，没有提到 Bate 等人1971年的书、1979年 Cornelisse 等人的书和1958年 Vertregt 的原始论文。
以上的方法是基于“高等数学”的二元函数的极值，具体就是在边界取最小值。我们论文的方法如题目，是通过限制优化，是使用了非线性规划方法。前者也可以使用非线性规划，不等式需要四个，我们是一个。
以上涉及 $e, ~p$ 方法的这些文献，Bate 等人的书和任萱的书，我们论文中没有提到，其余论文的关系略有叙及。
我们的方法在物理学上，不需要那些圆锥曲线速度的计算公式，方法上简明，就是 $x^2_f$ 的表达式只有大于等于零时，转移轨道才能和内外圆相交，由此定义了可行集合，并且给出了两组局部最小解，然后找出了其中的全局最优，就是霍曼转移轨道。看起来 $e, ~p$ 方法不能区分两组局部最小解，即他们是同一个 $e, ~p$。
我们是解析的、现代的，他们的是几何的、经典的。如论文所言
We present a different method to prove the global optimality of the Hohmann transfer, from which the global minimum of the Hohmann transfer easily follows.
我们提出了一种不同的方法来证明霍曼转移的全局最优性，从中可以很容易地得出霍曼转移的全局最小的结论。
有意思的是如果将任萱书中的那个两个脉冲速度之和作为优化函数，以及那些不等式条件输入给DeepSeek，
给出 \[f(x,y)=c_1(3-2\sqrt{y}-(1-x^2)/y)^{1/2}+c_2(3/n-2\frac{\sqrt{y/n}}{n}-(1-x^2)/y)^{1/2}\] 出现最小值点的$(x,y)$, 这里$x,y$ 是两个独立的自变量，满足 $y\leq (1+x), y\geq n(1-x), 0<x, 0<y$, $n$ 是大于1的常数, $c_1$和$c_2$是大于$0$的常数。
### 结论：
最小值点为：
\[x = \frac{n-1}{n+1}, \quad y = \frac{2n}{n+1}\]
该点不依赖于常数 $c_1$ 和 $c_2$（因为函数单调性在边界处确定最小值位置）。
\[ \boxed{\left( x = \frac{n-1}{n+1}, \quad y = \frac{2n}{n+1} \right)} \]
DeepSeek用时 561秒，找到了霍曼转移轨道。
在日益进化的AI面前，或许未来，那些天才们的杰作，都沦为习题了，更别说你的我的了。
任萱，男，出生于1935年4月，湖南长沙人。1958年从军事工程学院毕业后留校在导弹工程系任教。1988年任国防科学技术大学自动控制系教授，1997年专业技术三级，1999年任国防科学技术大学航天与材料工程学院教授，晋升文职一级。2001年9月退休。任萱教授曾任中国宇航学会空间控制专业委员会委员、美国航空航天学会AIAA高级会员、国防口飞行力学协作公关办公室委员。是国防科学技术大学飞行器设计学科学术带头人，博士生导师。1992年获政府特殊津贴，1993年获全军优秀教师称号，1999年获航天基金奖。任萱教授于2003年12月17日因病医治无效于武汉逝世，享年69岁。
和书中的证明
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