摘要

普朗克定律 E =hω 是量子力学的基本规律。传统证明依赖黑体辐射的统计方法或假设能量量子化，缺乏直接的动力学推导。本文从量子波函数相位的惯性方程出发，提出**相位守恒条件**，结合量子速度的定义，严格推导出普朗克定律。结果表明，量子能量量子化源于波函数相位的动力学约束，而非外加假设。

1. 引言

普朗克在研究黑体辐射时提出能量量子化假设，得到著名的普朗克定律 E =hω。这一规律奠定了量子论的基础。然而，其传统推导依赖统计物理与经验假设，尚缺乏动力学上的严格解释。

本文提出：量子波函数相位遵循惯性方程，沿粒子运动轨迹保持恒定，由此可建立频率与速度的关系，并进一步导出普朗克定律。

2. 波函数与相位守恒

设单量子波函数为

ψ(r,t) = A e^{i φ(r,t)}

其中φ(r,t) 为相位函数。

假设量子沿自身运动轨迹时，波函数相位保持守恒（即满足惯性方程），即：

d φ/dt = ∂φ/∂t + v ·∇φ= 0

定义量子速度为

v =(h/m)∇φ

其中 m 为量子质量，h 为约化普朗克常数。 这个量子速度是由概率流/概率密度而得。

3. 相位方程与频率关系

将量子速度代入相位守恒方程：

d φ/dt =∂φ/∂t + v ·(m/h)v=0

按量子力学习惯，记量子频率为

ω=-∂φ/∂t

于是有：

0 = -ω + (m/h) v^2

即：

ω =(m/h) v^2

4. 普朗克定律的推导

定义量子能量:

E = mv^2

则有

E = m v^2=hω

普朗克定律得到了严格的动力学证明。

5. 讨论

1. **动力学基础**：普朗克定律不再是经验假设，而是波函数相位守恒的必然结果。

2. **量子速度解释**：v =(h/m)∇φ 给出了量子运动的自然定义。

3. **能量量子化来源**：量子能量由相位变化与速度确定，其量子化源于相位守恒条件。

 6. 结论

本文从波函数相位的惯性方程出发，提出相位守恒条件，推导出频率与速度关系，并最终得到普朗克定律 E=hω。该证明为普朗克定律提供了清晰的动力学基础，揭示了能量量子化与相位动力学之间的本质联系。这也说明：惯性方程是比普朗克定律更基本的定律。