三. 相关的数学物理基础问题
一个有趣的相关问题是：非定向的莫比乌斯带能否在三维微分自治系统的空间极限环上出现？
答案是肯定的，此情况出现在空间闭曲线发生倍周期分叉理论研究中。
这种倍周期分岔通常发生在相应系统的某个参数 λ (不同于独立的时间变量 t）连续变化并超过某个临界值 λ0时。发生倍周期分岔时，临界极限环的每个局部线段在分岔后分裂成两条新的局部曲线。这些新的局部曲线在分岔后经整合形成一个新的极限环，新极限环的长度和周期几乎是分岔前的两倍。目前，如果将这两条相似的局部曲线看作一个条带的两个局部边界，这些局部条带经整合即形成一个闭合的莫比乌斯带。
在分岔开始时，该带只是一个临界极限环，没有宽度。分岔后，它随着参数 λ0 的变化而具有宽度。在实际研究中，该参数通常被人为地限制为一个合理的值，此时带的宽度是固定的。
自然，这条带的中心可以看作是分岔开始时的临界极限环。
由于这条莫比乌斯带只有一个边界，也就是分岔后的极限环，并且仍然是一条闭合曲线，所以这条莫比乌斯带是非定向的！
例如，当 a = 1, b = 0.4 时，系统（15）即存在一对关于原点对称，旋转数等于 1 的极限环，其中之一的图像为
图三十五.
数值计算表明，当参数 b 的值进一步减小时，倍周期现象开始出现。参数减小的初期，莫比乌斯带太窄看不清楚。而当 a =1, b = 0.39 时，倍周期分叉的极限环则很清楚，如下图
图三十六.
如果将图三十五、三十六，再将 b = 0.392 和 b = 0.393 时的倍周期极限环的图整合在一起，视觉上就形成了表现完美的非定向莫比乌斯带：
(a) (b)
图三十七.
图三十七从两个不同视角显示了该莫比乌斯带，这样其非定向性可被更清楚地显示出来。
以上给出的，空间极限环分叉时形成的非定向莫比乌斯带为研究相关的理论提供了重要分析手段。
现在尝试提出三维空间微分几何研究的微分拓扑不变量的一些新问题。
首先，本文前面讨论的闭曲线都是没有打结的，也不存在不同闭曲线相互套连（link）现象。如果将这些现象一起考虑，应该是需要进一步研究的复杂课题。
其次，空间曲面要比空间曲线复杂的多。本文不拟讨论曲面理论的细节，只是指出该理论与曲线理论类似，存在着类似于曲率与挠率的内在不变量，也存在类似的曲面基本定理。特别是其中的高斯曲率 K，作为曲面的内蕴不变量很大程度上决定了曲面的基本性质，而且根据其值是否恒等于零，还是恒定的正数或负数，形成了欧式几何与非欧几何。类似于曲线，笔者从物理的角度提出如下问题：光滑曲面上往往会有凸起的包或凹陷的坑，这些包或坑的形状特征与数量是否也是曲面的微分拓扑不变量？
另一个有趣问题关系到粒子物理。有关的专家可能知道狄拉克的腰带（Dirac's belt) 或盘子技巧（plate trick）这个概念。作为三维拓扑对象的狄拉克腰带在理解自旋为1/2的粒子时发挥了一定的积极作用。根据本博文前面的所有讨论，笔者联想到这些讨论与狄拉克的腰带或盘子技巧可能存在内在联系，或许能在理解神秘的量子现象时有积极的意义。希望有兴趣的读者深入研究这种可能性。
特别要强调的是：本文揭示的物理内涵主要表现在，以固体材料构成的闭曲线的旋转数变更时引起的材料物性变化，这涉及到材料的内能、外力，静力做功和功率与力的等价性等。这正是笔者认为非常重要，而且正在进一步研究的问题。
参考资料：
[1] 梅向明 黄敬之 编，《微分几何》，高等教育出版社，1981年第一版，书号 13010●0626
[2] 吴大任 编，《微分几何讲义》，人民教育出版社，1981年10月第4版，书号 13012●0120
[3] 苏步青 胡和生等 编，《微分几何》，高等教育出版社（北京），第二版（修订版），2016.11，JSBN：978-04-044722-4
[4] Keying Guan, http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1311/1311.6202.pdf
[5] Keying Guan, http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1312/1312.2043.pdf
[6] Keying Guan, https://arxiv.org/abs/1401.3315
[7] Keying Guan, https://arxiv.org/abs/1403.1511
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