我的第一个理论创新

《创新话旧》第6章（2）

 

 

温景嵩

南开大学 西南村 69楼 1门 401号

（2007年11月6日 于南开园）

 

 

 

 

 

6．4我的第一个理论创新

 

 

6．4．1 早期云滴随机增长理论的功过是非

 

通过学习我们认识到这位朋友的早期理论果然是云物理中的一次重要进展。以往的云滴增长理论都是均匀增长理论，那些理论对云滴增长所遇到的环境，都假设为相同的均匀分布。例如云滴凝结增长所遇到的云中水汽过饱和度是0.05％，那么所有的云滴就都只能在0.05%过饱和度下长大。又如云滴重力碰并增长所遇到的云中含水量是1克/米³，那么所有云滴就都只能在1克/米³含水量条件下长大。但是，早期的随机增长理论则正确地指出,这个假定不对。事实上，云中，特别是对流云中存在着强烈的起伏，0.05％的水汽过饱和度和1克/米³的含水量只是它们的平均值。实际环境则会因云中湍流存在而有大有小，有起有伏。因此各个云滴所遇到的环境大不相同，必定会有少量的云滴“幸运儿”存在，它们所遇到的是较之其它大量的“芸芸众生”有利得多的环境。例如遇到云中水汽过饱和度特别大的地方，或者是云中含水量特别大的地方。这时它们就会以比一般云滴快得多的速度生长，成为大云滴，成为雨滴，而形成阵雨。虽然“幸运儿”不可能多，只是很少一部分云滴，但观测也早已证明，雨滴浓度要远远小于云滴的浓度。要形成一次降水，不必要使所有云滴都变成雨滴。恰恰相反，仅仅其中很少一部分（即云滴浓度中的百万分之一）长大“成人”，就足以产生一场大雨。

以上这个新思想还容易接受。但是自然科学与社会科学不同，它不仅要定性，而且要定量，如果发现了以上的新思想，但还找不出定量的计算方法，那就还不能说，他已建立了一个新理论。在这方面，我那朋友也找到了一个新方法，就是他把概率论的平稳随机过程论方法，引用来计算对流暖云的云滴究竟会有多少“幸运儿”产生，产生的速度有多快。结果是十分乐观的。按照他的计算，不仅大云滴的生长障碍区（半径20－30微米）可以很快突破，就是半径为1000微米的雨滴也可在2000秒内形成（也就半个小时多一点）。于是“天下太平”了，暖云降水之谜好像谜底揭晓了，人们庆幸在我们这里诞生了一个可以和当年贝吉龙和芬代森冷云降水学说相比拟的暖云降水学说。

本书第一章中已经谈到科学有它的继承性，我们这里谈到的早期随机增长理论也不例外。远在1958年西方学者，麦克唐纳（McDonald）就发表论文清晰地说明了这个新思想，即暖云降水是一个起伏的随机过程，而非以往的均匀增长理论所断言的那样，所有云滴都会均匀同步地长大。麦克唐纳用一个非常简洁的图来说明这一新思想。他在图中非常形象地给出了暖云降水过程中五个不同阶段的水滴大小，并标出它们的浓度。第一阶段凝结核，半径为0.1微米，在图上最小只是一个点，浓度是1000/厘米³ 。第二阶段是云滴，是次小，是个小园，半径为10微米，浓度也是1000/厘米³。第三阶段为大云滴，半径为50微米，浓度是1/升(即1000厘米³,)。第四阶段是云滴雨滴分界线──半径为100微米。第五阶段是雨滴，半径为1000微米，最大，在图中仅以一部分，像个大太阳的一角给出，浓度最小为10³/米³。从这张图人们马上可以明白, 降水过程是一个随机过程。虽然雨滴半径比云滴大两个数量级。但雨滴浓度却比云滴浓度小6个数量级，也就是说只要有百万分之一的云滴长成雨滴，就可形成一场降水。从而指明所有成功的暖云降水理论，都必须运用概率论、随机过程论的方法才能解决问题。第一位运用随机过程理论来解决大云滴生长的是西方学者泰尔福德（Telford），时间是1955年。泰尔福德在那年发现了云中湍流以外的第二个随机源。即云滴是以一个一个的个体存在，而非过去均匀增长理论中对云滴重力碰并增长要素，即含水量所假设的那样，均匀地分布在整个空间。于是，一个云滴就只能和别的云滴逐个逐个随机地相碰。有时它一个也碰不上，那就是说在这个时间里，它所遇到的云中含水量是0。但另一个时刻里，当它碰上另一个云滴时，这时的云中含水量的就是水的密度1克/厘米³,折合成云中含水量的通常计量单位就是10⁶克/米³，比原来均匀增长理论所用的对流暖云含水量1克/米³大了一百万倍，起伏强度可谓惊人。完全可以预期，在这样起伏的条件下，大云滴靠随机重力碰并，必定可以更快地长大。泰尔福德在他1955年论文中使用了随机过程中的纯爆发型的马尔柯夫过程论，用这种理论来研究一种最简单的双分散云。从而证明，这种随机过程可以比以往均匀增长理论快6倍速度生长出大云滴来。所以应该说云滴随机增长理论是1955年由泰尔福德开创的。（注：纯爆发型的马尔柯夫过程，系指云滴通过碰并长大，半径是爆发式的不连续地增长，两个半径为10微米的云滴并合后，新滴半径跃增为12.6微米，而从10微米到12.6微米中间的大小则不可能存在）。另一方面由湍流起伏形成的较大尺度的云中含水量场的起伏，它首先是由许焕斌在南岳云雾站观测到的。进一步把随机过程论中的平稳随机过程论方法引入于云物理之中，来计算由云中水汽过饱和湍流起伏场造成云滴随机凝结增长的，则是1961年前苏联学者别利亚耶夫(Belyayev)。当然他只是把这过程用来解释云滴在云底部滴谱加宽过程，而没有像我那位朋友所做的那样，把平稳随机过程理论全面地应用于云滴在各种各样的起伏场条件下，通过云滴的随机凝结增长和随机的重力碰并增长，使得阵雨的雨滴得以产生。在这个意义上说，我那朋友的理论是自1955年泰尔福德首创随机增长理论以来，人们所取得的一次可喜进展。

上面谈过早期随机增长理论的“功”与“是”，至于这个理论的“过”与“非”，本书第一章中已经谈过。即它在引入平稳随机过程论时，对相关系数的处理犯了一个概念性的错误。他丢掉了相关时间概念而使相关系数恒等于1，一直算到2000秒的生长时间。这完全错误，除非相关时间远远大于2000秒，而这根本不可能，因为云中湍流场都是有界大小，以云泡来估计，空间尺度为100米，时间尺度为几分钟，不可能远超过半小时。相关系数恒为1的意思是，云滴中某一“幸运儿”遇到了特别有利的环境，此后在2000秒的生长过程中，就一直在这同样的有利环境中生长，这当然长得最快。反之，若加以相关时间的限制，过了相关时间以后，就要“重新洗牌”，原来的“幸运儿”就可能遇到坏环境，生长速度就要慢下来。相关时间越短，“重新洗牌”的次数就越多，生长速度就越慢。很明显，相关系数恒为1的假定，在物理上犯了夸大湍流起伏场作用的错误。我的新理论就是在继承他的正确思想的同时，要纠正他这个错误。

 

 

 

6．4．2 我的“对流暖云大云滴随机增长的马尔柯夫过程理论”

 

这就是我的第一次理论创新。我首先仍然用早期理论的平稳随机过程的方法，只不过注入了相关时间的概念。为了稳妥起见，我同时还引入了三种不同的相关结构，以进行比较。一是通常使用的指数衰减相关，二是正态衰减相关，三仍然是相关系数假定为1，只不过加进相关时间的限制。在相关时间以内，系数假定为1，但相关时间以外，就要衰减为0。新的计算表明，当云滴生长时间小于相关时间时，相关结构的影响才变得重要。当云滴生长时间大于相关时间时，相关结构的影响就退居次要地位，而相关时间的影响变成主要。所以弄清对流暖云湍流起伏场的相关时间究竟有多大，就成为首要任务。我先分析了湍流加速起伏场的相关时间，因为这个起伏场，在早期理论解释阵雨雨滴形成时立了“大功”。由于柯尔莫果洛夫局地均匀各向同性湍流理论已经证明，湍流加速起伏场的起伏强度特别大，可到100％，即湍流加速度可以大到与地球重力加速度g同级，在这样强的起伏条件下，加上早期理论那个人为的相关系数恒等于1的假定，经过随机的重力碰并增长过程，很容易在2000秒内产生出足够数量的半径为1000微米的雨滴来。但他们没有注意到，柯尔莫果洛夫湍流理论对于湍流加速起伏场，同样证明了它是空间尺度十分小的起伏场，一般只是内尺度，也就是说是厘米，甚至是毫米尺度。可以用云滴、雨滴沉降时穿过湍流起伏加速场微团的时间来估计其相关时间，在某一个湍流加速起伏微团中穿行时，相关系数可认为是1，但当穿过这个微团，进入另一个湍流加速起伏微团时，它和前一个时段中所遇到的 云中加速度就完全无关了，需要“重新洗牌”。这样算下来，湍流加速场相关时间只有10^－3－10^－1秒。除了用这一方法估算出湍流加速场的相关时间外，我还从湍流加速场和湍流速度场之间的关系，来估算湍流加速场的相关时间。由于加速场的时间积分就是速度场，就同样可以用平稳随机过程方法计算出它们之间的关系。对流云中的湍流速度场的起伏强度很大，也可达到与云中平均上升气流速度同级的程度，即可达到10米/秒。湍流速度场的特征时间可以用云泡的生命估计，是几分钟，量级为10²秒，由此可估算出湍流加速起伏场的生命特征时间，即相关时间为10^－3－10^－2秒，也非常短，基本上与前面用湍流加速场的空间尺度估计一致。于是事情就变得十分严重了，在不考虑相关时间条件下，似乎湍流加速起伏场可以在2000秒中产生足够数量的雨滴，但是在引入相关时间概念后，这个起伏场不但无法在2000秒中生出足够数量的雨滴来，就是足够数量的大云滴也生长不出来。其原因就在于早期理论把湍流加速起伏场的相关时间夸大得太多了，至少它夸大了4－6个数量级，显然这是个大错误。

对于对流暖云中湍流加速场做了上述否定结论后，我就转向剩余的两个湍流起伏场，一是水汽过饱和起伏场，另一个是含水量起伏场。显然，这两个起伏场的相关时间可用对流云中的云泡来估计，由此可知，这两个湍流起伏场之相关时间应为10²秒。虽然它比2000秒的生长时间小了一个数量级，但比起湍流加速场的相关时间就大多了。计算表明，它虽然无法在2000秒时间长出足够数量的雨滴来，但长出足够数量的大云滴来却完全可以。这样就初步形成了我的新理论。与早期理论不同，我的新理论不再提雨滴的形成，现在的提法只是对流暖云大云滴短相关时间的随机生长理论。这个理论1964年发表在《气象学报》上。两年后，由于顾震潮先生的推荐，我又把它翻译成英文，1966年发表在《中国科学》英文版上。那时还处在极左思潮统治时期，人们不敢自作主张把它投往《中国科学》，否则会被人看成是“一篇论文主义”，个人主义思想。幸亏有顾先生及时推荐，因为那一期《中国科学》英文版，是“文革”前的最后一期。此后，“文革”就爆发了，包括《中国科学》在内的所有学术刊物都被迫定刊。若推荐时间再晚，就无处可发表，国际同行就不可能知道我这一理论，也就不可能产生此后几十年的影响。此是后话，这里暂且不表。

所谓“短相关时间的随机过程”，实际就是马尔柯夫过程。这过程在随机过程中正式的名字叫“无后效随机过程”。也就是说，在某一时刻t₁，知道该随机过程取值x₁后，以后的情况就完全可以由t₁时刻取值决定，而与t₁时刻以前任何时刻的取值无关，哪怕是在t₁时刻以前非常靠近t₁时刻的一瞬间，该过程的取值大小均与t₁时刻以后的无关。显然，这只有相关时间远小于该过程的特征时间时，才会出现。否则的话，光知道t₁时刻取值还不行，还得知道t₁以前的某一时刻例如t₀时刻的取值。但这还不行，还要知道t₀时刻以前某一时刻取值大小，依此类推，问题就复杂多了。所以可以说马尔柯夫过程是随机过程中最简单的一种，只有这种过程它的概率分布可以建立起相应的微分方程来求解。对于像由水汽过饱和起伏场造成的云滴随机凝结长大情况，就可用连续型的马尔柯夫过程中的第二柯尔莫果洛夫方程（也就是西方讲的福克-普朗克（Fokker-Planck）方程）来描述。数学上这是一种对流扩散方程，和本书前几章讲的对分布方程数学形式上相似。按照扩散理论中的G.I.泰勒(G.I.Taylor)定理（这个泰勒是G.I.泰勒与数学上的泰勒级数不是一个人。G.I.泰勒是巴切勒的老师，20世纪上半叶的另一位国际流体力学大师。）扩散系数应是水汽过饱和起伏场强度和相关时间的乘积。当云滴重力碰并中两个滴大小差别较大时，大滴长大过程接近于连续式增长，也可近似地按连续型马尔柯夫过程处理，其在半径空间中的扩散系数也可由含水量起伏场的强度和相关时间的乘积计算。由于不管是凝结增长，或是准连续型的重力碰并增长，它们的半径生长速度都与半径大小有关，所以不可以直接在半径空间上建立云滴谱（即云滴大小的概率分布）方程。经过紧张的探索后，我找到了本书第一章讲过的半径空间的Z变换，这正是经过“众里寻他千百度”以后的又一次顿悟。之后我建立了这两种连续增长的在Z空间中随机扩散式的生长方程，并求出了相应的云滴谱的解析解，交给当时在中国科技大学地球物理系的两位同学，徐庆芳和李桂忱去计算。结论在物理上则与我第一篇论文一致，1966年发表在《气象学报》上。也刚好是“文革”前最后一期。“文革”爆发以后就没有机会再译成英文在《中国科学》上发表了。此后，我的第一个理论创新的正式名字也就成为“对流云大云滴随机增长的马尔柯夫过程理论”。

按马尔柯夫过程的微分方程解出来的大云滴生长情况，在物理上与1964年我按短相关时间的平稳随机过程计算出的一致，云中湍流加速起伏场仍然被否定，云中水汽过饱和起伏场和云中含水量起伏场仍然肯定对大云滴生长有作用，而不可能在雨滴生成中有直接的作用。另一方面，由于在马尔柯夫过程论中有了滴谱方程（即云滴大小的概率分布方程），这就提供了一个比之平稳随机过程更加有力的数学工具。因为按平稳随机过程论，人们直接计算出来的只能是云滴大小概率分布的一个特征量──表征概率分布离散程度的方差，而概率分布本身，却是人为给定的假设。现在有了云滴概率分布方程，滴谱就不再是人为假定的分布，而是从方程解出来的结果，这就使得人们可以处理更多更复杂的实际问题。沿着这条路线还有许多工作要做，从而可使理论更完善并更加符合实际。但是可惜这些后续工作也被“文革”打断了。

更不幸的事是出在国际云物理舞台上。以著名英国云物理学家梅森，和著名美国云物理学家普鲁帕克为首的一批西方学者对于我们所提出的起伏凝结增长过程抱否定态度，他们只接受泰尔福德1955年提出的纯爆发型双分散云滴的随机重力碰并过程，并进一步把它发展成更符合实际的，纯爆发型多分散云滴随机重力碰并增长过程，结论却很悲观。本章上一节中讲到的云滴的20－30微米生长障碍区虽然被缩小了，但并未能全部填平，只缩小到20－25微米之间。普鲁帕克命名为云滴的“生长沟”，其宽度虽然很小，但他们的纯爆发型多分散云滴随机重力碰并过程理论却再也跨不过去了。于是梅森在他的专著《云物理学，1971,第二版》中说到：“遗留下来的困难是：目前我们的凝结和碰并理论还不能阐明云滴是如何在几分钟内超越20－25微米的临界大小，除了在海洋上可出现足够浓度的吸湿性巨核能引起凝结外，但这种情况在内陆是太罕见了”。也就是说，在以梅森为首的西方学者眼里，暖云降水尤其是大陆型的暖云降水还是一个无解的谜。

他们如何否定湍流起伏凝结增长过程，以及这种否定又如何被证明是错误，本章最后两节将向读者详加介绍。这里想先介绍一下我们对泰尔福德1955年首创性的工作，以及我们对梅森 和普鲁帕克的云滴“生长沟”的看法。

对于泰尔福德的双分散纯爆发型随机碰并过程，我们也很看重，并加以发展。但我们不是把它向多分散方向发展，而是要它和我们的湍流起伏场的作用联合起来考虑。首先就是由湍流引起的云中含水量起伏场，泰尔福德过程不承认这种起伏，对背景含水量场作了均匀分布的假定，这个假定不符合对流暖云的实际情况。正如许焕斌60年代初在南岳衡山高山云雾站观测到的，对流暖云底部，空间尺度为几米到十几米的尺度上，含水量场就存在着10－30％的起伏。由此可估计到，对流暖云中部，空间尺度更大，含水量场会存在更大的起伏。于是在含水量大的地方，泰尔福德过程就会以比他均匀含水量条件下更快的速度产生出大云滴来。完全可以预计出，当我们把这两种起伏增长过程结合起来后，会有更好的结果。1966年我们用两次概率加权的方法计算了这种联合作用，果然要比单纯的无含水量起伏的泰尔福德过程好得多。这个工作同年在《气象学报》上发表。1976年图梅（Twomey）和瓦尔纳（ Warner）根据他们观测到的对流云中实际含水量起伏资料指出，若云中高含水量区（含水量高达3克/米³是含水量平均值的3倍）能以1％的概率出现的话，那么在这个地方纯爆发型的随机重力碰并过程，就会以极快的速度产生出大云滴来，这个观测与我们1966年的理论预测一致。

发展泰尔福德1955年双分散纯爆发型随机重力碰并理论的第二条途经，就是要使它和我们的湍流起伏凝结理论结合起来。正是用这种联合作用可以解释对流暖云中的实际过程如何填平梅森-普鲁帕克的大云滴“生长沟”。仔细分析这个“生长沟”，它的起点是20微米半径的云滴，它的终点是25微米的大云滴，非常巧两个20微米半径的云滴并合在一起，所形成的新滴刚好是25.2微米，也就是说一次纯爆发型的随机碰并就可以填平这个“生长沟”，这对泰尔福德过程有最好的效果，我们已经指出泰尔福德过程随着碰并次数的增加，生长时间就加长，生长空间也在加大，其随机效应就会逐渐被平滑掉。因此，一次爆发型碰并会有最好的随机效果，这使得我们直接利用泰尔福德理论公式成为可能。余下的问题是两个20微米大小的云滴的重力沉降速度相同，不可能产生重力碰并，然而我们若把半径间隔取成比平常数值计算时的1微米间隔更细，假定分成两个0.5微米的间隔,那么原来平均半径为20微米的半径间隔由19.5微米到20.5微米。现在就成为两个区间的滴谱浓度,一个是由19.5微米到20微米,平均半径是19.75微米,另一个是20微米到20.5微米,此区间的平均半径是20.25微米,这两个云滴并合到一点形成一个新滴，新滴的半径也刚好是25.2微米,一次并合就可以填平“生长沟”，同样可以收到泰尔福德过程的最大效果，而这种效果是原来按1微米来划分半径区间的计算方法所无法得到的。于是我们就把泰尔福德理论直接用到两个半径间隔各为0.5微米的子区间所研究的两种云滴,一个平均半径是19.75微米,叫次20微米滴,另一个是20.25微米滴叫主20微米滴。当然这两种云滴重力沉降速度之差十分小,然而我们所要解决的是一个小概率问题,对此,这一点点重力沉降速度差也就足够。还有一个问题要解决,就是主20微米滴如何才能达到足够多的浓度,然后才可以通过与次20微米云滴的一次纯爆发型随机并合填平“生长沟”。产生小浓度（但已达到了雨滴浓度标准）的25微米半径大云滴。这个问题只能通过我们所提出的湍流起伏凝结过程来解决。从凝结核到20微米大小，这区间本来就是由凝结过程控制，何况现在是起伏凝结过程。由这一过程应该可不断地产生足够多的主20微米滴，然后再通过与次20微米滴一次并合产生出浓度达到雨滴浓度的25微米大云滴来，从而在几秒钟内填平了梅森-普鲁帕克 的大云滴“生长沟”。计算表明，这两种随机过程联合作用的结果，完全可以解释中纬度对流暖云的大云滴形成之谜。在十分理想的条件下，例如在低纬度热带雨林区的对流暖云，那里的水汽供应异常充足，云中湍流强度也很大，则单一的起伏凝结就可在几秒钟内填平“生长沟”产生出大云滴来。但一般条件下，特别是中纬度大陆地区，仍需湍流起伏凝结与一次纯爆发型随机重力碰并的联合作用。以上就是我和朱珍华合作的结果，1987年发表在《气象科学》上。

 

 

 

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