在解决数学选择填空题时，我们都是非常鼓励学生使用图像法的。使用图像法可以非常方便快捷地得到答案。可是在解决解答题时，我们虽然允许学生使用图像法猜出结论，启发思路，但是书写过程必须是代数的。除非解答题的某一问要求“直接写出答案”，这时这一问相当于是个填空题，否则写“由图像得”就只能得个结论分，步骤分很可能一分都得不到。
“由图像得”到底哪里不严谨，就严重到得0分的地步了呢？
从数学史上看，最初几何处于统治地位。像完全平方公式的证明，最初就是利用正方形面积的割补法。代数的出现是非常晚的，据称韦达是第一个有意识和系统地用字母表示已知数、未知数的数学家。而韦达是16世纪人。我们熟知的韦达定理貌似简单，但在数学史上出现时间非常晚。而且在相当一段时间内，代数受重视的程度远低于几何。
直到笛卡尔创立解析几何之后，代数和几何的地位才被颠倒过来。解析几何的发明说明几何的研究可以统一使用代数方法，代数方法的通适性更强。不久微积分得到创立。微积分引入的导数和积分等概念有着广泛的物理意义，而几何世界只是物理世界的一小部分。
一个函数有着诸多的物理意义。图像只是一种具体的表现形式。这种表现形式直观，容易暴露出各种性质。但是仅基于一种具体表现形式就做出一般性的推断，在逻辑上是不允许的，是在以偏概全。
一切数学概念和数学定理从根本上都是抽象的。即使它们有再明显的实际意义，也不能把实际意义作为严格证明的依据。
我在读博士时学习电网络的相关概念。其中定义电势为满足基尔霍夫定律的函数。从物理意义上看，给定边界条件下这个函数的存在性和唯一性是显然的。但是决不能用仪器测量代替存在性和唯一性的严格数学证明。电势在数学上是一个抽象概念，它并非只能表示物理学科中的电势，还有概率意义等其他意义。非数学专业的人可能质疑：存在性和唯一性的证明有多大实际意义？但是数学专业的人就会觉得这特别重要：不存在的对象可以有任意性质，所以必须先证明存在性，再就对象做判断才有意义。而有些对象必须具有唯一性，其很多属性才得以确定，在唯一性得到证明之前也没法继续研究。
转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自单治超科学网博客。
链接地址：https://wap.sciencenet.cn/blog-401820-1374132.html?mobile=1
收藏
