按：此文很厉害，过去看陶器上的图片看不出门道，这篇论文思路甚好。
This ancient pottery holds the earliest evidence of humans doing math
Flower designs on 8,000-year-old pots show “mathematical knowledge,” archaeologists say
（距今近 8000 年的哈拉夫陶器上的花卉图案（部分图案已展示）显示花瓣数量呈几何序列。）
原文链接：https://www.sciencenews.org/article/ancient-pottery-math-earliest-evidence?utm_source=Live+Audience&utm_campaign=ecb5ae8ac9-nature-briefing-daily-20260116&utm_medium=email&utm_term=0_-33f35e09ea-499121480
作者：汤姆·梅特卡夫
2026年1月13日上午11:00
距今近 8000 年前制作的陶器上出现的植物状图案，可能是迄今为止发现的最早的数学思维证据。
耶路撒冷希伯来大学的两名考古学家在最近的一项研究中指出，美索不达米亚北部古代文明陶器上绘制的许多花卉图案都呈现出规律性的花瓣数量，这些花瓣数量遵循一定的数学规律。科学家们表示，这一发现表明，当时的人们在土地和农产品分配方面也运用了类似的数学概念。
虽然在距今46000年前智人绘制的众多古代洞穴壁画中很少见到植物，但植物图案——包括树木、树枝、灌木和花卉——在美索不达米亚晚期新石器时代哈拉夫人（公元前6200年至公元前5500年）的陶器装饰中却十分常见。这项于12月5日发表在《世界史前史杂志》上的新研究，对哈拉夫陶器碎片上的所有植物图案进行了编目。但约瑟夫·加芬克尔表示，正是这些花卉图案“向我们展示了当时人们的数学知识”。
一幅黑白素描再现了一个陶瓷碗，碗上装饰着重复的几何和点状图案网格。哈拉夫陶器上的许多装饰（如图所示）描绘了棋盘格和几何图案中的程式化植物（在这种情况下是四瓣花）。
加芬克尔和莎拉·克鲁维奇研究了自20世纪30年代以来在考古遗址中出土的数千块哈拉夫陶器碎片，并从中鉴定出375块绘有花卉图案。加芬克尔表示，几乎每块陶器上的花朵都由四片、八片、十六片、三十二片或六十四片花瓣构成——这种“几何”递增表明，这些图案的设计灵感来源于二的幂次方。
部分碎片上的大型图案也暗示了数学知识。许多碎片来自装饰精美的彩绘碗，其中一些碗上绘有棋盘格图案内的程式化花卉。
作者认为这些数字并非偶然，而是表明哈拉菲人掌握了此类数学的先进知识。这种基于数字倍增的理解，可能是哈拉菲人为了将土地或作物均分而发展出来的。“这是我们从其他任何来源都未曾发现的数学知识的证据，”加芬克尔说道。
哈拉夫数学与苏美尔人1500多年后在同一地区开创的六十进制（或称六十计数法）数学有着显著的不同。虽然六十进制数学在很大程度上已被十进制数学所取代，但它仍然应用于计时、天文学和几何学等领域。“我们这里所拥有的，”加芬克尔说，“是一个更早的数学体系，早于六十进制。”
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