异速生长律（allometry law）是自然和社会系统中普遍存在的规律。生物系统中著名的异速生长律是克莱伯定律（Kleiber's law）：许多生物的代谢率与体重的3/4次幂成正比[1]。换句话说，随着生物体重增加，其代谢率并非线性增长，而是亚线性增长。生物系统是三维系统，在与之不同的二维系统中也存在异速生长律，例如河流的流域面积与总流量的2/3次幂成正比[2]。在人工制成的连续滴水槽一维系统中也具有类似的异速生长律——水槽长度与总流量的1/2次幂成正比[3]。归纳起来，在上述系统的某些属性与规模之间存在着亚线性标度关系，幂指数为D/(D+1)，其中D是系统维度，如图1所示。

图1. 生物、河流和人工系统中的异速生长律。左：生物系统；中：河流；右：连续滴水槽。

    在我们居住的城市中也广泛存在异速生长律：城市的一些基础设施属性（例如道路面积、加油站数量）与城市规模（多用人口数量表示）之间具有幂指数在2/3到1之间的亚线性标度关系，而城市的一些社会经济属性（例如GDP、银行存款总量）与城市规模之间则具有幂指数在1到4/3之间的超线性标度关系，见表1（来源于[4]）。这意味着大城市比小城市更节省人均基础设施量，却能获得更多的人均产出与财富。

    在解释城市异速生长律方面已开展了许多研究工作[5]，其中比较著名的是Bettencourt发表在《科学》上的文章[6]。Bettencourt从人际交互角度建立了一个初始模型，该模型认为在面积为A、人口数量为N的城市中，人口密度N/A越大，每个人与其他人产生的交互量就越多，二者成正比。而城市的人际交互总量则是决定城市社会经济产出总量Y的核心因素，二者亦成正比，因此城市社会经济产出Y~N²/A。此外在人际交互过程中存在交互成本T，可以认为正比于城市内总的出行距离L。如果城市内人口完全混合，即城市中每个人的交互范围覆盖整个城市，此时人均出行距离L/N就正比于城市半径，也正比于城市面积的开方A^1/2。假设城市社会经济产出正比于交互总成本，即Y~N²/A~NA^1/2，则可导出城市社会经济产出与人口数量之间的超线性标度关系Y~N^4/3，以及城市面积与人口数量之间的亚线性标度关系A~N^2/3。尽管该模型可以再现前述二维系统中属性与规模之间存在的D/(D+1)标度指数，但从表1可以看到这与实际城市基础设施属性与城市规模之间的亚线性标度指数还存在较大偏差，对于实际城市社会经济产出与城市规模的超线性标度指数也是如此。虽然之后Bettencourt又引入了道路分形维数和基础设施网络等方法对初始模型进行修正，使模型得到的标度指数能与实际城市标度指数相吻合，但此时的模型考虑了过多因素而变得更为复杂。能否建立更简单的模型来解释城市异速生长律，是一个尚待解决的问题。

    Samaniego和Moses发表的《城市像生物》这篇文章[7]为我们建立城市异速生长律解释模型提供了启发。他们研究了城市内人际交互中心化程度与相对出行距离之间的关系，认为对于城市人际交互存在中心化与去中心化两种极端状态：在中心化状态中，城市中每个人都要前往城市的中心，此时人均出行距离正比于城市半径，也正比于城市面积开方（这与前述城市人口完全混合的模型假设类似），由此可得城市的相对出行距离L'~L/A^1/2~N；而在去中心化状态中，每个人的交互范围缩小为人均面积（这相当于城市内的人口不混合），此时人均出行距离正比于人均面积的开方(A/N)^1/2，由此可得城市的相对出行距离L'~N(A/N)^1/2/A^1/2~N^1/2。在实际城市中人际交互的整体特征是介于这两种极端状态之间的，因此Samaniego和Moses用相对出行距离与人口数之间的标度关系L'~N^α来量化城市内人际交互的中心化程度：当标度指数α=1时，城市内人际交互整体呈现中心化状态；当标度指数 α=1/2时，城市内人际交互整体呈现去中心化状态。他们对美国425个城市一天内的机动车相对出行距离与城市人口数量进行了统计分析，发现二者之间存在标度指数α≈0.66的亚线性标度关系，这一结果表明城市内人际交互状态整体上处于中心化与去中心化之间。在此基础上，Barthélémy进一步建立了城市中心化程度与人口混合程度之间的联系[8]。他假设城市内一个人选择另一个人进行交互的概率可以表示为f(x)~x^-τ，其中x是两人之间的距离。当参数τ=0时，意味着个体对出行距离完全不敏感，每个人都可以纯随机地在城市中选择交互对象，此时城市人口完全混合，中心化程度指数α=1；当参数τ很大时，意味着个体对出行距离非常敏感，每个人只能和他的最近邻进行交互，此时城市人口完全不混合，中心化程度指数α=1/2，见图2。

图2. 城市中心化程度指数α与交互距离参数τ的关系。插入图展示了在τ取不同值时城市相对出行距离L'与城市人口数量N之间的标度关系。

    尽管Barthélémy并未直接解释城市社会经济产出与城市人口数量之间超线性标度关系的形成机理，但他在人口混合程度与城市异速生长标度指数之间建立了一座桥梁。受此启发，我们建立了一个部分人口混合城市运转模型（partially mixing population city operation model, PMPCO），用城市相对出行距离L’与城市人口数量N之间的标度指数α来衡量城市内人口混合程度，据此可导出总出行距离L~N^αA^1/2。根据Bettencourt初始模型中的假设，可知出行总距离L正比于交互总成本T也正比于城市社会经济产出Y~N²/A，由此可导出城市面积与城市人口数量之间的亚线性标度关系A~N^(4-2α)/3。这一结果可以涵盖城市道路面积、加油站数量等与城市面积成正比的基础设施属性与城市规模之间的亚线性标度指数范围[2/3,1]。当参数α=1/2时，模型输出的标度指数β=1，此时城市人口混合程度最低；当参数α=1时，模型输出的标度指数β=2/3，此时城市人口混合程度最高。这表明城市人口混合程度越高，城市内单位面积所承载的人口数量就越多，基础设施与城市人口之间的亚线性标度关系也越强。进一步地，还可以导出城市社会经济产出与城市人口数量之间的超线性标度关系Y~N^(2+2α)/3。当参数α=1/2时，模型输出的标度指数β=1；当参数α=1时，模型输出的标度指数β=4/3。这表明人口混合程度越高，城市内人均交互量就越高，城市的社会经济产出与城市人口之间的超线性标度关系也越强。总之，我们建立的PMPCO模型可以解释城市异速生长标度指数在1到1±1/3范围内变化的现象，覆盖了表1中几乎所有的标度指数取值，为城市异速生长律的研究提供了新的视角。

    为进一步验证PMPCO模型，我们对中国335个主要城市两周内的重型卡车出行数据[9]进行了统计分析，发现城市重型卡车的相对出行距离与城市人口数量之间存在亚线性标度关系，标度指数α≈0.68，这与之前研究中统计出的城市机动车相对出行距离与城市人口数量之间的亚线性标度指数α≈0.66非常接近[7]。此时用PMPCO模型就可以预测出城市重型卡车出行量（一种城市社会经济属性）与城市人口数量之间的超线性标度指数β≈1.12，这与从实际数据中估计出的超线性标度指数β≈1.08非常接近。另外，PMPCO模型预测出的城市重型卡车数量（一种城市基础设施属性）与城市人口数量之间的亚线性标度指数为β≈0.88，这与从实际数据中估计出的亚线性标度指数β≈0.95也较为接近，见图3。这些结果说明，我们建立的极简模型不仅为解释城市系统中的超线性和亚线性标度关系提供了新的框架，还有助于我们理解城市重型卡车系统的异速生长机理，这或许可为实际中的城市货运交通系统规划提供参考。

图3. 中国主要城市的重型卡车系统异速生长现象。

上述研究已发表在《欧洲物理快报》上，论文具体信息为：

Xu-Jie Lin, Er-Jian Liu, Yi-Tao Yang, Xiang-Yu Jia and Xiao-Yong Yan, Empirical analysis and modeling of the allometric scaling of urban freight systems. Europhysics Letters, 2023. DOI:10.1209/0295-5075/ace078

浏览网址如下：

https://iopscience.iop.org/article/10.1209/0295-5075/ace078

参考文献：

[1] Kleiber, M. (1932). Body size and metabolism. Hilgardia, 6(11), 315-353.

[2] Banavar, J. R., Maritan, A., & Rinaldo, A. (1999). Size and form in efficient transportation networks. Nature, 399(6732), 130-132.

[3] Dreyer, O. (2001). Allometric scaling and central source systems. Physical Review Letters, 87(3), 038101.

[4] Bettencourt, L. M., Lobo, J., Helbing, D., Kühnert, C., & West, G. B. (2007). Growth, innovation, scaling, and the pace of life in cities. Proceedings of The National Academy of Sciences of The United States of America, 104(17), 7301-7306.

[5] Ribeiro, F. L., & Rybski, D. (2023). Mathematical models to explain the origin of urban scaling laws. Physics Reports, 1012, 1-39.

[6] Bettencourt, L. M. (2013). The origins of scaling in cities. Science, 340(6139), 1438-1441.

[7] Samaniego, H., & Moses, M. E. (2008). Cities as organisms: Allometric scaling of urban road networks. Journal of Transport and Land Use, 1(1), 21-39.

[8] Barthélémy M. (2011). Spatial networks. Physics Reports, 499(1-3), 1-101.

[9] Yang, Y., Jia, B., Yan, X. Y., Jiang, R., Ji, H., & Gao, Z. (2022). Identifying intracity freight trip ends from heavy truck GPS trajectories. Transportation Research Part C: Emerging Technologies, 136, 103564.