摄影测量与计算机视觉

（6）几何变换的层次 上

1.     欧几里得空间

何谓空间？要是将根基建立在心理学和哲学，百家争鸣般的定义和争论显而易见。权威字典也不会完全一致。要是从最严谨的数学出发，抱歉这里可找不到“空间”的定义。与现实相悖，但恰是数学的本质：空谈概念而不知所言何物，有何意义？

因此，定义一个数学意义上的“空间”，必须同时为它配置属性和结构。我们一般所指的平直空间，在数学上叫“欧几里得空间”，记作Rⁿ（更严格地，记作Eⁿ，在计算机视觉中可以模糊一点），n代表空间的维度。它的定义，有赖于另外一个更普遍的概念：向量空间。向量空间的公理化定义又立于集合论之上。

20世纪上半叶，集合论，乃至整个数学，遭受了连串致命打击，号称第三次数学危机。1901年罗素在写他的大作《数学原理》时，“不幸”发现了“理发师悖论”；三十年代，毫不留情的哥德尔粉碎了数学完备性的梦想——一个数学系统中总存在不可证的命题；图灵在他的通用图灵机上碰到了“不可判定停机问题”。这一切的肇事者，是“集合论中的自指”。痛归痛，日子还得继续。希尔伯特，20世纪之交最著名的数学家，公理化的倡导者，大声疾呼“没人能把我们从康托尔建立的天堂（指集合论）里面赶出去！”直至死前最后一刻仍念念不忘：“一定行，必须行……”。让希尔伯特在天堂欣慰的是，集合论没有被数学家抛弃。后来者企图通过集合论自身的“公理化”，以避免悖论。目前通用的是由策梅洛-弗兰克尔建立并不断精化的Z-F体系。所用的策略，概括为：避免自指。

（自指引发的危机可不局限于数学。早年的资本家，“为那些自己不生产牛奶的人生产牛奶”，劳动人民用所有钱来买牛奶，仍然买不起；轮到资本家自己买单时，金融危机就降临了。现在，既做裁判又做运动员引发的灾难不亚于金融危机：裁判要不要遵守自己制定的规则完全是理发师悖论的现实翻版。还是尽量避免吧。）

公理化后的集合论成为当今数学的基础之基础。然而可以预见，附加种种约束的、长篇大论的权宜之计，距离真正的“问题解决”道阻且长。中间势必引发不断的瑕疵、批评、争论和改进，就把问题留给数学家吧。理论物理学家当然也有自己的苦恼。他们自嘲“量子力学的重整化”只是把“垃圾扫到地毯下掩人耳目”；所谓的统一理论只是“把两块不相干的木板缠在一起”。虽然两大基础学科祸起根基，建立其上的科学大厦暂时仍算稳固。我们还是轻装前行。

依赖于公理化的集合论，我们这样定义公理化的向量空间：给定域F（域Field是标量的集合，配备加减乘除）上的集合 V，为V中的元素（称为向量）配备向量加法（u + v）和标量乘法（a·u），且加法和乘法满足八大公理，即我们熟知的交换律、结合律和分配律。那么这个集合就叫做向量空间。实数轴上的所有点的集合构成向量空间R。平面上的所有点构成向量空间R²。

定义了向量空间，与现实仍相去甚远。现实世界最直观的量：长度、角度、距离如何衡量？这就引出了“内积向量空间”、“赋范向量空间”、“度量空间”。

向量空间是从标量到向量；现在我们需要再回来，从向量到标量（长度、角度、距离等都是标量），这定义于内积空间。内积空间用符号<,>表示，记为<,>：V×V→F。F和V定义同上。为明确内积的度量，引入范数的定义：||x|| = <x, x>^0.5= (∑x_i²)^0.5。这个范数就是广义的长度。定义了范数的空间称为“赋范向量空间”。根据范数和内积，可定义角度：θ = cos^-1(<x, y>/(||x||·||y||))。

同理，为了定义距离，先要定义度量空间，然后如此定义：D(x, y) = ||x – y||= (∑(x_i - y_i)²)^0.5。

翻山涉水，最后，在实数域Rⁿ上，定义了如此多的性质和结构后，我们终于得到欧几里得空间Eⁿ（一般也直接写成Rⁿ）。

2.     拓扑空间与流形

除了最重要的Rⁿ，计算机视觉和摄影测量中的一些课题还涉及拓扑空间。18世纪前，路过柯尼斯堡的客人可能感到迷茫：有没有一次性通过七座桥而不重复的走法？数学大师欧拉（1707－1783）通过点与线的简化，巧妙地证否，并创立拓扑学。拓扑忽略长度和度量，只考虑连通和邻接，是更具广泛意义的数学结构。因此Rⁿ属于拓扑空间的特例。我们专业所用到的名词“流形”（一般仅指赋予了黎曼度量的微分流形），也是一种特殊的拓扑空间。

计算机视觉中引入流形主要是为简化非欧几何中的度量问题。为避免再次陷入公理化的泥潭，我们简单地把流形看作是局部具有Rⁿ结构的曲面或曲线。例如：球面是一个流形，它属于非欧几何（黎曼几何），异于平直空间，如何计算其上两点A、B的距离（测地线）？先想象一个包含球面的正立方面。为每个平面建立局部坐标。建立局部球面与平面间的双射f。这个双射是连续的、光滑的函数，称为“同胚”。（拓扑中最著名的“同胚”问题当属彭加莱猜想：单连通三维闭流形与球同胚。2006年已由古怪的数学家佩雷尔曼证明。）

直观起见，我们取二维平面上的圆，如图1。通过A、B在平面上的投影a、b的距离、以及f，计算A、B在球面的距离。设圆方程为x²+y² = r²。我们将其映射至[-r, r]的直线，即f: (x,y) →x。逆映射是：f^-1: x →(x,(r² – x²)^0.5)。考虑平面上无限靠近的两点，距离为dx，通过f^-1，得到弧线对应长度：ds = [(r²– x²)^0.5/r]dx = E dx。在A、B间积分：

∫_ABds = ∫_AB E dx = r·arcsinx|^A_B = r·Δθ   (1)

我们就重新发现了圆的弧长公式。更一般地，对于R³中嵌入的一般二维流形，其度量依然从微分入手：ds²=Edx₁²+2Fdx₁d x₂+Gdx₂²。这里系数E，F，G称为度量张量，由曲率决定。如在R²中，就有E = G = 1，F=0。不过，这不就是曲线微积分吗？需要引入流形吗？在图1中，只要我们将B移动到B’，那么AB’就无法仅用现在的x轴积分出来。现实世界无疑是更加复杂的，仅仅投影于单个数轴（切空间）的曲线微分无法胜任。这就需要为复杂的曲面建立多个局部坐标卡，比如图1中的四个数轴。把每个局部空间称为地图，把所有的空间称为图册，为相邻的地图（不同颜色的重叠区域）建立起映射T。这样，就保证了图与图之间的连续性。分而治之，就是计算机视觉中流形的意义所在。

图1 圆和流形

回到我们的地球，为了进行完整的度量，我们需要一系列地图，每个地图表达有限的区域。高斯的“绝妙定理”，证明了无法将球面展开为单个平面，因此他建立了高斯投影（从椭球面到平面的保角投影），并按照经度分带，将单图变成图册。现在我们常用的分带是6°投影带和3°投影带。

球面或者椭球面，都是简单的流形。请想象您的连帽外套。那可是复杂流形的典范。然而，即便是古代的裁缝，也深蕴分而治之之道。他们拿着皮尺，只需量测几个参数：袖口、腰围、肩宽、身长。以此制作袖、身、肩、领（简单流形），最后引针过线，拼为成衣（复杂流形）。

在弦理论中，图册的思想也被逐渐接受，即认为物理世界无法通过一个模型（地图）来表达，而是需要一组地图。这就是M理论。M理论中的每个子理论只能用于有限的领域，而将他们拼在一起，就能展现宇宙全貌。即兴一首：

Atlas! Atlas! Atlas!

曾经以为世界简单只需画卷徐徐展开；

现在宇宙广阔封土分疆似摊倒的骨牌；

你，我，他；

锤子，钉子；

缝针，丝线；

胶水，剪刀；

敲起来，缝起来，粘起来；

Atlas! Atlas! Atlas!

3.     几何实体

在Rⁿ中，继续定义基本的几何实体。点、线、面、角。

除了那些大数学家和大物理学家（在科学的哪个角落都会遇上他们），德谟克利特（前460-370）同样值得尊敬。与所有真正的学者一样，他感到越学习，越无知。为追求真理和智慧，德谟克利特漫游了希腊、埃及、巴比伦、印度和波斯，无所不学，无所不问。他认为，自然只有两样东西：不可再分之原子、供原子永恒运动之虚空；宇宙中永远有无数个世界在生成、运动、灭亡。前者启发了19至20世纪的原子论和量子力学；后者是多重宇宙的前身。他所说的“原子”，可以是电子、光子、夸克等不可再分之物，因此直到今天他的思想依然适用。

这些不可再分的粒子，在物理学上称为点粒子。电子等点粒子被认为没有大小，然而这只是权宜之计，追求数学上的简单性。目前电子究竟有没有大小尚无定论。可能大多数物理学家倾向于认为有个下界：10^-43。空间也一样，可能也有个最小结构，即非连续的；当然在数学上将它看作连续的R³来计算并没有问题。

回到计算机视觉。点用矢量x表示。二维空间R²中的点记作x = (x, y)。将其再扩充一维，写作(x, y, 1)，规定两者表达同一个点。接着，我们假定 (2x, 2y, 2)，直到(kx, ky, k)，也表达同一个点。这种表达方法称为该点的“齐次坐标”。从齐次坐标恢复普通的坐标，只需要将齐次坐标的前两项除以第三项即可。有一个例外是(x, y, 0)，这时候普通坐标无穷大。这恰恰是我们所需要的：灭点（无穷远点）、灭线等概念用齐次坐标更好表达。类似地，三维点的齐次坐标表示为x = (x, y, z, 1)。

线用矢量l表示。方程ax + by + c = 0表达二维空间的一条直线。即：点(x, y, 1)出现在由参数(a, b, c)所定义的直线上。令l = (a, b, c)，这是线的齐次坐标（回顾初等几何，线可以只用斜率和截距2个参数表达）。此时点在线上这个几何关系，表达为x·l = 0；线与线相交x = l₁×l₂；两点一线l = x₁×x₂。略作变换，得到二维直线的另外一种常见形式：l = (n_x, n_y,d) = (n, d)，其中，n是单位法矢，d是直线与原点的距离。有一个例外是(0, 0, 1)，这是一条无穷远线，它没有法矢，并且所有的无穷远点都在其上。想象脚下无穷延伸的二维地平线，我们的直觉应该是一个无穷大半径的圆。没错，无穷大半径的圆和直线确实等价。

很遗憾，三维空间直线没有二维空间如此简单的表达形式。通常，我们需要额外引入一个参数来表达。设(x₁, x₂)为直线上已知两点，λ为任意实数，该直线上任意一点表达为：

x =(1-λ)x₁ +λx₂  （2）

面用字母π表示。在二维欧式空间，面就是空间本身。三维空间的面，用(a, b, c,d)表达，且满足关系式：

x·π= ax + by+ cz + d = 0  （3）

改写成法向量的形式：π= (n_x, n_y,n_z, d) = (n, d)。无穷远面(0, 0, 0, 1)没有法矢。想象一个无限扩张的三维球面：它显然没有一个固定的法方向。最终这个无限的球面等价于无穷远平面，并且所有的无穷远点和无穷远线都在其上。

平面角一般用字母θ表示，只需要1个参数。当绕逆时针旋转时，新旧坐标点的变换公式为

  （4）

三维空间的角度则复杂许多，一般有3种表达方法。最常用的是欧拉角，缺点多多。静态欧拉角，即绕固定不动的世界坐标系旋转，一般表示为φ，ω，κ。不同的旋转顺序（比如按照y-x-z轴或x-z-x轴旋转），欧拉角互不相同。动态欧拉角，是绕物体的旋转，坐标系随着物体的转动而转动。动态欧拉角可能产生万向锁（gimble lock），丢掉一个维度。最后，欧拉角在参数空间上甚至不是连续的。即便如此，欧拉角依然应用广泛。

第二种表达方法是罗德里格斯公式。试想这样一个更普遍的问题：如何绕一个任意的空间矢量n = (n_x, n_y,n_z)（而不是坐标轴），旋转某个角度θ？这里直接给出通用公式：

R(n, θ) = I + sinθ[n]_×+ (1−cosθ)[n]_ײ

[n]_×是与矢量叉积同构的反对称矩阵。

第三种表达角度的方法是四元数。直观的数系，包括自然数、整数、有理数、实数；在求解-1的平方根时，复数（二元的复平面）也被自然地发现。还有更多的数吗？下一个出场的就是四元数（有兴趣的朋友可以试着证明不存在三元数）。四元数写作q = q_xi + q_yj+ q_zk + q_w，且ij=jk=ik=-1；而单位四元数指位于||q|| = 1单位球面上四元数。

再次回到上面的问题：如何将一个矢量v绕某个轴n旋转θ角？首先，仿照齐次式的小技巧，将三维矢量扩充一维，得到一个四元数：q_v=(v, 0 )；再构造这样一个“旋转”单位四元数：Q = (nsinθ/2, cosθ/2) = (x, y,z, w)。接着，我们恰可证明，“旋转”后的新四元数q_v′ = Q q_v Q^-1正对应着旋转后的三维矢量v′ = Rv。R正是我们所需的3×3旋转矩阵。

不同于实数和复数乘法，四元数乘法并不满足交换律。还有其他数系吗？还剩一个八元数。不光交换律，八元数甚至连结合律都不满足。好了，不会有更多的数系了：没有更多的“律”可供挥霍啦。

与可能发生跳变的欧拉角相比，这种“旋转”单位四元数的表达形式在参数空间是连续的，在数理科学和工程中得到广泛应用。如狄拉克方程（爱因斯坦质能方程E = mc²的“量子升级版”）就由四元数表达。但四元数到底是什么？事实上，百余年来，包括19世纪的发明者汉密尔顿自己，都未能诠释周全；在与“矢量派”的论战中，“四元数派”长期落于下风。现在一切都清楚了：我们表达旋转第二种的方法，矢量，是旋转发生的平台；而第三种方法，四元数，是旋转本身。因此，20世纪的数学家嘉当替四元数起了一个更加确切的名字：旋量。