学习笔记-维纳1923年的“微分空间”

上篇博文写学习爱因斯坦1905年文章的笔记。他假设“每个单个粒子的运动和所有其他粒子互相独立；并且同一个粒子在不同时间间隔后的运动，只要这些时间间隔选择得不是太小，就必须被视为是相互独立的过程”。然后根据分子热运动和统计理论，推导得到描述大量粒子的粒子数浓度随时间变化的统计规律：扩散方程及其解析解和扩散系数。但爱因斯坦并没有针对这些粒子的位置进行定义和讨论，不可能由扩散方程计算各个粒子的随机轨迹。

维纳（Norbert Wiener）1923年文章“微分空间(Differential-Space)”被认为是他关于布朗运动的代表作，因此维纳过程又被称为“标准布朗运动”。但读这篇文章困难很大，原因是强烈数学特色：讲泛函，极抽象，数学方程又多又复杂。我数学功底不够，查百度才知道泛函是“函数的函数”。例如定积分是对被积函数进行积分，因此定积分是被积函数的函数，就是一种泛函。维纳讨论的问题又是粒子的随机运动，涉及无穷维的积分过程。

文章相当长，共12节。然而直接介绍布朗运动物理现象，以及怎样定义布朗运动粒子的路径和性质主要在前3节：引言，布朗运动和微分空间。“Einstein爱因斯坦”一词只出现在第2节。整篇文章有大量复杂的数学公式和推导，引用其他数学家和维纳自己的文章支持推导和概念，抽象难懂。例如针对布朗粒子位移作为随机变量引入“微分空间（Differential-Space）”概念，就很难理解。猜想，位移是前后两个时刻位置的“差分”，可看成分成n个等份位移的累加（求和），n又可以假设很大，“差分”分小了成了“微分”？相应的随机变化又必须满足统计规律（前后位移都互相独立），因此的变化维度是他的“微分空间”？。。。。。。要看通看懂这篇文章还需要时间。。。

好在学习的目的是弄清维纳的主要贡献，特别是和爱因斯坦1905年工作的关系。为此主要学习了文章的第1和第2节。第3节花了不少时间，但不能说真懂了。主要收获是：维纳采用爱因斯坦的相同假设，但选定粒子位移来描述布朗粒子运动路径，然后推导和讨论作为随机过程的粒子位移必须满足的统计规律。因此后人可以因此研发模型，进行数值计算。网上众多有关布朗运动轨迹的图形都基于维纳过程。进而言之，爱因斯坦工作强调的是完全随机的布朗运动过程，对应粒子速度形态应当是“白噪声”。然而从牛顿力学理论可知，一个粒子从某一时刻开始运动应当受两个因素的制约：初速度和周围液体分子热运动给与的冲量。爱因斯坦和维纳过程都假设了初速度的影响可以忽略（即同一粒子不同时间间隔运动也互相独立）。但实际上这个假设存在问题：2010年李统藏工作展示了精细实验观测结果，发现布朗粒子运动可以观测到短暂的“轨道型轨迹（ballistic regime）”，就说明速度形态可能偏离“白噪声”。维纳过程给与研究工作适当的灵活性，例如，考虑初速度导致液体粘性影响的斯托克斯阻力，对应朗之万运动方程等。 

下面是学习维纳1923年文章的部分记录

第1节说当时数学家和物理学家都在关心无穷维空间的函数或曲线问题，例如气体在空间某点出的密度或速度。并通过无穷空间的积分获得某些平均值来描述状况。这些问题的数学处理要用泛函分析。

（注：Levy是一位著名数学家）

第2节先介绍布朗运动实验，说发现液体中小颗粒似乎在进行一种特殊、无规则的运动。声称尽管粒子曲线上点是否存在切线（速度是否可测）存在争论，但对数学家来说，更感兴趣的是找出这些粒子路径的定义条件和性质。

从物理角度看，粒子的布朗运动是因为流体分子碰撞给予无规则冲量。但根据力学定律，粒子运动还和该位置该时刻的初始速度有关。维纳在此引用爱因斯坦的假设：粒子在任何常见时间间隔内，该初始速度与所讨论时间间隔内受到的冲量相比，其重要性可以忽略不计。因此，粒子在给定时间内的位移可以被视为与其整个过去的历史无关。

维纳然后定义粒子路径：在一维情况下，取粒子轨迹为 x=x(t)（时间的随机函数）。假设粒子速度不会从一个瞬间显著地延续到下一个瞬间，在下个时刻 t1, (t1>t)。x(t1) 和x(t)之间的差值可以被视为粒子在构成从t 到 t1时间间隔中一组子区间上所产生的位移之和。特别是，如果这些子区间大小相等，那么粒子在不同区间内累积位移的概率分布将相同。由于从物理角度考虑，大小相同的正向和负向位移的可能性相等，因此可以看出，对于比分子碰撞间隔长得多的时间区间，通过将其划分为许多仍然比分子碰撞间隔长的相等部分，并将总位移分解为在这些区间内产生的位移之和，得到的位移总和非常接近一个高斯分布（参考Poincaré文章）。

（注：Poincaré又是一位著名数学家）

由于t 到t₁ 区间内产生的误差是t 到t₁ 和t₂ 到t₁ 时间段内产生的独立误差之和，得到：

很容易验证，除非

否则上式不可能成立，由此得出：

并且 x(t₁) - x(t) 位于 a 和 b 之间的概率具有如下形式：

引用爱因斯坦的结果：

其中 R是理想气体常数，T是绝对温度，N是阿伏伽德罗常数，a是经历布朗运动的球形粒子的半径，ξ 是悬浮液所在流体的粘度。

(注：方程(2)的来源引用了维纳自己1921年9月的文章)

维纳在第3节引入“微分空间”概念。强调在布朗运动中，讨论重点不是位置，而是粒子在一个时间段内的位移。在此节中维纳把粒子位移转换成讨论中心。通过复杂的变换和积分过程，得到位移随机变化的概率分布形式上和方程（5）相同。

附件：

1.       1923维纳文章“微分空间 (Differential-Space)”Wiener-1923.pdf

2.       1921年9月维纳文章“一个泛函的平均（The Average of an Analytic Functional）”Wiener-1921-09.pdf

3.       1921年10月维纳文章“一个泛函的平均和布朗运动（The Average of an Analytic Functional and the Brownian Movement）”Wiener-1921-10.pdf