管克英
北京交通大学理学院，数学系
Email：keying.guan@gmail.com
二. 定义旋转数的数学困难
微分几何研究微分流形的几何性质，是现代数学中的一个主流研究方向，也是广义相对论的基础，它与拓扑学、代数几何及理论物理有密切的关系。寻找描述微分流形几何性质的内在不变量是微分几何的主要研究内容。
关于空间光滑曲线，人们通常用依赖某参数 t 的向量函数 r(t) 描述曲线上各点的坐标。
（1）
用 r'(t) 、r''(t) 和 r'''(t) 分别表示向量函数 r(t) 对参数 t 的一到三阶导数。曲线（1）的单位切线向量 T，单位主法线向量 N 和单位副法线向量 B 可以通过以下公式定义：
(2)
(3)
和
（4）
(4）式中的运算符号 × 表示的是向量间的向量乘积。
法国数学家，Jean Frédéric Frenet，1847年在其博士论文的研究中发现了重要的描写空间曲线内在性质的公式 ，即 Frenet 公式
（5）
该公式以曲线的弧长 s 作为参数（称作曲线的自然参数），描述了单位切线向量 T，单位主法线向量 N 和单位副法线向量 B 随 s 的变化规律。其中标量函数 κ(s) 和 τ(s) 是曲线上对应点处的曲率和挠率。微分几何已证明无论采用什么参数 t 计算这两个标量，它们都是局部的不变量。计算公式为
(6)
(7)
(7）式的分子表示的是三个向量的混合积。
已被严格证明的微分几何关于空间曲线的基本定理表明，除了曲线位置和方向的差别外，曲线可以根据曲线的曲率与挠率唯一地被确定（即被“计算”或“制造”出来）（参考文献： [1]，[2] 或 [3])。这说明曲线的曲率与挠率决定了空间曲线的全部拓扑性质。正如生物学里的基因，基因结构基本决定了在适当环境下相关生命个体的生长过程和特征。
有趣的是，如果已知一个空间曲线的曲率与挠率的分布，如何判定该曲线的整体拓扑特征呢？
实践表明，除特殊情况，这是个极困难的数学问题。例如根据曲率与挠率判定空间曲线是否封闭，以及判断空间闭曲线的扭结类型与数量，这些都是数学上的大难题，除非根据基本定理将该曲线直接制造出来，直接观察研究才可能做出具体的结论。
生物学同样，如何根据某人的基因结构判断该人是单眼皮还是双眼皮（显然由基因决定）也是极困难的事，而直接观看该人便一目了然。
现在研究对给定（如图七显示）的闭螺线的旋转（圈）数 n ，能否用该曲线的曲率与挠率这两个不变量直接计算（判断）出来。
先研究对应的，有两个端点的直圆柱螺线段（图六）。按照公式（1）将其表示为，
（8）
其中，a 是螺线的旋转半径，2πb 是螺线的高度，n 是螺线的旋转圈数。根据公式（6）和 （7）计算曲线的曲率和挠率，不难发现它们都是不依赖参数 t 的常数
(9)
(10)
如果将曲率和挠率沿该段曲线的弧长积分，两个积分值可分别称为该段曲线的全曲率和全挠率，并分别用 Tκ 和 Tτ 表示。通过计算可以得到
(11)
(12)
显然，在 a 和 b 都是正数时，曲率与挠率及它们的代数和、全曲率与全挠率以及它们的代数和，这些不变量一般都不会等于整数 n。也就是说一般情况下曲线的旋转圈数 n 不会通过曲率与挠率的值直接显现出来。注：上例作为一种特殊简单情况，根据上述 4 个不变量中的任何一个已知值，以及 a 与 b 的已知值，确实可以通过求解对应的根式方程计算出正整数 n。
需要关注的是：若限定 b 的值（即限定螺线的高）, 并令螺线的旋转半径 a 趋向于零（即令曲线的长度趋向于螺线的高度时），螺线的挠率恰恰趋向旋转数 n，全挠率则趋向旋转数的 2π 倍，而且曲率与全曲率均趋向于零；若令旋转半径 a 保持定值，令 b 的值趋向于零（即令螺线的高度趋向于零），曲线的曲率恰恰趋向旋转数 n，全曲率则趋向旋转数的 2π 倍，而且挠率与全挠率均趋向于零。
回到那个首尾相连（如图七显示）的闭螺线的曲率与挠率计算。此时曲线的表达式为
(13)
图七用黄色显示的平面圆周是该螺线盘旋所围绕的轴，圆周的半径等于 b 。该圆周可表示为
(14)
显然该平面圆周的周长等于 2πb, 恰好等于原圆柱螺线段的高。为了避免图七中各个单圈相互交叉，这里需要限制螺线半径 a，使之小于平面圆周 (14) 的半径 b 。这是因为，如果 a = b, n 圈螺线的各圈就会在圆周的中心相交，如图九
图九
如果 a 的值更大，如图十所示，黄圈就会穿过螺线，退到图中心部位显得很小，而且螺线会出现更多相互交叉的情况。
图十.
使用《Mathematical》的符号演算，可以得到封闭螺线 （13）的曲率与挠率的表达式，它们均表示为三角函数的复杂根式：
（15）
（16）
笔者已使用软件 《Mathematical》对上述公式尽量做了简化。虽然通过手算，还有可能进一步简化，但笔者精力有限，只能化简至此。
计算全曲率与全挠率都会遇到不能用初等函数表示的复杂情况，例如在 b = 0 的极简情况下，曲线长 L 的计算就会遇到第二类椭圆积分
（17）
全曲率与全挠率的计算就更难了。
由于太复杂，此例中的全曲率与全挠率的表达式就不在此显示了。感兴趣的读者，可通过电子邮件向我索取。
因此，根据精确的表达式，人们不大可能由曲线的曲率、挠率、全曲率或全挠率计算封闭螺线（13）的旋转圈数，只有根据曲率与挠率精确制造出该曲线，才能直观地数出圈数。
当 b 为定值（正数），合理地令圆环半径 a 不断缩小趋向于零，利用数值计算可以发现，曲线的长度、曲率、全曲率、挠率和全挠率的极限值。
以 b = 3，n =10 为例，图七正是 a = 1 时的曲线图。图十一与图十二分别是曲率与挠率随参数 t 的变化图
图十一.
图十二.
曲线的长度，全曲率与全挠率的计算值分别为：65.7363、9.70061 和 2.86853。
当 b = 3、 n =10 和 a = 0.1 时， 曲线的图形、曲率与挠率的图像分别为：
图十三.
图十四.
图十五.
曲线的长度，全曲率与全挠率的计算值分别为：19.8697、3.26048 和 9.49087。
当 b = 3、 n =10 和 a = 0.01 时， 曲线的图形、曲率与挠率的图像分别为：
图十六.
图十七.
图十八.
曲线的长度，全曲率与全挠率的计算值分别为：18.86、1.0277 和 -0.00549556。
根据以上三个具体算例，可以初步归结出如下符合想象的结论：即，随着 a 变小，曲线的长度将收缩到其围绕的平面圆周曲线（14）（那个黄色圈）的长度，6π（～18.8496），全曲率将逼近那个平面黄色圈的全曲率 1；挠率和全挠率也将逼近黄色圈的挠率和全挠率，它们都等于零。
以上事实表明，既使在最理想、最标准、而且最简单的有 n 个旋转圈空间闭螺线 （13）的情况下，仅使用内蕴量，即局部曲率、局部挠率或全曲率和全挠率的值推算出圈数 n 这个显然有的不变量也是几乎不可能的（除非利用局部曲率与挠率的值，将对应的曲线具体制造出来直观地数）。特别当螺线圈半径趋于零时，这个内蕴量 n 几乎消失。
以上情况也使得在纯数学上，利用空间曲线的内蕴量，局部曲率、局部挠率或全曲率和全挠率的值定义旋转（圈）数 n 成为巨大的难题。在许多情况下，既使曲线被制造出来也难以看清其旋转数。例如，将图十三中的旋转轴（黄圈）撤去，曲线的立体图为
图二十二.
根据该图很难判断该曲线的旋转数。
经过深思笔者发现，在这个不变量的问题上，数学理论还是有希望的，这是因为在以上讨论中并没有用尽“微分”几何或“微分”拓扑的全部潜能。
在本文第一节，笔者利用附着在曲线上的活动坐标架定义了一个套（附着）在曲线上的，半径等于单位长度的薄管，而且随着参数的连续变化，曲线的单位主法线 N 与单位副法线 B 的末端箭头在薄管壁上分别留下各自的连续轨迹（两条曲线）。同样，单位主法线线段与单位副法线线段也留下各自的宽度等于 1 的带状轨迹。这两个带状轨迹，均可视为伴随空间曲线的广义莫比乌斯带。由于曲线是封闭的，这两条带子必然都是封闭而且定向的，它们均被称为伴随该空间曲线的广义莫比乌斯带。
由于这样构造的带子有两个边界，一个边界必然是空间曲线本身，另一条边界则是对应的单位（主或副）法线末端箭头在薄管壁上留下的轨迹，因此伴随空间曲线的广义莫比乌斯带是可定向的。
以上事实完全是微分几何理论本身已存在的结构，只是鲜有数学家或其它领域的学者注意到它，更没有充分利用它。
因此，笔者猜想如果将上述伴随空间曲线的广义莫比乌斯带想象成物质构成的（物质化），那么这两条带子很可能会揭示出空间闭曲线旋转数的奥秘。事实证明笔者的猜测是正确的。先研究以下四张照片揭示出的事实：
图二十三.
图二十三显示的是一条蓝色的丝带，正面十分光滑，反面光滑度明显的差一些。将此丝带顺滑地缠绕一个黄色空药瓶四圈，在此过程中不让丝带打结，始终保持丝带的反面贴紧药瓶，正面向外，如图二十四所示
图二十五.
缠了4 圈后如上图放在桌面上，可看到丝带靠瓶口一端正面朝上，另一端自然地贴着桌面而且反面朝上。如果将上面丝带端口与下面丝带端口光滑地连在一起，并保持丝带的反面始终朝向药瓶表面，会发现理论上这个连接是可能的。笔者则通过使用回形针模拟地实现了这一连接，见图二十六
图二十六.
此时，这条丝带可以看作一个围绕药瓶旋 (或盘）转 4 圈的定向封闭的广义莫比乌斯带。如果抽掉药瓶，可以发现，只要不断开这条丝带，无论将丝带放到任何地方或不做破坏性的变形，4 圈这的数字始终是这条丝带的内蕴不变量，见图二十八
图二十八.
或
图二十九.
因此，一条封闭的广义莫比乌斯带的扭转或旋转数是其内在的拓扑不变量。从而，可以说伴随一条封闭空间曲线的广义莫比乌斯带的旋转数就是该曲线的旋转数，是个微分拓扑不变量。
利用伴随一条封闭空间曲线的广义莫比乌斯带可以直观地显示该曲线的旋转数。
例如，虽然图二十二显示的封闭螺线的旋转数视觉上不明显，但由其单位副法线段轨迹构成的伴随广义莫比乌斯带（图三十中的红色带）可以清楚地显示出带子的扭转数，该扭转圈数恰好等于曲线的旋转圈数10。
图三十.
目前数学上出现的空间封闭曲线基本上来自三维非线性微分自治系统的空间极限环。这类极限环一般不能用初等函数表示，只有数值解可用。极限环与伴随的广义莫比乌斯带也只能通过数值方法看到。
例如，2013年笔者根据美国科罗拉多州立大学物理教授（R. Mark Bradley）的一个关于平板材料的振动问题，推导出相关的三阶自治系统
（18）
系统 （18）属于以格鲁吉亚数学家 Silnikov 命名的系统 （或称马鞍形聚焦系统）的一个当时鲜有研究的特殊类型。笔者发现该系统的一系列令人感兴趣的性质（参考： [4]，[5]，[6]，[7]），特别发现当参数 a =1, b =1/3 时，该系统存在一个对称于坐标原点, 旋转圈数为13 的极限环。图三十一与图三十二显示了该极限环与伴随的广义莫比乌斯带：
图三十一.
图三十二.
关注三十与图三十二，不难发现它们都存在莫比乌斯带在某些地方发生突然扭转方向的现象，这是在一定角度观看立体图像时经常发生的，而且当视角连续变化时扭转的位置也会连续变化，是自然发生的。
在平面曲线的拐点上也会发生主单位法向量对应的广义莫比乌斯带好像断开，从曲线的一侧转变到另一侧的现象。例如笔者在国内任教时使用的，梅向明与黄敬之编著的《微分几何》[1] 中64页的如下插图就显示了这个现象
图三十三.
在当时国内的另一主要教材，吴大任编著的《微分几何讲义》[2] 69页也有类似的图。这些教科书或讲义（包括苏步青编著的《微分几何》）在讲到平面曲线时，均专门使用可以取负数值的相对曲率 kr 这个更合理的概念建立平面曲线的 Frenet 公式。其实相对曲率 kr 的定义几乎与 （3）式相同，只是将分子中的绝对值号作为累赘去掉，这使得描述的平面曲线可以有拐点、可以相交还可以定义平面曲线切线的旋转数，使得理论内容更丰富多彩。笔者在科学网的第一篇博文， 由自然与美谈起--纪念导师秦元勋教授，的第 II 部分，很容易地利用相对曲率做出了类似于有17个齿的平面曲线
图三十四.
因此，笔者提出一个值得思考的问题：在空间曲线理论中，如果将曲率定义中分子的绝对值号去掉，整个理论是否会更合理、更精彩？
（待续）
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