摘要
本文基于本征力学的四条基本公理，建立其最初步的不变量框架。本文证明：本征力学中，不变量并非由“力是否存在”直接决定，而是由本征加速度场的几何结构所决定。对于梯度型本征场，可推出总能量守恒；对于横向本征场，可推出动能守恒；对于中心型本征场，可推出角动量守恒。由此可见，本征力学并不以“力”为第一性对象，而是以场所决定的本征加速度结构为第一性对象，守恒量则是该结构的特殊结果。
1. 引言
传统力学通常以力为出发点，将加速度视为力的结果，并进一步引入势能、动能、角动量等量。然而，在许多自然运动中，物体虽然持续加速，却未必应被理解为“受力运动”。例如，自由落体、轨道运动以及磁场中的带电粒子运动，都显示出“加速度存在而力的意义需要重审”的特征。
本征力学试图从更基本的层次重建动力学框架。其核心思想是：场首先决定一个本征加速度分布结构，物体顺应此结构而运动时，不受力；所谓力，不过是实际运动偏离本征运动时所表现出来的量。于是，“力”不再是第一性的动力来源，而成为偏离本征运动的度量。
在这一框架下，一个自然问题是：本征力学是否仍然存在守恒量？若存在，它们从何而来？本文将证明，本征力学不仅能够推出经典形式的守恒量，而且能够更清楚地揭示这些守恒量的结构来源。
2. 本征力学的四条公理
公理1：本征场公理
场决定本征加速度分布结构
an=an(r, v,t).
这里 an 称为本征加速度，表示场在给定位置、速度与时刻下所规定的自然加速度结构。
公理2：本征运动公理
当且仅当
a=an
时，物体处于本征运动，不受力。
这一定义取代了传统力学中“匀速直线运动不受力”的狭义判据，将“无力”推广为“顺应本征场而运动”。
公理3：力的定义公理
力定义为对本征运动的偏离：F=m(a-an),其中 a 为物体的实际加速度。
公理4：接触力公理
力通过接触表达，并在接触界面上对等出现。
这一公理强调：场决定本征加速度，但不直接以“力”的形式表达；真正的力只在物体偏离本征运动时，通过接触与约束显现。
3. 本征功率定理
在本征力学中，动能仍定义为
T=1/2 mv2.
由公理3，
F=m(a-an),
故
ma=man+ F.
两边点乘速度 v，得
ma·v=man· v+ F· v.
注意到ma· v=d/dt(1/2 mv2),
于是得到：
定理1（本征功率定理）对任意本征场 an，动能满足
dT/dt=man· v+ F· v.
说明
这是本征力学中最基本的功率关系。它表明：动能变化由两部分决定，一部分来自本征场结构，另一部分来自偏离本征运动的力。
4. 梯度本征场与能量定理
若本征场可表示为某个标量函数 Φ的梯度：
an=-▽Φ,
则
man ·v=-m▽Φ·v=-mdΦ/dt.
代入定理1
可得d/dt(1/2 mv2+mΦ)= F·v.
于是得到：
定理2（梯度本征场能量定理）
若
an=-▽Φ,
则量
E=(1/2 mv2+mΦ)
满足
dE/dt= F· v.
特别地，在本征运动下 ( F=0)，有
E=常数.
说明
这表明，在梯度型本征场中，总能量并不是预先定义出来的，而是由本征场结构自然推出的积分不变量。其形式虽然与传统“动能+势能”一致，但逻辑来源根本不同：这里的势能项 (mΦ) 不是由力定义，而是由本征加速度场可积化而来。
5. 横向本征场与动能守恒
若本征场始终与速度垂直，即满足
an·v=0,
则由定理1立即得到
dT/dt= F·v.
于是：
定理3（横向本征场动能守恒定理）
若an·v=0,
则动能满足
dT/dt= F·v.
特别地，在本征运动下 ( F=0)，有
T=1/2 mv2=常数.
说明
这一结果统一解释了磁场型运动中的“动能不变”现象。传统力学将其归结为“洛伦兹力不做功”；而本征力学则更直接地指出：横向本征加速度只改变运动方向，不改变速率，因此动能守恒。
6. 中心本征场与角动量定理
定义角动量
L=m r× v.
对时间求导：
d L/dt=mr×a.
由公理3，
a=an+F/m,
故
dL/dt=m r×an+ r×F.
若本征场始终与位置矢量 r 平行，即
an=λ(r, v,t) r,
则r×an=0.
于是：
定理4（中心本征场角动量定理）
若本征场满足
an||r,
则角动量满足
dL/dt= r× F.
特别地，在本征运动下 ( F=0)，有
L=常向量.
说明
这表明，角动量守恒不是由“力矩为零”作为第一性原理给出的，而是由中心型本征场的径向结构所决定。对于平面轨道运动，该结果立即导出面积定律
r2dθ/dt=常数.
7. 不变量的结构来源
由上述三个定理可见，本征力学中的不变量并非单一统一量，而是由不同类型的本征场结构分别产生的：
梯度结构an=-▽Φ对应总能量不变量；
横向结构an· v=0对应动能不变量；
中心结构an|| r对应角动量不变量。
因此，本征力学真正统一的，不是某一个守恒量本身，而是：
本征场的几何结构决定不变量的类型。
这比简单寻找“统一能量”更一般，也更接近理论本质。
8. 讨论
本文仅建立了本征力学的第一层不变量框架。它已经显示出以下特点：
第一，力不再是第一性对象，而是偏离本征运动的度量。第二，守恒量不是先验假设，而是场结构的积分结果。第三，不同类型的场结构对应不同类型的不变量，因此不存在对所有本征场都适用的单一标量守恒量。
当然，本文尚未处理以下更一般的问题：
非梯度、非中心、非横向的一般本征场；
多体系统与扰动系统中的广义不变量；
本征力学与拉格朗日、哈密顿及 Noether 框架之间的对应关系；
相位量、面积量等几何不变量的系统表述。
这些问题将决定本征力学最终能否从“强雏形”发展为完备理论。
9. 结论
本文从本征力学四条公理出发，建立了其最基本的不变量定理体系。结果表明：
梯度型本征场导出总能量守恒；
横向本征场导出动能守恒；
中心型本征场导出角动量守恒。
由此可见，本征力学中的守恒量并不是由力的存在与否决定，而是由本征场的几何结构所决定。这个结论说明，本征力学不仅能够重述传统守恒律，而且能够更清晰地揭示它们的结构来源。
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