不死神兔的繁衍生息——神奇的斐波那契数列

• 故事得从西元1202年说起，话说有一位意大利青年，名叫斐波那契。在他的一部著作中提出了一个有趣的问题：假设一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过一个月就能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔，一年内没有发生死亡，问：一对刚出生的兔子，一年内繁殖成多少对兔子?

好了，虽说问题很有趣儿，但是貌似不是很容易解答哈，那我们还是先看看斐波那契是何许人也。

人物介绍[1-2]

斐波那契，又称比萨的列奥纳多（英语：Leonardo Pisano Bigollo，或称Leonardo of Pisa, Leonardo Pisano, Leonardo Bonacci, Leonardo Fibonacci，1175年－1250年[1]），出生于意大利的比萨，意大利数学家，西方第一个研究斐波那契数，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。

列奥纳多的父亲Guilielmo（威廉），外号Bonacci（意即「好、自然」或「简单」）。因此列奥纳多就得到了外号斐波那契(Fibonacci，意即filius Bonacci，Bonacci之子）。威廉是商人，在北非一带工作（今阿尔及利亚Bejaia），当时仍是小伙子的列奥纳多已经开始协助父亲工作。于是他就学会了阿拉伯数字。

算盘书中的一页关于斐波那契数列的拉丁文描述

成就

• Liber Abaci（计算之书，1202年）。
  

• Practica Geometriae （1220年），几何学和三角学概论。
  

• Flos （1225年），Johannes of Palermo提出的问题的答案。
  

• Liber quadratorum，关于丢番图方程的问题on Diophantine problems, that is, problems involving Diophantine equations.
  

• Di minor guisa关于商业运算。
  

• 《几何原本》第十卷的注释。
  

斐波那契小时候就对算术很有兴趣。后来，他父亲带他旅行到埃及、叙利亚、希腊（拜占庭）、西西里和普罗旺斯，他又接触到东方国家的数学。斐波那契确信印度—阿拉伯计算方法在实用上的优越性。1202年，在回到家里不久，他发表了著名的《算盘书》。

后来，斐波那契的才能受到弗里德里希二世的重视，因而被邀请到宫廷参加数学竞赛。他还曾向官吏和市民讲授计算方法。他的最重要的成果在不定分析和数论方面，除了《算盘书》外，保存下来的还有《实用几何》等四部著作。

斐波那契数列对后世的影响

斐波那契协会和《斐波那契季刊》

1202年，斐波那契在《算盘书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，…，之后，并没有进一步探讨此序列，并且在19世纪初以前，也没有人认真研究过它。没想到过了几百年之后，十九世纪末和二十世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活跃起来，成为热门的研究课题。以致1963年成立了斐波那契协会，还出版了《斐波那契季刊》。

我们就好奇了，仅仅是一个数列，就可以让这么多数学家趋之若鹜，甚至建立一个专门来研究它的协会，出版一份季刊？那么，我们就来看一看这组数列有什么神效，能够使众人沦陷。

1. 问题的由来

我们现在回到兔子问题

假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一对初生兔子开始，12 个月后会有多少对兔子呢？

解答：

图-1

我们按照规则，画出了1-7月份兔子的繁殖情况。我们发现1-7月份兔子的数量分别为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13对。为了更清晰一点，我们作出下面的示意图。

图-2.

显然在图中，我们的黑点表示的是成熟兔子，白点表示的是小兔子。我们够仔细的话能够发现，右边这一列数字是有规律的。第一个数和第二个数为1，之后的每一个数为之前两个数之和。比如，六月份的兔子数量为四月份和五月份兔子数量之和，即8=5+3。

（此外，我们再仔细看一下，六月份的兔子中有五对黑（成熟）兔子和三对白兔子, 8=5+3。同样是8=5+3，但是该等式和上式中的5与3表示了不同的意义，那么他们之间有木有本质的联系呢。实际上5对黑兔子不就是上个月的5对兔子变来的嘛，只不过其中的白兔子都变为了黑兔子，即5=5； 三只白兔子从哪来的，它们是四月份的三对兔子生的，不管黑白，到了五月份都是黑兔子，六月份的时候也就只有它们能生小兔子，而且必须生一对小兔子，所以3=3。）

现在我们就不用再画兔子了，根据得到的规律，我们就可以预测12月份兔子的数量。将结果用列表的形式给出

表-1

因此，兔子问题得以解决，答案为144对。以上数列，即“斐波那契数列”。

2. 斐波那契数列的自身特性

斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……

第一项和第二项是1，之后的每一项为之前两项的和。即：

a1=a2=1

an=an-1+an-2 （n为正整数） ............................................................................................ (1)

对每一项做平方： 1^2, 1^2, 2^2, 3^2, 5^2, 8^2, 13^2，, … …

前几项平方求和求和： 1^2+1^2=2

1^2+1^2+2^2=6

1^2+1^2+2^2+3^2=15

1^2+1^2+2^2+3^2+5^2=40

1^2+1^2+2^2+3^2+5^2+8^2=104

1^2+1^2+2^2+3^2+5^2+8^2+13^2=273 .......................................................................(2)

现在我们再观察一下等是右边，我们发现2可以写成1*2, 6可以写成2*3，,15可以写成3*5，40=5*8, 104=8*13，273=13*21,……。

..................................................................................................................(3)

从我们得到的(3)式中可以看到，该等式中所有的数字均为斐波那契数，神奇吧。而且这不是一个巧合，这个性质不限于(2)式中的几个，事实上，我们可以写出前n项的平方和，依旧有这样的性质。为什么斐波那契数的前N项平方和可以写成两个斐波那契数之积呢？既然这个性质不是巧合，那么其中必定有着更深层的数学本质。解决这个问题，我们从从上述的等式中貌似很难得到结论。我们转换一下思路，平方有何几何意义，显然平方指的是一个正方形的面积，那好，我们依照这个思路，作一个几何图形试试。

图-3

这下就很容易明白了，比如(2)式中的第一个等式1^2+1^2=1*2。左边表示两个正方形的面积，右边表示一个长方形的面积，很显然它们表示的是同一区块的面积。再比如(2)式中的最后一个等式，左边表示上图中六个正方形的面积之和，右边表示图中的大长方形的面积，左右两边也是同一个区块。现在似乎明白了等式为什么成立了，但是等式右边的这些数字为什么是斐波那契数呢？这就是因为，斐波那契数为前两项之和，我们就可以构造上面的几何图形，而且这样构造的图形中的长方形(粗黑线为边界)的边长只能为斐波那契数。

再来看另一个性质

...................................................................................................................（4）

(4)式中左边为相邻两个斐波那契数的平方和，我们发现计算的结果全为斐波那契数，也就是说对于这样的等式我们只用它自身的数字就足够了。但是，该式我们并没有写出更多的项，如果继续往下写还能否成立能？可以换个角度来思考，如果上式有更深刻的数学本质，那么也可以得到证明。

斐波那契数列与杨辉三角的关系

从图上我们可以看到将杨辉三角中的斜向的一列数求和，得到一组新的数，而这一组新的数正好是斐波那契数列。至于其中是否有更深层的本质联系，笔者还未研究，这是一个值得讨论的问题。

斐波那契数列的整除性与素数生成性

• 每3个数有且只有一个被2整除，
  

• 每4个数有且只有一个被3整除,
  

• 每5个数有且只有一个被5整除，
  

• 每6个数有且只有一个被8整除,
  

• 每7个数有且只有一个被13整除，
  

• 每8个数有且只有一个被21整除,
  

• 每9个数有且只有一个被34整除，
  

• .......
  

　　我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）

　　斐波那契数列的素数无限多吗？

斐波那契数列的个位数：一个60步的循环

　　11235, 83145, 94370, 77415, 61785, 38190,

99875,27965,16730,33695,49325,72910…

3. 斐波那契数列与黄金分割比

斐波那契数列的增长形式

图-4.(a)斐波那契数列的前10项, (b) 斐波那契数列的前20项

我们从图-4可以看出斐波那契数列的前10项和前20项有着相似的增长形式，在初期增长缓慢，之后增长速度越来越快。看到这个曲线，我们很容易想到另一条曲线，那就是人工培养基中细菌的早期繁殖曲线。我们知道。对于细菌培养的早期，培养基的空间对于细菌来说是是无限大的，培养基中的营养物质对细菌而言也是无限丰富的，这个时期细菌会以近似指数形式的增长形式繁殖。我们,再对比一下图-4和图-5，两者的曲线变化非常像，那么斐波那契数列是否是指数形式的增长呢？斐波那契数列仅仅是一组数，它为什么就和细菌繁殖有这种近似关系呢？

图-5 培养基中细菌的繁殖数量随时间的变化关系(早期的指数增长阶段).

1/1=1,， 1/2=0.5,

2/3=0.66667,， 3/5=0.6,

5/8=0.625,， 8/13=0.61538,

13/21=0.61905,， 21/34=0.61765,

34/55=0.61818,， 55/89=0.61798,

89/144=0.61806,， 144/233=0.61803,

233/377=0.61804，， 377/610=0.61803,

610/987=0.61803,， 987/1597=0.61803

图-6 Fn/Fn+1

我们计算了斐波那契数列的Fn/Fn+1的前几项的结果，从第九项与第十项的比值开始，之后的数值都在0.618左右。似乎斐波那契数列是近似指数增长形式，为了更确切的说明这个问题，我们有必要来看一下斐波那契数列的通项。

第一次得到斐波那契数列通项的是数学家比内（Binet）[3]，其结果为：

................................................................................................................... (5)

一个正整数序列的通项，竟然可以用带有无理数的式子表达，这是十分意外的结果。

有了通项之后，我们就很容易计算Fn/Fn+1的结果。

................................................................................................................... (6)

结果依然是0.618，所以斐波那契数列除了前几项，之后的都是近似指数形式增长的。0.618，这正是黄金分割比，一个美学数字竟然出现在了斐波那契数列中。

下来我们再讨论下这一组数和细菌增值又有什么关系。既然图像是如此的相似，那么他们的应该有更多的本质上的联系。我们再次回到斐波那契数列出处，额，那就是兔子问题。这不就结了吗？一个是兔子繁殖，一个是细菌增值，他们都是生物。没错，这样说很有道理，但是，兔子问题有很多假定，一是兔子不死，二是兔子必须一个月成熟，三是兔子一月必须生一对，仔细一想地球上还真没有这样的兔子，甚至没有这样的生物。但是，兔子问题的结论能够很好地解释细菌的早期繁殖，这样我们就可以猜想细菌的生长、繁殖应该和“不死神兔”是类似的。

4. 自然界中的斐波那契数列

.图-7 左图为斐波那契螺旋线(扇形)，右图为鹦鹉螺

图-8 人的手指各部分骨骼长度

斐波那契数列中的任一个数，都叫斐波那契数。斐波那契数是大自然的一个基本模式，它出现在许多场合。在生物学[4-6]中以及大自然中广泛存在，下面举几个例子

1） 花瓣数中的斐波那契数

大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数。例如，兰花、茉利花、百合花有3个花瓣，毛茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣，万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植物有21个花瓣，雏菊属植物有34、55或89个花瓣。

图-9 植物的花瓣数量

2)广泛存在的斐波那契螺旋线

图-10 植物中的斐波那契螺旋线

图-11 台风中的的斐波那契螺旋线图-12 星系中的斐波那契螺旋线.

3）树杈的数目

图-13

图-13

在日常生活中，我们也会发现树木从树干到枝叶越来越细、越来越多，如果够仔细的话，我们数一数不同阶段的树杈树木，我们也会发现这其中也有斐波那契数。由于新生的枝条，往往需要一段成长时间，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。

4）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数和黄金分割角

图-14

向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数[7]，一般是34和55，大向日葵是89和144，还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数。研究证明[8]，为了使花盘中的葵花籽数量达到最多，大自然为向日葵选择了最佳的黄金数字。花盘中央的螺旋角度恰好是137.5度，十分精确，只有0.1度的变化。

总结

斐波那契数列的神奇之处，在其它方面还有很多的例子和应用。比如，在股市分析，生物进化研究，力学结构稳定性分析等广泛的领域都有重要应用，对它的研究以使其为我们更好的未来服务有着重要意义。

参考

[1] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., Leonardo Pisano Fibonacci//MacTutor History of Mathematics archive

[2] Dr R Knott. "Who was Fibonacci?". Maths.surrey.ac.uk. Retrieved 2010-08-02.

[3] Weisstein, Eric W., "Binet's Fibonacci Number Formula", MathWorld.

[4] Douady, S; Couder, Y (1996), "Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process" (PDF), Journal of Theoretical Biology 178 (178): 255–74, doi:10.1006/jtbi.1996.0026

[5] Jones, Judy; Wilson, William (2006), "Science", An Incomplete Education, Ballantine Books, p. 544, ISBN 978-0-7394-7582-9

[6] Brousseau, A (1969), "Fibonacci Statistics in Conifers", Fibonacci Quarterly (7): 525–32

[7] Prusinkiewicz, Przemyslaw; Lindenmayer, Aristid (1990), The Algorithmic Beauty of Plants, Springer-Verlag, pp. 101–7, ISBN 978-0-387-97297-8

[8] Vogel, H (1979), "A better way to construct the sunflower head", Mathematical Biosciences 44 (44): 179–89, doi:10.1016/0025-5564(79)90080-4