全同性是理解微观世界的关键，在后边会进一步详细讨论。在前边的博文中，我只是陆续的提出量子力学的基本假设。量子力学的教材中，很多的时候都以一种生硬的看起来好像是逻辑的方式给出来，这是不应该的，因为这样的逻辑从来都不存在。
我们来讨论一个量子力学中的基本问题，就是一维简谐振子。在经典力学中，简谐振子就是一个重要的基本运动模式。在恢复力的作用下，一个物理会处于持续的周期性振动之中。用牛顿第二定律来表示，就是F=-kx。用能量来表示，就是E=p2/2m+1/2kx2。这里k=mω2。ω是振动的角频率。m是物体的质量。
由于能量是守恒量，所以对时间t求导就是0，就可以从能量推出牛顿第二定律。从能量上，可以看到p和-p,x和-x都是一样的。并且动量和位置（包含特定的系数）相互交换也是不变的。
但是实际的情况，这种对称性只有在考虑时间的情况下，才会出现。而且动量和位置的对称性，似乎难以理解。能量的关系式，实际上是一个椭圆方程，这是对称交换不变的原因。变换变量，也可以变成一个圆，这是更高对称性的原因。这一点，在后边会再讨论。
所以说，宏观的反复振动行为，在某一时刻，和能量自身的对称性并不一样，但是考虑时间，对称性就恢复了。描述振动的位置随时间变化的关系式，与匀速圆周运动也有很大的关系。
所以说，经典运动反而不是那么真实。宏观世界的物体，在某一时刻只有一个位置和动量，反而看起来有些奇怪。
我们现在来看微观世界的一维简谐振子。根据前边的量子力学的假设，要求能量算符的本征方程。做了算符替换以后，也就是x变成x,p变成-ih/2πd/dx(d是偏导数)，然后带入到本征方程中，就会得到 
在习惯中，我们把这个过程叫做一次量子化。如果能够把在这个本征方程写出来，量子力学就已经入门了。
讨论量子力学的问题，最重要的就是写出这个系统的能量算符，也叫做哈密顿量。但是这并不是容易的事情。如果一个系统很复杂，那么就难以写出。而且即使写出，也可能不会算。
比如这个方程，看起来就比较复杂。在任何一本数学物理方程的书中，都会告诉我们怎么求解。所以，计算的部分，不是量子力学本身的事情，但是往往是需要的。
通过一番计算，就会得到这个能量本征值的结果
看起来还很简单。
通过经典一维简谐振子，和量子一维简谐振子的对比，我们就会看到存在极大的区别。在经典的世界中，简谐振子的能量是任意的，但是在量子的情况下，不是这样，是离散的。如果测量一个量子简谐振子的能量，只会得到这个本征值中的一个特定的结果。
与这个本征能量，对应的本征函数ψn(x)是一个很复杂的函数，这里没有写出来。
在经典的世界中，在某一时刻，简谐振子处于某一个位置，某一个动量，满足能量的关系式。在量子的情况下，我们其实是从测量的角度来谈论的。我们能测量到的是某一个特定的能量值。然后在这个特定的能量值下，如果再测量位置和动量，就会发现，会有很多种可能的结果。
转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自王涛科学网博客。
链接地址：https://wap.sciencenet.cn/blog-41701-1509146.html?mobile=1
收藏
