巴切勒的悬浮体力学

《创新话旧》第5章（3）

 

 

温景嵩

南开大学 西南村 69楼 1门 401号

（2007年11月4日 于南开园）

 

 

 

 

 

5．3 巴切勒的悬浮体力学

 

下一个对气溶胶力学发展做出了重要贡献的，就是巴切勒, 不过他又回到20世纪初以爱因斯坦为代表的理论物理学家那样，把问题放大到整个悬浮体，既包括气溶胶，又包括水溶胶，也包括了液溶胶。巴切勒也是一位是理论物理学家，更确切地说他是理论流体力学家，他的贡献在于把悬浮体力学研究从斯托克斯-爱因斯坦-富克斯的孤粒子阶段，发展到现代的多粒子相互作用下的阶段。本书第四章中介绍的巴切勒1972年单分散沉降理论， 以及他和我1982年完成的多分散沉降理论是其中一方面的代表作。这一节我们还将介绍他的另一重要贡献。即：巴切勒如何把对悬浮粒子布朗运动的研究，从1905年爱因斯坦的孤粒子理论，发展到现代的多粒子相互作用下的布朗扩散理论。爱因斯坦1905年的布朗扩散系数的理论是孤粒子理论，富克斯在他的书中正确地指出了这一点。但是富克斯的观点不对，他认为当把爱因斯坦理论的这一条应用到气溶胶科学的多粒子体系时，不会有问题。富克斯在他的书中争辩说，因为粒子的布朗运动是无规的，所以粒子间的流体动力相互作用统计平均的效应彼此相互抵消，所以仍然可以把这个多粒子的气溶胶体系视为一个彼此独立无关的个别的孤粒子运动，从而可以把爱因斯坦孤粒子理论不做任何修正地引入到气溶胶科学中来。富克斯这一观点错误。问题在于爱因斯坦的布朗运动理论是关于布朗扩散的理论，这种扩散过程只有当悬浮体系是非均匀分布时，才会发生。此时无规的个别粒子的布朗运动，就会产生一股有特定方向的粒子通量流，其方向指向非均匀分布的负梯度方向，也就是说无规的布朗运动会形成一股有规的布朗粒子通量，使它从粒子浓度大的地方，输送到浓度小的地方，以恢复粒子分布的均匀平衡状态。这种定向的粒子通量流就必然会遭遇到来自介质的有组织的有序的反抗，粒子间的流体动力相互作用就会必然是定向的阻力作用，富克斯所预料的杂乱无规，相互抵消的情况并不存在。正是在以上的分析基础上，才可从爱因斯坦理论中导出一个重要的新概念──布朗热动力。这个力是布朗粒子的化学势所产生的力，所谓布朗粒子的化学势是和粒子分布函数P(x)的对数成正比，（x表示粒子的位置向量），和表征粒子布朗能量大小的物理量kT 成正比，（k是波兹曼常数，T是体系的绝对温度），比例系数为1。与所有其他相互作用势一样，对化学势取负梯度就构成对布朗粒子的作用力，很明显当粒子分布函数P(x)为均匀分布，化学势的梯度为0，就不存在布朗热动力。另一方面，当粒子分布函数P(x)是非均匀分布时，这个化学势就会对布朗粒子产生一个有特定方向的作用力──布朗热动力，其方向指向分布函数P(x)的负梯度方向，这个力和斯托克斯孤粒子阻力公式所产生的迁移率（即阻力系数6pma的倒数）相乘后，就是布朗粒子的速度，再与P(x)自身相乘就是布朗粒子的扩散通量流。由此同样可以得到爱因斯坦孤粒子之布朗扩散系数计算公式，它同样是和表征布朗粒子能量大小的kT成正比，与迁移率成正比，比例系数为 1。巴切勒1976年正是用了这个布朗热动力概念，把爱因斯坦孤粒子布朗扩散系数理论发展成为粒子对的相对的布朗扩散系数张量理论。这时，只要把一个粒子的分布函数P(x)，改换成两个粒子的联合概率分布P(x₁,x₂)就行了。这里的向量x₁是粒子1的位置向量，向量x₂是是粒子2的位置向量。同时还要把斯托克斯的孤粒子的迁移率改换成杰弗瑞和大西善元的双球流体动力相互作用下的双球迁移率张量。所得到的粒子对相对布朗扩散系数张量的计算公式中，含有两个无量纲归一化了的扩散系数标量函数。一是纵向相对布朗扩散系数G，二是横向相对布朗扩散系数H。它们分别可由杰弗瑞和大西善元的双球纵向迁移率标量函数A_ab和横向迁移率标量函数B_ab计算出。计算表明双球间流体动力相互作用对双球相对布朗扩散系数的重要影响，这是两个随双球间距离增加而增加的单调上升函数，在近场，由于低雷诺数粘性流的严重阻尼作用，它们不但不会如富克斯所断言的那样，相互抵消，反而会使纵向布朗扩散系数G，随双球间缝隙缩小到0而衰减到0。这是由于双球缝隙间的粘性流体膜阻力会因缝隙缩小到0而趋于无穷大，布朗粒子有限的布朗运动能量无法打破这个趋于无穷大的粘性流体膜阻力，因而造成这种近场0布朗扩散的现象。当然这个趋于0的现象仅仅指纵向布朗扩散系数G,而非横向H，在横向由于双球会有转动存在，H不会趋于0，只会趋于一个非0的小量。另一方面，在远场，随着距离的增加，双球流体动力相互作用阻力就逐渐减小，G和H就逐渐增加，到距离趋于无穷大时，双球间流体动力相互作用就趋于0，完全消失。G和H就分别增大到自己的极限值1。双球间相对布朗扩散系数就完全和两个孤粒子布朗扩散系数之和算出来的值相等。最早认识到双球间流体动力相互作用会对双球间相对布朗扩散有这种严重影响的也是前苏联学者，即我们在第三章中讲到的DLVO理论中的第一位德加金，他在富克斯发表他的名著后的第二年，即1956年就提出这种在近场，黏性流体膜阻力会使纵向布朗扩散衰减到0，只有当距离加大到无穷远时，这种阻力才会消失，恢复到两个孤粒子布朗扩散系数之和的状态。可惜德加金那个时代还无法准确计算出这种流体动力相互作用，这个问题直到80年代杰弗瑞和大西善元的工作出来后，才有了令人满意的答案。

另一个由巴切勒在1976年做出的对爱因斯坦1905年孤粒子布朗扩散理论的修正，是对单个粒子绝对布朗扩散的修正。巴切勒管它叫梯度扩散。当悬浮体为非均匀分布时就存在这种扩散。梯度扩散与上面讲的双球相对布朗扩散不同，后者坐标系原点固定在参考粒子上，研究另一个粒子相对于此参考粒子的扩散，而前者，坐标系固定在静止的边界上，（例如盛悬浮体的容器壁），研究整个悬浮体相对于这个壁的扩散通量。巴切勒证明粒子间相互作用主要是流体动力的相互作用，对这种梯度扩散的作用有两方面，第一，和前面讲的沉降中流体动力相互作用一样，是由四周介质的反向补偿流造成，起阻滞作用。对于单分散硬球体系而言，要对梯度扩散系数乘以（1－6.55j）订正因子，这里的j仍是布朗粒子的体积浓度。第二是对布朗热动力的修正，这是对粒子的化学势的修正，情况和理想溶液或理想气体，由于气体分子的有界大小而引起的修正一样，巴切勒证明此修正对单分散硬球模型起正的增加作用，要乘以（1＋8j）的因子，两种作用一正一负相消后，由于正作用稍大，所以总的还是正的作用，即应乘以（1＋1.45j）因子,这结论已为后来的实验所证实。纽曼等人对DNA的扩散测量表明,粒子间相互作用效应确实为正,实测因子为(1+(1.2±0.4) j),另外对稳定化处理后的二氧化硅粒子(半径a为0.0021微米)的扩散测量表明订正因子为(1+(1.3±0.3) j)。粒子间相互作用的总的效应确实为正，数值也与巴切勒的理论预测，在误差范围内基本一致。这个对单分散硬球悬浮体的梯度扩散系数修发表在1976年，即在他1972年单分散硬球悬浮体的沉降理论发表后的四年得到的。显然，1982年在他和我得到多分散硬球悬浮体的沉降的第二年，即1983年巴切勒就发表了多分散悬浮体中，由于多粒子间相互作用而产生的对梯度扩散系数的必要修正。并把这一修正推广到非硬球具势粒子中去，这样就完成了他对爱因斯坦孤粒子布朗扩散理论的相当全面的修正，把理论推进到多粒子体系中去。

本章第一节中已经谈到爱因斯坦对悬浮体力学的贡献是全面的，他不仅研究了悬浮粒子的布朗运动，而且也研究了悬浮体作为一个均质流体，它的有效粘性系数增加的规律。这一节我们将要谈到巴切勒发展爱因斯坦悬浮体力学也是全面的，他不仅发展了爱因斯坦孤粒子布朗扩散理论，而且发展了爱因斯坦的孤粒子有效粘性系数理论，把爱因斯坦的这个理论，也推进到双球相互作用阶段中去。1972年 巴切勒发表单分散沉降理论以后不久，他和他的合作者格林（Green）又发表了两篇论文，在这两篇论文中，巴切勒和格林解决了以下三个问题：

（1）               在背景纯变形流场中放入两个粒子后，在双球相互作用下的扰动流场；

（2）               在以上的成果基础上，又成功地解决了在双球相互作用下的统计对分布函数；

（3）               在以上两成果的基础上，它们成功地得到了悬浮体有效粘性的高阶项。

（a）m*=m(1+2.5j+7.6j²)      (Pe>>1)

(b)  m*=m(1+2.5j+5.2j²)     (Pe<<1)

以上两公式中，m*是悬浮体的有效粘性系数，m是不含粒子的纯净流体粘性系数，Pe是皮克列特数的缩写。公式中右方第二项是爱因斯坦1905年孤粒子理论的修正，第三项是巴切勒和格林 1972年双球理论的修正。还应该指出，在双球流体动力相互作用下，一般悬浮体作为均质流体已不再是牛顿流体（即它的粘性力不再和流场速度梯度的1次方成正比）。因此，就不再存在有效粘性系数问题，尽管原来不含粒子的纯净流体是牛顿流体，存在着表征流体粘性大小的粘性系数。只是在高皮克列特数下，作为一级近似，把弱布朗运动完全忽略了的对分布函数是球对称的没有方向性。另外，在低皮克列特 数下作为一级近似，完全忽略了弱对流运动的对分布函数也是球对称的没有方向性（当粒子具势时），或是均匀分布（当粒子是硬球，没有粒子间势时），在以上条件下，悬浮体作为均质流体，才能继续保持牛顿流体的性质，才会存在有效粘性系数，巴切勒和格林才能导出有效粘性系数的上面两个计算公式。1977年巴切勒进一步发现了在低皮克列特数条件下，强布朗运动会对悬浮体有效粘性有一种直接的贡献，他对这一项进行了更精确的计算，得到了0.97j² 的订正,使之和上面公式(b)中的 j²项相加后,得到新的订正公式是(1+2.5j+6.2j²)。1972年克里格（Krieger）曾在低皮克列特 数条件下，测量过悬浮体有效粘性系数随粒子体积浓度j的关系。巴切勒把这个实测数据和他1977年理论预测相比，发现在j<0.3的范围内, 他的理论和实测值一致。至此,我们可以看到巴切勒全面地发展了悬浮体力学理论,既发展了斯托克斯孤粒子沉降理论,又发展了爱因斯坦的孤粒子扩散理论,也发展了爱因斯坦的孤粒子有效粘性理论。这些发展又全部都得到了实验的证实，很了不起，是悬浮体力学发展史上的里程碑式的成就。

 

 

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